最后更新: 2025-03-17 09:57 查看: 66 次反馈刷题

2.1解方程概述

## 方程的源
### 海伦 Heron
方程与解方程的历史可以追溯到遥远的古代, 但在这里我们并不试图勾勒解方程的完整发展轮廊，只是通过略述 $2 、 3 、 4$ 次方程的解法来引出 5 次方程问题，以及由此产生的具有重大历史意义的、美妙的 Galois（伽罗瓦） 理论.

丹庸置疑，古希腊的数学家们对数学的发展作出了巨大的贡献，但他们中的绝大多数并不是把算术和代数问题作为独立的问题来处理. 但是, 可以肯定的是, Heron(海伦，公元100 年前后) 和 Diophantus 确实是把算术和代数问题本身作为问题来处理的, 即他们处理这些问题时不依靠几何, 也不用几何作为逻辑的依据.
 
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 (海伦图像)
 
Heron 用纯粹算术的方法提出和解决了代数问题，但是他没有采用特别的符号，而是采用文字陈述的方式. 例如，他处理了这样一个问题: 给定一个正方形, 知道它的面积与周长的和是 896 , 求其边长? 这个问题用我们今天的记法就是求满足方程 $x^2+4 x=896$ 的 $x$.

Heron 的具体解法是配方法加上开方法, 即

$$
\begin{aligned}
x^2+4 x & =896 \\
x^2+4 x+4 & =896+4 \\
(x+2)^2 & =30^2
\end{aligned}
$$

$(x+2)= \pm 30$, 即 $x=28$ 或 $x=-32$.

在 Heron 的著作里有许多这类问题. 当然, 这是古埃及人和古巴比伦人提出和解决问题的方式. 无疑 Heron 从古埃及人和古巴比伦人的书里抄取了不少材料. 对于 Heron 来说，代数是算术的推广。 Heron 也把不少古希腊的几何代数法翻译成算术和代数步骤. Heron 在这方面的工作是把古埃及人和古巴比伦人的数学作了一个有意义的改进。

从算术以一门独立学科重新出现这一角度来讲, Nichomachus(尼科马霍斯，约公元 1 世纪)的著作更为重要. 他撰写了包含两篇的《算术入门》一书. 这是一本篇幅非常可观的、完全脱离几何讲法的算术书. 从历史意义上说, 它对于算术的重要性可以与 Euclid的《几何原本》对于几何的重要性相比. 这本书不仅为后世学者自学、参考和转抄,而且是同时代学者著述的典范，它反映了当时人们的兴趣所在。

Nichomachus 的《算术入门》一书之所以有价值, 是因为他对整数、分数的算术，作了系统的、条理清楚而内容丰富的叙述，而且完全不依赖于几何。从思想内容上讲, 它并无独到之处, 但它是一本很有用的汇编. Nichomachus的《算术入门》在此后一千年间成为一本标准课本. 自Nichomachus以后, 算术而不是几何成为风行于亚历山大里亚时期的学问. 人们经常拿那些导出的代数题作为消遣. 古希腊人的代数著作是用纯粹的文字语言写成的，没有采用一套符号。

古希腊的代数到 Diophantus 的出现达到最高点. 关于此人的生平我们几乎一无所知. Diophantus 的著作远远超出了他同时代的人, 但是非常可惜, 他出来的太晚了，因而不能对他那个时代起太大的影响，因为一股吞噬文明的毁灭性浪潮即将来临，这就是对数学起唯一作用的罗马人来了。

Diophantus 写过几本现在已经全部失传的书。他的一部巨著《算术》，据他自己说共有 13 篇，但是现在尚存 6 篇，这还是得自 13 世纪希腊手稿和其后的一些译本. 《算术》是个别问题的汇集, 作者说这是为了帮助学生学习这门课而写的一些练习题. Diophantus作出的一个重大进步是在代数中采用了一套符号. 出现成套的符号是了不起的事情！特别地，他使用了 3 次以上的高次乘幂就更是一件了不起的重大历史事件！古希腊数学家不能、也不愿意考虑含 3 个以上因子的乘积，因为这种乘积没有几何意义. 但是在纯算术中，这种乘积的确有其意义，而这正是Diophantus所采用的观点. Diophantus的解题步骤就像我们今天写散文一样, 是一个字接一个字写的, 但他的运算是纯算术性的.Diophantus在把各类方程转化成他能解的形式方面很有才能, 我们不知道他是怎么得出他的方法的. 但是, 他在纯代数学方面的工作和过去是显然不同的. Diophantus 解题所用方法之多令人目不服接, 他显然是个巧妙而聪明的解题高手. 但是,他显得不够深刻, 没能看出他所使用方法的实质从而加以概括. 不管怎样, 整体来说, Diophantus的工作在数学上是永垂不朽的!

代数上的进步是得益于引入了较好的符号体系, 这对数学发展的作用比技术上的进步更为重要. 一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理. 而合适的符号，它本身就带着自己的生命活力，而且还能创造出新生命来. 事实上，在 16 世纪以前, 自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑、更加有效的人就只有 Diophantus.

### 韦达 Vieta
代数学性质上最重大的变革是由 $\operatorname{Vieta}(1540 \sim 1603)$ 在符号体系方面引入的. Vieta 受的专业训练是法律，他曾在 Brittany 议会工作过，后来当 Henry 亲王的枢密顾问. 总的来说, 他是把数学当作一种业余爱好, 并自己出资印刷和发行他的著作，这是使他不致默默无闻的一种保证. Vieta 在他政治生涯的间歇期间研读了 Cardan、Tartaglia、Bombelli、Stevin 和 Diophantus 的著作。他从这些名家，特别是从 Diophantus 那里, 获得了使用字母的想法. 以前虽然也有一些人曾经用字母来代替特定的数，但他们的这种用法不是经常的，而是随着兴致所至偶尔用之. Vieta 是第一个有意识地、系统地使用字母的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且用字母来表示一般的系数。

对 Vieta 使用的字母作了改进的是 Descartes(1596 1650),他用字母表中前面的字母表示已知量, 用后面的字母表示未知量，这成为我们今天的习惯用法. Leibniz（1646 1716）的名字在符号史上是必须提到的，虽然他在代数上采用这样重大步骤的时间较晚. Leibniz对各种记法符号进行了长期的研究，试用过一些符号，征求过同时代人的意见，然后选取他认为最好的符号. 他肯定认识到好的符号有可能大大节省思维劳动的时间. 只可惜那些并不认识符号重要性的人漫不经心而随意引入的符号太多了, 并且已经通用.
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