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概率论与数理统计
第九篇 回归分析
T检验法
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2024-11-22 07:27
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T检验法
## $T$ 检验法 $$ \begin{aligned} &\text { 由定理 10.1.1 可得 }\\ &\left(\hat{\beta}_1-\beta_1\right) /\left(\sigma / \sqrt{L_{x x}}\right) \sim N(0,1), \end{aligned} $$ 又由定理 10.1.2 可知, $\hat{\sigma}^2=Q_{\text {利 }} /(n-2)$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计. 经过简单推导可知, $$ (n-2) \hat{\sigma}^2 / \sigma^2=Q_{\text {剩 }} / \sigma^2 \sim \chi^2(n-2), $$ 且 $\left(\hat{\beta}_1-\beta_1\right) /\left(\sigma / \sqrt{L_{x x}}\right)$ 与 $(n-2) \hat{\sigma}^2 / \sigma^2$ 相互独立. 故取检验统计量 $$ T=\frac{\hat{\beta}_1}{\hat{\sigma}} \sqrt{L_{x x}} \sim t(n-2) . $$ 由给定的显著性水平 $\alpha$, 查表得 $t_{\alpha / 2}(n-2)$, 根据试验数据 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$ 计算 $T$ 的值 $t$, 当 $|t|>t_{\alpha / 2}(n-2)$ 时, 拒绝 $H_0$, 此时回归效应显著; 当 $|t| \leqslant t_{\alpha / 2}(n-2)$ 时, 接受 $H_0$,此时回归效果不显著.
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