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概率论与数理统计
第九篇 回归分析
相关系数检验法
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2024-11-22 07:28
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相关系数检验法
为了检验线性回归直线是否显著, 还可用 $x$ 与 $y$ 之间的相关系数来检验. 即对下列检验问题做出判断. $$ H_0: r=0, \quad H_1: r \neq 0 $$ 检验统计量为其样本的相关系数 $$ r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}=\frac{L_{x y}}{\sqrt{L_{x x}} \sqrt{L_{y y}}}, $$ 其中 $\left(x_i, y_i\right), i=1, \cdots, n$, 是容量为 $n$ 的二维样本. 可以证明, 当 $H_0$ 为真时, $$ \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \sqrt{n-2} \sim t(n-2), $$ 故 $H_0$ 的拒绝域为 $$ t \geqslant t_{\alpha / 2}(n-2) . $$ 在一元线性回归预测中，以上的 $F$ 检验法、 $t$ 检验法、相关系数检验法都是等价的，在实际中只需做其中一种检验即可.
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