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5次方程的解

## 5次方程的解
4 次方程求根问题解决后, 人们的注意力自然就集中到 5 次及 5 次以上方程的求解问题上面. 第一个解决 5 次及 5 次以上方程不能用根式求解的人是挪威青年数学家 Abel（阿贝尔）.

$\operatorname{Abel}(1802 \sim 1829)$ 出生于乡村牧师之家, 一生只活了 27 年. 他有 7 个兄弟姊妹,一生贫病交加. 然而这个家庭却是幸福的, Abel 始终没有因为身处的环境而灰心丧气，他经常是一边照看弟妹，一边学习和进行研究工作。非常遗憾的是，Abel 的工作在其生前没有得到人们的重视。 Abel大学毕业后一直找不到工作，他终生的愿望仅是当一个大学讲师，可是到死，此愿望也没有实现. 在 Abel 去世后柏林大学的聘书才寄到 Abel 的家里.
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一个称职的, 但绝不是很有才气的数学家 Holmboë （1795～1850）发现了Abel 的数学才华. 他在 1839 年编辑出版了 Abel 的第一个著作集. 在 Holmboë 亲切、开明的教导下, Abel 很快掌握了经典著作中最难懂的部分, 包括 Gauss高斯 的《算术研究》.

Abel 18 岁时, 父亲去世, 照顾家庭的责任就落在了Abel的肩上. 他心甘情愿地做了自己能做的一切，承担了养家糊口的责任，同时温和乐观地利用每一点时间做自己的数学研究. 由于称职的优秀教师Holmboë坚信自己发现了一个空前伟大的数学家，于是他尽自己所能为这个年轻人提供和寻求补助金，以使这个年轻人摆脱贫困。在Holmboë等人的力促下，皇家下令资助Abel到欧洲大陆作了一次学术旅行。为了这次学术旅行，Abel从自己微薄的生活费中挤出钱，出版了自己的论文——证明了用根式代数方法不可能解一般的 5 次方程. Abel天真地相信这就是他通向欧洲大陆数学家们那里的科学护照。

Abel非常希望数学王子Gauss能鉴赏自己的数学成果. 他将自己的论文寄给 Gauss, 但Gauss收到论文后, 根本就没有屈尊读一读, 而是厌恶地喊到"这又是一个怪物"，直接把论文扔在了一旁. 由于这件事情，Gauss 时常受到人们的指责。

Abel是通过阅读Lagrange和Gauss的著作开始接触方程求解问题的. 起初Abel以为自己已经解决了用根式解一般 5 次方程的问题，但是很快就认识到自己的错误，后来他就试图证明用根式解一般 5 次方程的问题是不可能的。由于Abel不了解Ruffini的工作，所以Abel的证明就变得过于复杂。一个简单、直接而又严密的证明是由Kronecker(1823 1891) 根据 Abel 的思想在 1879 年给出的.
虽然没有使用域和不可约的术语, 但是这两个概念是 Abel 引进的. Abel 也探讨了能用根式求解方程的特性问题, 并把自己的结果通知了 Crelle 和 Legendre.

Abel的工作不仅涉及代数学领域，还在椭圆函数等领域作出了划时代的贡献。 Abel提交给法国科学院的论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质》就是其杰出的作品之一。这篇论文是由Legendre和Cauchy负责审查的，但是他们把稿件给遗忘了！只是由于某种奇迹，这篇论文才重新被人发现，但这已是Abel去世之后的事了。

## 伽罗瓦 Galois

"Abel 先生的这个发现是什么样的发现呵! …... 有谁看见过同样的东西? 这个发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现，…. 可你的同事怎么会没有注意到它呢?"(Jacobi 的质询). 这件事情引起了挪威政府对法国政府的抗议, 也促使 Cauchy翻出原稿，并将它发表在《法兰西科学院著名科学家论文集》里. 作为对 Abel 的身后补偿，法国科学院让 Abel 和 Jacobi 分享了 1830 年的数学大奖.

继 Abel 的工作之后，虽然高于 4 次的一般方程不能用根式解，但是仍然有一些特殊的方程是可以用根式解的。那么, 现在的任务是要确定哪些方程可以用根式求解，哪些方程不能用根式求解。这项工作是由另外一个伟大的法国青年数学家 Galois 完成的.
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 Galois (1811 1832) 出生于富裕家庭, 一直在家里自学, 15岁才进入高中接受正规教育, 并开始研究数学. 他仔细研读了 Lagrange、Gauss、Cauchy 和 Abel 的著作, 致使其他的学习科目被忽略了. Galois 曾想进入综合工科学校学习, 但是由于考试成绩太差或考试教授不了解他, 他两次考试都落选了. 因此，他只能进入师范学校. 后来由于政治原因他被学校开除，并两次因为政治原因而被捕入狱.

Galois 考试失败了. "一个高等智力的报考者, 败在一个智力低下的主考人手中, $\cdots \cdots$ 考试是神秘莫测的事情, 我在它面前屈服. 正如神学的许多神秘莫测的事情一样，理智必须谦卑地承认它们，而无需设法去了解它们。"

在学校期间 Galois 写了几篇文章，这些文章由 Cauchy 负责审稿，但是它们却被 Cauchy 遗失了。1830年，他交给科学院的另外一篇文章是由 Fourier 负责审查的, 可惜的是 Fourier 去世了, 这篇稿件也遗失了. 1831 年, 在 Poisson 的建议下, 他重新写了一篇文章 "关于用根式解方程的可解条件"，这是他仅存的一篇文章. 可就是这篇文章也由于 Poisson 认为不可理解而被退回，但是 Poisson 劝告 Galois 应该写一份较为详细的阐述.

更为不幸的是, 在那个法国保皇党和革命民主人士激烈斗争的年代, Galois 的父亲因为选举中的一些政治原因而自杀. 他自己也越来越多地卷入政治纷争，以致被学校开除. 随后他加入了有民主倾向的共和国卫队, 参加各种政治运动使他的数学研究受到了极大的干扰. 在 Galois 入狱前, 他遵循 Poisson 的意见, 不断完善自己的理论, 直至刑满释放. 后来, 因为一些不为人知的原因, 他决定跟自己的一个政敌决斗. 在决斗前, 他深知自己会在第二天丧生, 于是他连夜写信给自己的朋友, 把自己的全部数学理念写在 32 页的稿纸上. 在稿件的边缘潦草地写着, "我实在没有时间了，我感到很难受. "Galois 在第二天的决斗中不幸去世.

Abel 死于贫穷, 而 Galois 则死于愚意. 全部科学史上, 极度的愚峚战胜不可抑制的天才的例子，再也没有比 Galois 死的例子更全面了. "Abel 和 Galois 的不幸一生, 完全可以作为一切自信的教书匠、无耻的政客、骄傲自满的学者们的纪念碑而永远䇯立. $"$

Galois 的遗著在 1846 年由 Liouville 编辑发表在《数学杂志》上，在 1870 年由 Jordan(1838 1921) 对 Galois 的理论作了第一次全面系统的阐述. Galois 的那些保存下来的文献共有六十几页. 历史上，从来还没有谁像他那样，以篇幅如此之小的著作赢得如此之高的声誉. 人们为了纪念他在群论和域论方面的杰出贡献, 用他的名字命名了这一理论——Galois 理论。

群的概念在 Galois 之前就已经有了，但它只是偶尔出现的大量数学概念之一. Galois 的贡献不仅在于使这个理论具有了生命力, 而且他还独创性地赋予这个理论以必要的完整性和实用性.
Galois 创立的群、域理论是为了应用于方程, 但并不局限于此. 非常可惜的是, Galois的理论毕竟太深奥了，对 19 世纪的人们来说它的确是难以理解的，就连当时的数学大师们也不能理解他的数学思想和工作的实质, 以致他的论文得不到发表. "我恳求我的评判人至少读完这几页"—Galois 在他研究论文的开端这样写着. Galois 理论被公认为 19 世纪最杰出的数学成就. 它对方程的可解性问题提供了全面而透彻的解答, 解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题, 还给出了能否用直尺和圆规作图的一般判别法, 圆满解决了三等分任意角、倍立方等问题. Galois理论开辟了全新的研究领域, 使抽象代数学迅速发展成一门茾新的数学分支, 并对近代数学的形成和发展产生了巨大影响. 同时这种理论对物理学、化学等自然科学,甚至对于 20 世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了影响.

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