最后更新: 2024-11-23 21:53 查看: 124 次反馈刷题

浅析根式求解

## 浅析根式求解
因为任意 $n$ 次方程一定有 $n$ 个根（代数学基本定理，Gauss），所以 Galois 要考虑的是如何去用根式求解方程根的问题. 又因为有些方程是可以用根式求解的,而另外一些则不能用根式求解, 于是 Galois 认为一个方程是否能用根式求解, 应该取决于方程根之间的相互关系，以及这些根与系数之间的相互联系。由于我们可以把根之间的关系设想成是具有映射的, 即如果 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是某个多项式的根, 用 $x \leftrightarrow y$ 表示 $x$ 与 $y$ 的关系, 则所有根之间的关系可以写成如下形式:

而这又可以看成是集合之间的映射 $\varphi:\left\{x_1, \cdots, x_n\right\} \rightarrow\left\{x_1, \cdots, x_n\right\}$. 所以, 如果我们要考察根之间的所有关系, 就应该考察映射构成的集合 $\left\{\varphi \mid \varphi:\left\{x_1, \cdots, x_n\right\}\right.$ $\left.\rightarrow\left\{x_1, \cdots, x_n\right\}\right\}$. 进一步, 我们再把根与系数域 $Q$ 之间的联系也考虑进去, 则需要
考察的就是下面的由映射构成的集合. 如果令 $n$ 次多项式为 $f(x) \in Q [x], f(x)=0$的根为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 则我们要考察的是集合

$$
\left\{\varphi \mid Q \left(x_1, \cdots, x_n\right) \xrightarrow{\varphi} Q \left(x_1, \cdots, x_n\right)\right\},
$$

其中 $\varphi$ 表示从集合 $Q \left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 到其自身的双射, 而且要保持有理系数域不动,即 $\varphi(q)=q, \forall q \in Q$.

下面就让我们分别考察一下方程能用根式求解和不能用根式求解的情形. 当然我们是通过根之间、根与系数之间的关系来考察的。

例 1.3.1 令一个 4 次多项式为 $f(x)=x^4-10 x^2+1$, 则 $f(x)=0$ 能用根式求解, 并且它的 4 个根为

$$
\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3},-\sqrt{2}+\sqrt{3},-\sqrt{2}-\sqrt{3} .
$$

所以, 保持有理数不动的、 4 个根到 4 个根的双射为

$$
\begin{aligned}
& 1=\left(\begin{array}{lll}
\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3}, & -\sqrt{2}+\sqrt{3}, & -\sqrt{2}-\sqrt{3} \\
\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3}, & -\sqrt{2}+\sqrt{3}, & -\sqrt{2}-\sqrt{3}
\end{array}\right), \\
& \sigma=\binom{\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3},-\sqrt{2}+\sqrt{3},-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}+\sqrt{3},-\sqrt{2}-\sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3}}, \\
& \tau=\left(\begin{array}{lll}
\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3}, & -\sqrt{2}+\sqrt{3}, & -\sqrt{2}-\sqrt{3} \\
\sqrt{2}-\sqrt{3}, & \sqrt{2}+\sqrt{3}, & -\sqrt{2}-\sqrt{3}, \\
-\sqrt{2}+\sqrt{3}
\end{array}\right), \\
& \sigma \tau=\binom{\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3},-\sqrt{2}+\sqrt{3},-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}-\sqrt{3},-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{2}-\sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{3}} .
\end{aligned}
$$

为了看得更清楚一点, 我们不妨用符号 $1,2,3,4$ 依次表示 4 个根, 即

$$
1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \quad 2=\sqrt{2}-\sqrt{3}, \quad 3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, \quad 4=-\sqrt{2}-\sqrt{3}
$$

则

$$
1=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right), \quad \sigma=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 1 & 2
\end{array}\right), \quad \tau=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3
\end{array}\right), \quad \sigma \tau=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right) .
$$

如果在集合 $G=\left\{1=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right), \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right), \sigma \tau\right.$ $\left.=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)\right\}$ 里引进运算——定义其中两个元素的运算就是映射的合成,则会看到 $G$ 中有一个子集合 $H=\left\{1=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right), \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{array}\right)\right\}$ 很特殊:
$$
G=\{1, \sigma, \tau, \sigma \tau\}=H \cup H \tau \text {, 而且 } H g=g H, \forall g \in G \text {, }
$$

即利用 $H$ 可以在 $G$ 中定义一个等价关系, 并且只有两个等价类 $H, H \tau$. 如果我们将等价类的个数记为 $|G: H|$, 则 $|G: H|=2$ 是素数. 这样我们就得到下面的关系:

$$
G \supset H \supset\{1\},
$$

而且 $|G: H|,|H:\{1\}|$ 都是素数!

**例 1.3.2** 令一个 5 次多项式为 $f(x)=x^5-$ $2 x^3-8 x-2$, 则 $f(x)=0$ 的根不能用根式求解 (图 1.1).

不妨假设它的 5 个根为 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, 并为简便起见依次将它们记为 $1,2,3,4,5$. 则保持有理数不动的、 5 个根到 5 个根的双射为 $S_5$, 其中符号 $S_5$ 表示集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 到自身的所有双射构成的集合. 实际上, 这就是类似于 $1,2,3,4,5$
 ![图片](/uploads/2024-11/681c80.jpg)
 的所有可能排列构成的集合, $\left|S_5\right|=120$.
类似于例 1.3.1, 我们也在 $S_5$ 中将映射的合成定义为运算, 则其中有一个子集合 $A_5$ (偶置换构成的群, $\left|A_5\right|=60$ ), 使得 $\left|S_5: A_5\right|=2$. 但是, 对于集合 $A_5$ 就再也没有能够利用其定义等价关系的子集合了。所以，对于 $S_5$ 虽然有类似于例1.3.1的关系

$$
S_5 \supset A_5 \supset\{1\},
$$

但是, $\left|S_5: A_5\right|=2,\left|A_5:\{1\}\right|=60$, 即其中存在非素数的情况!
至此, 我们可能会想到: 是不是就是这种差别决定了一个多项式方程能否用根式进行求解呢? 事实就是这样；为了证明这个事实，先让我们对将要用到的多项式理论和群论的有关知识进行简单回顾.

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