最后更新: 2024-11-23 21:55 查看: 214 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多项式环

## 多项式环

令 $R$ 是一个有 1 的环, $x \notin R$ 是一未定元, 则定义集合

$$
R[x]=\left\{a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_i \in R, 0 \leqslant i \leqslant n, n \in Z \right\},
$$

$R[x]$ 中的元素 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 称为 $R$ 上关于 $x$ 的多项式. $a_0$ 称为 $f(x)$ 的常数项. 如果 $a_n \neq 0$, 则称其为 $f(x)$ 的首项系数, 并规定 $f(x)$ 的次数为 $n$,记为 $\operatorname{deg} f(x)=n$.

特别地, 如果 $a_n=1$, 则称 $f(x)$ 为首 1 的多项式. 我们规定 $f(x), g(x)(\in R[x])$相等的充分必要条件是它们对应项的系数全相等, 即如果令
$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, \quad g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0,
$$

则 $f(x)=g(x) \Leftrightarrow n=m, a_i=b_i, 0 \leqslant i \leqslant n$.
我们在集合 $R[x]$ 中按熟知的方式定义 "加法"、"乘法"。如果令

$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, \quad g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0,
$$

则定义
(1) $f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^{\max \{n, m\}}\left(a_k+b_k\right) x^k$, 当 $k>n$ 或 $k>m$ 时, 规定 $a_k=0$或 $b_k=0$;
(2) $f(x) g(x)=\sum_{k=0}^{n+m} c_k x^k$, 其中 $c_k=\sum_{i+j=k} a_i b_j$.

容易验证，代数系 $(R[x] ;+, \cdot)$ 构成有 1 的环，我们称之为环 $R$ 上的多项式环.进一步, 我们可以定义多元多项式环 $R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$, 并且 $R \subseteq R\left[x_1\right] \subseteq R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$是子环. 实际上, 多项式环 $R[x]$ 是交换环的充分必要条件为系数环 $R$ 是交换环. 如果没有特别的说明, 本书涉及的环都是指有 1 的交换环.

在多项式环 $R[x]$ 上, 我们熟知的 "次数" 结论成立, 即
(

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：浅析根式求解

下一篇：多项式的因式分解问题

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)