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多项式环

## 多项式环

令 $R$ 是一个有 1 的环, $x \notin R$ 是一未定元, 则定义集合

$$
R[x]=\left\{a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_i \in R, 0 \leqslant i \leqslant n, n \in Z \right\},
$$

$R[x]$ 中的元素 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 称为 $R$ 上关于 $x$ 的多项式. $a_0$ 称为 $f(x)$ 的常数项. 如果 $a_n \neq 0$, 则称其为 $f(x)$ 的首项系数, 并规定 $f(x)$ 的次数为 $n$,记为 $\operatorname{deg} f(x)=n$.

特别地, 如果 $a_n=1$, 则称 $f(x)$ 为首 1 的多项式. 我们规定 $f(x), g(x)(\in R[x])$相等的充分必要条件是它们对应项的系数全相等, 即如果令
$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, \quad g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0,
$$

则 $f(x)=g(x) \Leftrightarrow n=m, a_i=b_i, 0 \leqslant i \leqslant n$.
我们在集合 $R[x]$ 中按熟知的方式定义 "加法"、"乘法"。如果令

$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, \quad g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0,
$$

则定义
(1) $f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^{\max \{n, m\}}\left(a_k+b_k\right) x^k$, 当 $k>n$ 或 $k>m$ 时, 规定 $a_k=0$或 $b_k=0$;
(2) $f(x) g(x)=\sum_{k=0}^{n+m} c_k x^k$, 其中 $c_k=\sum_{i+j=k} a_i b_j$.

容易验证，代数系 $(R[x] ;+, \cdot)$ 构成有 1 的环，我们称之为环 $R$ 上的多项式环.进一步, 我们可以定义多元多项式环 $R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$, 并且 $R \subseteq R\left[x_1\right] \subseteq R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$是子环. 实际上, 多项式环 $R[x]$ 是交换环的充分必要条件为系数环 $R$ 是交换环. 如果没有特别的说明, 本书涉及的环都是指有 1 的交换环.

在多项式环 $R[x]$ 上, 我们熟知的 "次数" 结论成立, 即
(1) $\operatorname{deg}(f(x)+g(x)) \leqslant \max \{\operatorname{deg} f(x), \operatorname{deg} g(x)\}$;
(2) $\operatorname{deg}(f(x) g(x)) \leqslant \operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x)$;
(3) 如果多项式 $f(x), g(x)$ 之一的首项系数不是零因子, 则 $\operatorname{deg}(f(x) g(x))=$ $\operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x)$.

另外，在多项式环 $R[x]$ 上，也有非零多项式的乘积是 "非零" 的结论.
定理1.4.1 如果 $R$ 是整环，则多项式环 $R[x]$ 也是整环。
证明 令 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0$ 为 $R[x]$中非零多项式, 则 $a_n, b_m \neq 0$. 但是, 如果

$$
f(x) g(x)=a_n b_m x^{n+m}+\cdots+\left(a_1 b_0+a_0 b_1\right) x+a_0 b_0=0,
$$

则 $a_n b_m=0$. 所以, 从 $R$ 是整环有 $a_n=0$ 或 $b_m=0$, 矛盾.
仍然利用上面的多项式乘积等式，容易看出， $f(x) \in R[x]$ 是可逆元素的充分必要条件是 $f(x)$ 是环 $R$ 中的可逆元素。

定理1.4.2 令 $f(x), g(x) \in R[x], g(x)$ 的首项系数是可逆元素, 则存在唯一的 $q(x), r(x) \in R[x]$, 使得

$$
f(x)=g(x) q(x)+r(x)
$$

其中 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)$.
证明 存在性. 如果 $\operatorname{deg} g(x)>\operatorname{deg} f(x)$, 则令 $q(x)=0, r(x)=f(x)$ 即可. 所以, 我们不妨假设 $\operatorname{deg} g(x) \leqslant \operatorname{deg} f(x)$, 并且令
$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, \quad g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0,
$$

其中 $m \leqslant n, a_n, b_m \neq 0$ ，而且 $b_m$ 是可逆元素。
因为

$$
\begin{aligned}
& f(x)-g(x) a_n b_m^{-1} x^{n-m} \\
= & \left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)-\left(b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0\right) a_n b_m^{-1} x^{n-m} \\
= & a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0-\left(b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_1 x+b_0\right) a_n b_m^{-1} x^{n-m} \\
= & f_1(x)
\end{aligned}
$$

所以 $\operatorname{deg} f_1(x)<\operatorname{deg} f(x)=n$. 又当 $\operatorname{deg} f(x)=0,1$ 时, 定理结论平凡成立. 所以, 对 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 用数学归纳法, 一定存在满足条件的 $q_1(x), r_1(x) \in R[x]$, 使得 $f_1(x)=g(x) q_1(x)+r_1(x)$ 。进而, $f(x)=g(x)\left(a_n b_m^{-1} x^{n-m}+q_1(x)\right)+r_1(x)$ 。令 $q(x)=a_n b_m^{-1} x^{n-m}+q_1(x), r(x)=r_1(x)$, 则 $f(x)=g(x) q(x)+r(x)$, 其中的 $r(x)$ 当然适合 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)$.

唯一性. 假设另外存在 $q_1(x), r_1(x)$ 适合条件, 并且 $q(x) \neq q_1(x), r(x) \neq r_1(x)$,则

$$
\begin{gathered}
g(x) q(x)+r(x)=g(x) q_1(x)+r_1(x) \\
g(x)\left(q(x)-q_1(x)\right)=r_1(x)-r(x)
\end{gathered}
$$

但是, 容易发现, 上式中等式左端 $\operatorname{deg}\left(g(x)\left(q(x)-q_1(x)\right)\right) \geqslant \operatorname{deg} g(x)$, 右端 $\operatorname{deg}\left(r_1(x)-r(x)\right)<\operatorname{deg} g(x)$, 矛盾.

定义 1.4.1 令 $E \supseteq R$ 是环, $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \in R[x], \beta \in E$, 则称

$$
f(\beta)=a_n \beta^n+\cdots+a_1 \beta+a_0 \in E
$$

为 $f(x)$ 在 $\beta$ 点处的值. 特别地, 如果 $f(\beta)=0$, 则称 $\beta$ 为 $f(x)$ 的一个根.
结合定理1.4.2和定义1.4.1, 我们有以下推论.
推论 1.4.1 令 $f(x) \in R[x]$, 则 $\beta$ 为 $f(x)$ 的根的充分必要条件是 $f(x)=$ $(x-\beta) g(x)$.

推论 1.4.2 令 $E \supseteq R$ 都是整环, $f(x) \in R[x], \operatorname{deg} f(x)=n$, 则 $f(x)$ 在 $E$ 中至多有 $n$ 个根.

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