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3次与4次方程

## 3次于4次方程

### 卡当 Cardan
用配方法解 2 次方程是从古巴比伦时代就已经知道的. 一直到 1500 年, 在这方面的唯一进展是印度人作出的，他们把 $x^2+3 x+2=0$ 和 $x^2-3 x-2=0$ 那样的 2 次方程作为一类进行了处理。而他们的后人乃至文艺复兴时期的绝大多数后继者却不愿意将这两者视为是一样的. 直到 Cardan 的《大衍术》出现, 文艺复兴时期的代数一直没有什么有意义的进展. Cardan 的确曾解出一个有复数根的 2 次方程,但他认为这些解是没有用的，因此没有加以考虑。至于 3 次方程，除了个别数学家以外, 人们对它还是束手无策. 直到 1494 年, Pacioli 还宣称一般的 3 次方程是不可解的.
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$\operatorname{Cardan}(1501 \sim 1576)$ 出生在意大利的帕维亚, 在文艺复兴时期是一位举足轻重的数学家, 也是一位典型的人文主义者.他受聘于意大利的多所大学担任数学教授. 除了数学，他还专注于收集、研究和评论古希腊和古罗马的成果. 另外, 他还是欧洲有名的医生。

在 40 岁之前, Cardan 穷得一无所有, 个性孤僻、自负、缺乏幽默感、不能自我反省，在言谈中表现得冷漠无情。他为了逃避现实，在 25 年的时间里，每天玩敞子。 1570 年，他因丢掷耶稣的天宫图，被视为异教徒被捕入狱。不过，令人称奇的是，主教随即以占星术士的名义聘用了 Cardan.Cardan 的著作涵盖了数学、天文学、占星术、物理学、医学以及关于道德方面的语录. 借着辛勤的耕耘, 在 1545 年, 他编写了百科全书式的著作《大衍术》。

在 1500 年左右，Bologna 的数学教授 Ferro(1465 1526) 解出了 $x^3+m x=n$类型的 3 次方程, 但他没有发表解法. 1510 年左右, Ferro 曾经把他的解法秘密传授给 Fior 和自己的女婿兼继承人 Nave.

### 丰塔纳 Niccolo 
直到 Brescia 的 Niccolo Fontana(1499 1557) 出场之前,情况没有什么改变. 此人在孩童时期被一个法国士兵用马刀砍伤了脸, 变成了口吃, 因此被大家称为 Tartaglia, 意为 "口吃者"，他出身贫寒，自学了拉丁文、希腊文和数学。他靠在意大利各地讲学为生. 1535 年, Fior 向 Tartaglia 挑战, 要他解 30 个 3 次方程. Tartaglia 说自己早就解决了 $x^3+m x=n$ 类型的 3 次方程，在这次挑战中他的确解出了所有的 30 个 3 次方程.
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  在 Cardan 的辱求并发誓保密的前提下, Tartaglia 才将自己的 3 次方程解法写成一首烸涩难懂的语句诗的形式，告诉了 Cardan。1542年，Cardan 的学生 Ferrari（1522～1565）在 Nave 访问他们的时候，肯定地认为 Ferro 和 Tartaglia 的 3次方程解法是一样的。后来 Cardan 不顾自己的誓言，把他自己对 3 次方程解法的理解发表在自己的著作《重要的艺术》里。不过，他在书中说："Ferro 在 30 年前就发现了这个法则，并把它传授给 Fior. 是 Fior 向 Tartaglia 的挑战，使 Tartaglia 有机会重新发现了这一法则. 而 Tartaglia 是在我的恳求之下才把这个方法告诉了我,但 Tartaglia 保留了证明. 我在获得这种帮助之下找出了它的各种形式的证明. 这是很难的，我把它叙述如下. "

Tartaglia 抗议 Cardan 背信弃义，并在 1546 年发表了自己的方法. 但是无论是在当时还是在后来，Tartaglia 都没能给出关于 3 次方程本身的更多材料。关于是谁先解出了 3 次方程的争议，使 Tartaglia 和 Ferrari 发生了公开冲突，最后以双方的肆意漫骂而告终. 但是 Cardan 并没有参与其中. Tartaglia 自己也不是无可非议的, 实际上, Tartaglia 出版的一些著作就有抄袭的迹象.

### 欧拉 Euler
对 Cardan 的 3 次方程解法的第一个完整讨论是由 $\operatorname{Euler}(1707 \sim 1783)$ 在 1732年作出的, 他强调 3 次方程总有 3 个解, 并给出怎样去求解. 在 3 次方程成功解出之后，几乎立即就成功地解出了 4 次方程，其解法是由 Ferrari 给出的，发表在 Cardan 的《重要的艺术》一书中. 其后寻求一般多项式方程解法的工作就转向了解 4 次以上的方程. 但是, 经过近三百年的努力,

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