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概率论与数理统计
第九篇 回归分析
回归方程的显著性检验
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2024-11-22 07:25
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回归方程的显著性检验
由回归系数的最小二乘可知, 对任意给定的数据 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$, 都能求出 $\beta_0$ 与 $\beta_1$ 的估计 $\hat{\beta}_0 、 \hat{\beta}_1$ ，进而确定回归方程 $\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$ 。我们知道，建立回归方程的目的是寻找 $y$ 的均值随 $x$ 变化的规律，即找出回归方程 $E(y)=\beta_0+\beta_1 x$ 。如果 $\beta_1=0$ ，那么不管 $x$ 如何变化， $E(y)$ 不随 $x$ 的变化而线性变化，这时求得的一元线性回归方程没有意义，或者说回归方程不显著. 如果 $\beta_1 \neq 0$, 那么当 $x$ 变化时, $E(y)$ 随 $x$ 的变化线性变化, 此时求得的回归方程就有意义，或者称回归方程是显著的。 综上所述，判断回归方程是否有意义即是要检验如下假设： $$ H_0: \beta_1=0, \quad H_0: \beta_1 \neq 0 . $$ 当拒绝 $H_0$ 时，则认为 $y$ 与 $x$ 之间存在线性关系，所求得的线性回归方程有意义，回归方程显著. 若接受 $H_0$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的关系不能用一元线性回归模型来表示，所求得的线性回归方程无意义。
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