最后更新: 2024-11-23 21:59 查看: 65 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多项式的因式分解问题

## 多项式的因式分解问题
设 $R$ 是整环, $a, b \in R$, 如果存在 $c \in R$, 使得 $a=b c$, 则称 $a$ 被 $b$ 整除, 或者说 $b$ 是 $a$ 的因子. 一般地, 将其记为 $b \mid a$. 如果不存在这样的 $c$, 则称 $b$ 不是 $a$ 的因子,记为 $b \nmid a$. 特别地, 如果从 $a=b c$ 能够推出 $b, c$ 之一为可逆元素, 则称 $a$ 是不可约元素. 当然, 我们这里的 $a \neq 0$ 且不是可逆元素.

如果 $a, b \in R$, 并且 $b \mid a$ 和 $a \mid b$ 同时成立, 则称 $a, b$ 是相伴的. 实际上, 在整环中, 两个元素相伴的充分必要条件是 $a=b u$, 其中 $u$ 是环中的可逆元素. 在讨论因式分解问题时, 我们认为相伴的两个元素是一样的.
另一个与不可约元素有关的概念是素元素. 令 $0 \neq p \in R$, 且 $p$ 是整环 $R$ 中的非可逆元素，如果从 $p \mid a b$ 能够推出 $p \mid a$ 或 $p \mid b$ ，则称 $p$ 为素元素。本书涉及的环基本上都是主理想整环，而在主理想整环中，不可约元素与素元素的概念是等价的。

为证明不可约元素与素元素的等价性，我们先指出一个事实：如果 $R$ 是整环，。则 $p$ 是素元素的充分必要条件是 $p$ 生成的理想 $(p)$ 是素理想。

首先，假设 $p$ 是素元素， $a b \in(p)$ ，则 $p \mid a b$ 。所以 $p \mid a$ 或 $p \mid b$ ，即 $a \in(p)$ 或 $b \in(p)$ 。于是 $(p)$ 是素理想.

反之, 假设 $(p)$ 是素理想. 令 $p \mid a b$, 则 $a b \in(p)$ ，所以 $a \in(p)$ 或 $b \in(p)$ 。进而 $p \mid a$ 或 $p \mid b$ ，于是 $p$ 是素元素。

引理1.4.1 设 $R$ 是有 1 的交换环，则 $N$ 是素理想的充分必要条件是商环 $R / N$ 是整环.

证明 首先, 假设 $N$ 是素理想. 我们考察 $(a+N)(b+N)=a b+N=0$, 则 $a b \in N$, 所以 $a \in N$ 或 $b \in N$, 即 $a+N=0$ 或 $b+N=0$. 这就是说; 商环 $R / N$ 是整环.

其次, 假设商环 $R / N$ 是整环. 考虑 $a b \in N$, 则 $a b+N=0$. 所以 $(a+N)(b+N)$ $=a b+N=0$, 进而 $(a+N)=0$ 或 $(b+N)=0$, 即 $a \in N$ 或 $b \in N$. 这就是说, $N$是素理想.

引理 1.4.2 设 $R$ 是有 1 的交换环, 则 $N$ 是极大理想的充分必要条件是商环 $R / N$ 是域。

证明 首先, 假设 $N$ 是极大理想. 我们考察 $(a+N) \neq 0$, 即 $a \notin N$, 则 $(a)+$ $N \supset N$, 所以 $(a)+N=R$. 即存在 $b \in R$, 使得 $a b+n=1,(a+N)(b+N)=1+N$.这就是说, $(a+N)$ 是商环 $R / N$ 中的可逆元素, 于是商环 $R / N$ 是域.

其次，假设商环 $R / N$ 是域. 考虑 $R \supseteq M \supseteq N, M \neq N$ ，则存在 $a \in M \backslash N$ 。所以 $(a+N) \neq 0$, 进而存在 $b \in R$, 使得 $(a+N)(b+N)=1$, 所以 $1-a b \in N \subseteq M$.但是 $a \in M$, 于是 $a b \in M,(1-a b)+a b=1 \in M$, 即 $M=R$. 这就是说, $N$ 是极大理想。

由引理 1.4.1, 1.4.2 及域是整环, 一定有极大理想是素理想. 但是, 反之不成立.例如, 在整数环 $Z$ 中, 0 理想是素理想, 但它不是极大理想.

定理1.4.3 令 $R$ 是主理想整环，则在 $R$ 中不可约元素与素元素是等价的。
证明 首先, 令 $p$ 是素元素, 则 $(p)$ 是素理想. 如果 $p=a b(a|p, b| p)$, 则 $a b \in(p)$, 所以 $a \in(p)$ 或 $b \in(p), p \mid a$ 或 $p \mid b$, 即 $p=a u$ 或 $p=b u, u$ 为 $R$ 中可逆元素. 如果 $p=a u$, 则 $a u=a b$, 所以 $b=u$, 即 $b$ 是可逆元素. 于是, 此时 $p$ 是不可约元素. 同理, 当 $p=b u$ 时, $p$ 仍是不可约元素.
其次, 令 $p$ 是不可约元素, 则如果 $(p)$ 是极大理想, 则它是素理想, 进而 $p$ 是素元素. 为此, 下面证明 $(p)$ 是极大理想. 假设存在一个理想 $N=(a) \neq R$, 满足
$(p) \subseteq(a)$, 则 $p \in(a)$. 所以, 存在 $b$, 使得 $p=a b$. 但是 $p$ 是不可约元素, 所以 $a, b$ 之一为可逆元素. 但是 $N=(a) \neq R$, 所以 $a$ 不是可逆元素, 于是 $b$ 是可逆元素. 从而 $p b^{-1}=a, a \in(p),(a) \subseteq(p),(a)=(p)$ 。这就是说, $(p)$ 是极大理想.

注意, 在一般的整环中, 素元素一定是不可约的 (参见定理1.4.3的前半部分证明), 但是, 不可约元素不一定是素元素. 例如, 在整环 $\{a+b \sqrt{-3} \mid a, b \in Z \}$ 中, 2 是不可约的元素, 并且 $2 \mid(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$, 但是 $2 \nmid(1 \pm \sqrt{-3})$, 即 2 不是素元素。

定义1.4.2 设 $R$ 是整环, $a \in R$. 如果对于元素 $a$ 满足以下条件:
（1） $a=p_1 p_2 \cdots p_r$ ，其中 $p_i(1 \leqslant i \leqslant r)$ 是不可约元素;
(2) 如果还有 $a=q_1 q_2 \cdots q_s$, 其中 $q_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 也是不可约元素,则 $r=s$, 并且经过适当调整 $q_i$ 的顺序之后, 有 $p_i$ 与 $q_i$ 相伴, $

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