最后更新: 2025-09-30 10:07 查看: 180 次纠错评论(0) 课件开VIP

MATLAB实现古典概率及其模型

## 使用计算机MATLAB模拟固定概率模型
古典概型是概率论的起源，也是概率论中最直观、最重要的模型，在密码学、经济学、管理学等学科中具有重要的应用．

由古典概率的定义知，掷硬币这一随机事件为古典概型，它出现的样本点是有限的且等可能性的。在 MATLAB 中，可以用计算机模拟掷硬币这一过程，为了模拟硬币出现正面或反面，规定随机数小于 0.5 时为反面，否则为正面．

MATLAB 提供了一个在区间 $[0,1]$ 上均匀分布的随机函数 `rand`，可以用 round 函数将其结果变成 $0-1$ 矩阵，然后将整个矩阵的各元素值加起来再除以总的原始个数即为出现正面的概率。

**1．函数 rand 的调用格式及功能**
（1）调用格式 1： `rand(N)` 。
功能：返回一个 $N \times N$ 的随机矩阵。
（2）调用格式 2：`rand(N,M)` ．
功能：返回一个 $N \times M$ 的随机矩阵。
（3）调用格式 3： `rand(P1,P2,...Pn)`
功能：返回一个 $P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n$ 的随机矩阵。

**2．函数 round 的调用格式及功能**
调用格式：round（x）。
功能：对向量或矩阵 $\boldsymbol{x}$ 的每个分量四舍五入取整．

`例1`连续掷 1000000 次硬币，记录重复 $10,100,1000,10000,100000,1000000$ 次试验模拟出现正面的概率．

解：在MATLAB的命令行窗口“ >>”后面输入以下代码．

``` 
for i = 1:6
 a(i) = sum(round(rand(1, 10^i)))/10^i;
end
```
在“ >>”后面输入“a”可得结果如下．

``` 
a = 
      0.7000    0.5300    0.4890    0.5052    0.5004    0.5005
```

运行结果“a”的值为重复试验出现正面的平均频率，统计概率的定义是建立在频率基础
上的，在实验次数充分多时，利用频率值代替概率值．
从上面运行的结果可以看出，当样本容量不够大时，其频率的波动范围很大，即频率不够
稳定，即使有时达到0.5，但最大时已达到0.7，然而随着样本容量的增加，频率的波动范围越
来越小．

## 条件概率、全概率公式与伯努利概率

对于条件概率模型，MATLAB也可进行模拟．比如摸球实验，在MATLAB中模拟这一过程时，可在[0,1]区间上产生随机数来模拟摸球．
`例2`袋中有10个球，其中白球7个，黑球3个．无放回式，分3次取球，每次取一个．求
（1）第三次摸到了黑球的概率；
（2）第三次才摸到黑球的概率； 
（3）3次都摸到了黑球的概率．
解 当无放回地摸球时，由于第二次摸球会受到第一次的影响，而第三次摸球又会受到前两次的影响，因而 3 次摸球相互影响，并不相互独立．用计算机模拟该过程时，在 $[0,1]$ 区间模拟第一次摸球，当值小于 0.7 时认为摸到了白球，否则认为摸到了黑球；第二次摸球时由于少了一个球，故可在区间长度为 0.9 的区间上模拟，若第一次摸到白球，可将区间设为 $[0.1,1]$ ，否则区间设为 $[0,0.9]$ ；第三次摸球可以此类推，现重复 $10,10^2, \cdots, 10^6$ 次试验，分别求上述 3种情况出现的概率。

模拟程序代码如下。
``` 
>> a = rand(1000000, 3);
 >> a(:, 1) = round(a(:, 1)-0.2);
 >> a(:, 2) = round(a(:, 2)*0.9-0.2-0.1*(a(:, 1)-1));
 >> a(:, 3) = round(a(:, 3)*0.8-0.2-0.1*(a(:, 1)-1)-0.1*(a(:, 2)-1));
 >> for i = 1:6
         b = a(1:10^i, 3);
         c(i) = sum(b)/(10^i);
    end
```

输入“c”可得第三次摸到了黑球的概率如下

``` 
>> c
 c = 
     0.2000    0.3200    0.3220    0.3031    0.3000    0.3005
```
继续编写第（2）问的程序代码如下

``` 
>> for i = 1:6
     b = (~a(1:10^i, 1))&(~a(1:10^i, 2))&a(1:10^i, 3);
     d(i) = sum(b)/(10^i);
end
```

输入“d”可得第三次才摸到黑球的概率如下

``` 
>> d
 d = 
     0.2000    0.1200    0.1690    0.1692    0.1752    0.1753
```

继续编写第（3）问的程序代码如下．

``` 
>> for i = 1:6
         b = (a(1:10^i, 1))&(a(1:10^i, 2))&a(1:10^i, 3);
         e(i) = sum(b)/(10^i);
end
```
输入“e”可得3次都摸到了黑球的概率如下
``` 
>> e
 e = 
      0    0.0100    0.0070    0.0090    0.0084    0.0084

```

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