最后更新: 2025-02-22 09:32 查看: 67 次反馈刷题

回归方程F检验法

## 回归方程$F$ 检验法

首先考虑观察值的偏差平方和分解。
**(1) 平方和分解**

设样本观察值为 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right), y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的分散程度可以用总的偏差平方和来度量（Total Sum of Squares），记为

$$
Q_{\text {总 }}=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2 \text {. }
$$

由正规方程组，有

$$
\begin{aligned}
Q_{\text {总 }} & =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i+\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}\right)^2+2 \sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)+\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2+\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \\
& =Q_{\text {䣋 }}+Q_{\text {回 }} .
\end{aligned}
$$

其中

$$
Q_{\text {利 }}=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}_i\right)^2, Q_{\text {回 }}=\sum_{i=1}^n\left(\hat{y}_i-\bar{y}\right)^2 \text {. }
$$

$Q_{\text {利}}$称为**剩余平方和** (Residual Sum of Squares), 它反映了观测值 $y_i$偏离回归直线的程度, 这种偏离是由试验误差及其他未加控制的因素引起的, 它的大小反映了试验误差及其他因素对试验结果的影响.
$Q_{\text {回 }}$ 为**回归平方和** (Regression Sum of Squares), 它反映了回归值 $\hat{y}_i(i=1,2, \cdots, n)$ 的分散程度, 它的分散性是由 $x$ 的变化而引起的, 并通过 $x$ 对 $y$ 的线性影响反映出来.线性相关性越强。

通过对 $Q_{\text {利，}}$ ，$Q_{\text {回的分析，} y_1, y_2, \cdots, y_n \text { 的分散程度 } Q_{\text {总 }} \text { 的两种影响可以从数量上区分开 }}$线性相关性越强。

**（2）检验统计量与拒绝域**
基于上面的推导，还可以得出关于 $Q_{\text {回 }}$ 和 $Q_{\text {剩}}$的一个很重要的定理。

**定理 10.1.2** 设线性回归模型 $y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 当 $H_0$ 成立时, 则有 $\hat{\beta}_1$ 与 $Q_{\text {利 }}$相互独立，且 $Q_{\text {利 }} / \sigma^2 \sim \chi^2(n-2), Q_{\text {回 }} / \sigma^2 \sim \chi^2(1)$.

证明 略.
由定理 10.1.2 可知, 当 $H_0$ 为真时, 统计量
$$
F=\frac{Q_{\text {回 }} / 1}{Q_{\text {利 }} /(n-2)} \sim F(1, n-2) .
$$

对于给定显著性水平 $\alpha$, 得拒绝域为

$$
F>F_\alpha(1, n-2),
$$

根据试验数据 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$ 计算 $F$ 的值, 并查表确定 $F_\alpha(1, n-2)$, 当 $F>F_\alpha(1, n-2)$ 时，拒绝 $H_0$ ，表明回归效果显著，即认为在显著性水平 $\alpha$ 下， $y$ 对 $x$ 的线性相关关系是显著的. 反之，当 $F \leqslant F_\alpha(1, n-2)$ 时，接受 $H_0$ ，此时回归效果不显著，则认为 $y$对 $x$ 没有线性相关关系，即所求线性回归方程无实际意义。

也可将整个检验过程列成方差分析表, 如表 10.1.1所示.
  ![图片](/uploads/2024-11/cb8782.jpg)
  
 `例`以家庭为单位，某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据如下
  ![图片](/uploads/2025-02/089ce2.jpg)
  
  （1）求经验回归方程 $\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$ ；
（2）检验线性关系的显著性（ $\alpha=0.05$ ，采用 $F$ 检验法）。
解（1）由题意计算得 $\bar{x}=2.9, L_{x x}=7.18, \bar{y}=2.1, L_{y y}=6.58$ ，

$$
L_{x y}=\sum_{i=1}^n x_i y_i-n \bar{x} \bar{y}=54.97-2.1 \times 2.9 \times 10=-5.93
$$

故 $\hat{\beta}_1=L_{x y} / L_{x x}=-0.826, \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1 \bar{x}=4.449$ 。
经验回归方程 $\hat{y}=4.495-0.826 x$ ．
（2）$Q_{\text {回 }}=\hat{\beta}_1 L_{x y}=(-0.826) \times(-5.93)=4.898, Q_{\text {剩 }}=L_{y y}-\hat{\beta}_1 L_{x y}=1.682$ ，

$$
\begin{gathered}
F_0=\frac{Q_{\text {回 }}}{Q_{\text {剩 }} /(n-2)}=8 \times \frac{4.898}{1.682}=23.297, \\
\alpha=0.05, \quad F_{0.05}(1.8)=5.32 .
\end{gathered}
$$

因 $F_0>F_{0.05}(1,8)$ ，故回归是显著的．

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