最后更新: 2024-11-22 07:26 ● 参与者查看: 112 次纠错分享参与项目词条搜索

第九篇回归分析

## $F$ 检验法

首先考虑观察值的偏差平方和分解。
(1) 平方和分解

设样本观察值为 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right), y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的分散程度可以用总的偏差平方和来度量（Total Sum of Squares），记为

$$
Q_{\text {总 }}=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2 \text {. }
$$

由正规方程组，有

$$
\begin{aligned}
Q_{\text {总 }} & =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i+\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}\right)^2+2 \sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)+\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2+\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =Q_{\text {䣋 }}+Q_{\text {回 }} .
\end{aligned}
$$

其中

$$
Q_{\text {利 }}=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2, Q_{\text {回 }}=\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \text {. }
$$

$Q_{\text {利称为剩余平方和 (Residual Sum of Squares), 它反映了观测值 } y_i \text { 偏离回归直线的程度, }}$这种偏离是由试验误差及其他未加控制的因素引起的, 它的大小反映了试验误差及其他因素对试验结果的影响.
$Q_{\text {回 }}$ 为回归平方和 (Regression Sum of Squares), 它反映了回归值 $\hat{y}_i(i=1,2, \cdots, n)$ 的分散程度, 它的分散性是由 $x$ 的变化而引起的, 并通过 $x$ 对 $y$ 的线性影响反映出来.线性相关性越强。
（2）检验统计量与拒绝域
基于上面的推导，还可以得出关于 $Q_{\text {回 }}$ S $Q_{\text {利的一个很重要的定理。 }}$.
定理 10.1.2 设线性回归模型 $y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 当 $H_0$ 成立时, 则有 $\hat{\beta}_1$ 与 $Q_{\text {利 }}$相互独立，且 $Q_{\text {利 }} / \sigma^2 \sim \chi^2(n-2), Q_{\text {回 }} / \sigma^2 \sim \chi^2(1)$.

证明 略.
由定理 10.1.2 可知, 当 $H_0$ 为真时, 统计量
$$
F=\frac{Q_{\text {回 }} / 1}{Q_{\text {利 }} /(n-2)} \sim F(1, n-2) .
$$

对于给定显著性水平 $\alpha$, 得拒绝域为

$$
F>F_\alpha(1, n-2),
$$

根 据 试验数据 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$ 计算 $F$ 的值, 并查表确定 $F_\alpha(1, n-2)$, 当 $F>F_\alpha(1, n-2)$ 时，拒绝 $H_0$ ，表明回归效果显著，即认为在显著性水平 $\alpha$ 下， $y$ 对 $x$ 的线性相关关系是显著的. 反之，当 $F \leqslant F_\alpha(1, n-2)$ 时，接受 $H_0$ ，此时回归效果不显著，则认为 $y$对 $x$ 没有线性相关关系，即所求线性回归方程无实际意义。

也可将整个检验过程列成方差分析表, 如表 10.1.1所示.
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子目录

1. 引言

2. 一元线性回归

3. 回归方程的显著性检验

4. F检验法

5. T检验法

6. 相关系数检验法

7. 预测与控制

8. 非线性回归的线性化处理

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