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域和伽罗瓦理论
第一部分 方程的解
解方程概述
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更新:
2025-11-05 08:10
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解方程概述
## 方程的源 ### 海伦 Heron 方程与解方程的历史可以追溯到遥远的古代, 但在这里我们并不试图勾勒解方程的完整发展轮廊,只是通过略述 $2 、 3 、 4$ 次方程的解法来引出 5 次方程问题,以及由此产生的具有重大历史意义的、美妙的 Galois(伽罗瓦) 理论. 丹庸置疑,古希腊的数学家们对数学的发展作出了巨大的贡献,但他们中的绝大多数并不是把算术和代数问题作为独立的问题来处理. 但是, 可以肯定的是, Heron(海伦,公元100 年前后) 和 Diophantus 确实是把算术和代数问题本身作为问题来处理的, 即他们处理这些问题时不依靠几何, 也不用几何作为逻辑的依据. {width=200px} (海伦图像) Heron 用纯粹算术的方法提出和解决了代数问题,但是他没有采用特别的符号,而是采用文字陈述的方式. 例如,他处理了这样一个问题: 给定一个正方形, 知道它的面积与周长的和是 896 , 求其边长? 这个问题用我们今天的记法就是求满足方程 $x^2+4 x=896$ 的 $x$. Heron 的具体解法是配方法加上开方法, 即 $$ \begin{aligned} x^2+4 x & =896 \\ x^2+4 x+4 & =896+4 \\ (x+2)^2 & =30^2 \end{aligned} $$ $(x+2)= \pm 30$, 即 $x=28$ 或 $x=-32$. 在 Heron 的著作里有许多这类问题. 当然, 这是古埃及人和古巴比伦人提出和解决问题的方式. 无疑 Heron 从古埃及人和古巴比伦人的书里抄取了不少材料. 对于 Heron 来说,代数是算术的推广。 Heron 也把不少古希腊的几何代数法翻译成算术和代数步骤. Heron 在这方面的工作是把古埃及人和古巴比伦人的数学作了一个有意义的改进。 从算术以一门独立学科重新出现这
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