最后更新: 2024-11-23 22:06 查看: 77 次反馈刷题

域的扩张

## 域的扩张
定义 2.1.1 设 $F$ 是在其上定义了两个运算（加法 " $+"$ 、乘法 "."）的集合，并且这两个运算满足:
(1) $(F ;+)$ 是交换群 (Abel 群);
(2) $\left(F^* ; \cdot\right)$ 是交换群 (Abel 群), 其中 $F^*=F \backslash\{0\}$;
(3) 运算 """ 对 " + " 满足分配律，即 $a(b+c)=a b+a c$,则称 $F$ 为域。

一般地, 我们用 0 表示加法群的恒等元素, 用 1 表示乘法群的恒等元素. 事实上, 由域的定义, 我们容易知道: 如果 $a b=0, a, b \in F$, 则 $a=0$ 或 $b=0$ 。

定义 2.1.2 如果集合 $K$ 是域 $F$ 的子集合, 并且 $K$ 在域 $F$ 的运算之下构成一个域, 则称 $K$ 是 $F$ 的子域, 或者称域 $F$ 是域 $K$ 的扩域, 也称 $F$ 是 $K$ 的扩张.记为 $K \subseteq F(F \supseteq K)$ 。

显然, 对于任意的域 $F$ 均有两个子域 $F,\{0\}$, 我们称这两个子域为平凡子域.
例 2.1.1 有理数 $Q$ 、实数 $R$ 和复数 $C$ 都是域, 并且 $Q \subseteq R \subseteq C$.
例 2.1.2 有限剩余类环 $Z _n$ 是域的充分必要条件是 $n$ 为素数.
证明 如果 $n$ 不是素数, 则存在 $n=p q, 0<p, q<n$, 所以 $\bar{n}=\overline{0}=\overline{p q}=\bar{p} \bar{q}$,而 $\bar{p} \neq \overline{0}, \bar{q} \neq \overline{0}$ ，矛盾。

反之，我们只需指出任意非零元素 $\bar{x} \in Z _n$ 是可逆元素即可. 因为 $n$ 为素数，所以存在 $u, v \in Z$ 使得 $x u+n v=1$. 进而 $\overline{x u+n v}=\overline{1}, \overline{x u}=\bar{x} \bar{u}=\overline{1}$, 即 $\bar{x}$ 是可逆元素。

定义 2.1.3 设 $F$ 是域. 如果存在正整数 $n$, 使得对于每个 $x \in F$ 都有 $n x=0$,则称满足此条件的最小正整数 $n$ 为域 $F$ 的特征数. 如果不存在这样的正整数 $n$,则称域 $F$ 的特征数为 0 . 我们用 $\operatorname{char} F$ 表示域 $F$ 的特征数.

事实上，我们可以将域 $F$ 的特征数定义为满足 $n 1=0$ 的最小正整数.
因为 $n x=0$, 所以

$$
\overbrace{x+\cdots+x}^n=\overbrace{1 x+\cdots+1 x}^n=(\overbrace{1+\cdots+1}^n) x=(n 1) x=0,
$$

于是, $n 1=0$. 反之, 如果 $n 1=0$, 则 $(n 1) x=0$, 即

$$
(\overbrace{1+\cdots+1}^n) x=(\overbrace{1 x+\cdots+1 x}^n)=(\overbrace{x+\cdots+x}^n)=n x=0 .
$$

进而, 如果两个域 $E, F$ 之间有 $E \supseteq F$, 则 $\operatorname{char} E=\operatorname{char} F$, 并且对于有理数域 $Q$ 和有限剩余类域 $Z _p$ ，有 $\operatorname{char} Q =0, \operatorname{char} Z _p=p$ ，其中 $p$ 是素数。

代数学研究的非常重要的一个方面是将所研究的对象进行分类，而进行分类的一种有效方法是找到一个共同的参照物, 然后将所考虑的对象与参照物进行比较.

如果两个对象与参照物的 "距离" 不同, 则我们立即就可以断言这两个对象是不一样的 (图 2.1).
 ![图片](/uploads/2024-11/1bda67.jpg)
那么, 在这里自然就有一个问题: 对象之间如何 "比较"？参照物如何设定？参照物是否唯一？等等问题.

定义 2.1.4 设 $\varphi$ 是域 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的映射. 如果映射 $\varphi$ 满足

$$
\begin{aligned}
& \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) \\
& \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)
\end{aligned}
$$

其中 $a, b \in F$, 则称 $\varphi$ 是域 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的同态映射. 当 $\varphi$ 为单、满、双射时, 称为单同态、满同态、同构、同构时记为 $F \cong F^{\prime}$.

注意, 如果 $\varphi$ 是域 $F$ 到 $F^{\prime}$ 的同构映射, 那么,一定有

$$
\varphi(0)=0, \quad \varphi(1)=1, \quad \varphi(-a)=-a, \quad \varphi\left(a^{-1}\right)=(\varphi(a))^{-1} .
$$

事实上, $\varphi(0+0)=\varphi(0)=\varphi(0)+\varphi(0)$, 所以 $\varphi(0)=0, \varphi(1 a)=\varphi(a)=\varphi(1) \varphi(a)$,所以, $\varphi(1)=1$. 又 $\varphi(0)=0=\varphi(a-a)=\varphi(a)+\varphi(-a)$, 所以 $\varphi(-a)=-\varphi(a)$.

另外, $\varphi(1)=1=\varphi\left(a a^{-1}\right)=\varphi(a) \varphi\left(a^{-1}\right)$, 所以 $\varphi\left(a^{-1}\right)=(\varphi(a))^{-1}$.
定义 2.1.5 除自身之外不再含有其他非平凡子域的域称为极小域或素域.
定理2.1.1 设 $F$ 是素域. 如果 $\operatorname{char} F=p$ (素数), 则 $F \cong Z _p$; 如果 $\operatorname{char} F=0$,则 $F \cong Q$ (有理数域)。

证明 因为 $F$ 是域, 所以必然包含元素 0 和 1. 所以域 $F$ 包含全部形如 $m \cdot 1(m \in Z )$ 的元素。

当 $\operatorname{char} F=p$ 时, $F \supseteq\{m \cdot 1 \mid m \in Z \}= Z _p$ 。而 $Z _p$ 是域, $F$ 又是素域, 于是 $F \cong Z _p$.
当 $\operatorname{char} F=0$ 时, $0 \neq n 1 \in F$, 所以 $(n 1)^{-1} \in F$, 于是 $(m 1)(n 1)^{-1} \in F$, 即有 $F \supseteq\left\{(m 1)(n 1)^{-1} \mid m, n \in Z , n \neq 0\right\}= Q$. 同样, 由于 $F$ 是素域, 所以 $F \cong Q$.

定理 2.1.1告诉我们，不仅素域存在，而且对于素域来说，按照特征数来看只有两种：有理数域 $Q$ 和剩余类域 $Z _p$ 。这就提示我们：在比较两个域的结构时，首先要看特征数是否一样. 如果特征数不一样, 则两个域一定具有明显不同的结构. 如果特征数一样，则它们都必定包含同一个素域。所以，我们只要看清楚它们与同一个素域之间的 "距离" 即可. 这就是说，我们只要集中精力考察具有包含关系的域结构即可。

设 $E, F$ 是域, 且 $E \supseteq F$, 那么如何度量 $E$ 与 $F$ 之间 "差" 多少呢? 直观上看, $E$ 与 $F$ 之间差 $E \backslash F$ 这么多个元素, 即只要将集合 $E \backslash F$ 添加到域 $F$ 之中就能构造出域 $E$ 。

注意，域之中是有运算的，所以集合 $E \backslash F$ 之中的元素不都是独立的. 例如，对于 $Q \subseteq R , \sqrt{2},-\sqrt{2} \in R \backslash Q$, 我们只要将 $\sqrt{2}$ 添加进有理数域 $Q$, 则 $-\sqrt{2}$ 自然就在 $R$ 之中了. 所以, 我们在选择添加的元素集合时, 应该把非 "独立" 的元素去掉.

定义 2.1.6 设 $F$ 是域, $S$ 是一个集合, 则 $F(S)$ 表示包含 $F, S$ 的最小域.
关于域 $F(S)$ 的具体结构, 我们有

$$
\begin{aligned}
F(S)= & \left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S],\right. \\
& \left.f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], \forall s_1, \cdots, s_m \in S\right\}
\end{aligned}
$$

事实上, $\left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S]\right.$, $\left.\forall s_1, \cdots, s_m \in S\right\}$ 就是系数在域 $F$ 上的以集合 $S$ 中的元素为 "未定元" 的多元多项式组成的分式域. 所以, 容易知道, 它是一个域, 而且它包含 $F, S$. 于是, 由 $F(S)$ 的定义, 有

$$
\begin{gathered}
F(S) \subseteq\left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S],\right. \\
\left.f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], \forall s_1, \cdots, s_m \in S\right\} .
\end{gathered}
$$

反之, $\left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], \forall s_1, \cdots\right.$, $\left.s_m \in S\right\}$ 之中的任何一个元素 $\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)}$ 都属于 $F(S)$, 于是
$$
\begin{gathered}
F(S) \supseteq\left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S],\right. \\
\left.f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], \forall s_1, \cdots, s_m \in S\right\} .
\end{gathered}
$$

即 $F(S)=\left\{\left.\frac{f\left(s_1, \cdots, s_m\right)}{g\left(s_1, \cdots, s_m\right)} \right\rvert\, 0 \neq g\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], f\left(s_1, \cdots, s_m\right) \in F[S], \forall s_1, \cdots\right.$, $\left.s_m \in S\right\}$.

如果 $F$ 是一个域, 并且其结构已经知道, 而且域 $E=F(S), S=A \cup B$, 则从直观上讲, 我们自然会想到: 能否通过分步添加元素集合 $A, B$ 得到域 $E=F(S)$ 呢?
定理 2.1.2 设 $F$ 是一个域, $A, B$ 是集合, 则 $F(A \cup B)=F(A)(B)=F(B)(A)$.证明 因为 $A \cup B=B \cup A$, 所以, 只需证明 $F(A \cup B)=F(A)(B)$. 因为 $F(A)(B)$ 是域, 且当然包含 $F, A, B$, 所以包含 $F, A \cup B$. 又由于 $F(A \cup B)$ 是包含 $F, A \cup B$ 的最小域, 所以 $F(A \cup B) \subseteq F(A)(B)$. 反之, 由于 $F(A)(B)$ 是包含 $F(A), B$的最小域, 而 $F(A \cup B)$ 是域, 并且当然包含 $F, A, B$, 所以 $F(A \cup B) \supseteq F(A), B$. 于是 $F(A \cup B) \supseteq F(A)(B)$. 至此, $F(A \cup B)=F(A)(B)$.
，定理 2.1.2 说明，我们在讨论域 $F(S)$ 的结构时，可以通过每次添加一个元素的形式，分步骤进行研究！但是，我们会发现，即使都是添加的一个元素，域的结构也会表现出很大的差异性。

例如, 对于 $Q (x) \supseteq Q$, 我们需要添加 $1, x, x^2, \cdots, x^k, \cdots$ 无穷多个元素, 才能将 $Q (x)$ 中的元素表示成系数为有理数域 $Q$ 上的形式. 而对于 $Q (\sqrt{2}) \supseteq Q$, 因为 $\sqrt{2}$ 是 2 次多项式 $x^2-2=0$ 的根，所以我们只需要添加 $1, \sqrt{2}$ 两个元素，就可以将 $Q(\sqrt{2})$ 中的元素表示成系数为有理数域 $Q$ 上的形式。

为有效区别它们之间的差别，即需添加独立元素的多少，我们有必要进一步引入一种研究工具，以有效讨论具有包含关系的域结构。

定义 2.1.7 设 $V$ 是一个 Abel 群, $F$ 是一个域, $\varphi$ 是一个映射, 即 $\varphi: F \times V \rightarrow$ $V$,在此我们用 $r x(r \in F, x \in V)$ 表示 $\varphi(r, x)$ 时, 如果它们满足:
(1) $r(x+y)=r x+r y$,
(2) $(r+s) x=r x+s x$,
(3) $(r s) x=r(s x)$,
(4) $1 x=x$,

其中 $r, s, 1 \in F, x, y \in V$, 则称 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间.
特别地, 如果我们取 Abel 群 $V$ 为按通常分量加法定义的群, 域 $F$ 取成实数域 $R$, 并且定义 $r x(r \in R , x \in V)$ 是通常的数量乘法, 即 $r x=r\left(x_1, \cdots, x_n\right)=$
$\left(r x_1, \cdots, r x_n\right)$, 则容易知道 $V$ 就是线性代数中的向量空间. 事实上, 我们可以将线性代数中所熟悉的诸多概念，如线性相关、线性无关等概念在域的扩张中进行定义。而且容易验证，其中的诸多性质在域的扩张中仍然成立。

例2.1.3 如果设 $E, F$ 是域, 且 $E \supseteq F$ ，则我们完全可以将 $E$ 视为 $F$ 上的向量空间！

证明 定义 $\varphi: F \times E \rightarrow E((r, x) \rightarrow r x, r \in F, x \in E$, 其中 $r x$ 就是域 $E$ 中的乘法运算)。

至此，我们就可以利用向量空间的维数来表示添加独立元素的多少了.
定义 2.1.8 如果 $E, F$ 是域, 且 $E \supseteq F$ ，则我们用 $|E: F|$ 来表示将 $E$ 视为 $F$上的向量空间时的维数，并称其为 $E$ 对 $F$ 的扩张次数。如果 $|E: F|<\infty$ ，则称 $E$对 $F$ 的扩张为有限扩张. 否则称其为无限扩张.

例2.1.4 扩张 $Q (x) \supseteq Q$ 是无限扩张, $Q (\sqrt{2}) \supseteq Q$ 是有限扩张.
证明 我们能够在 $Q (x)$ 中找到无限个线性无关的元素（向量）就可以了。为此，考察集合 $\left\{1, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots\right\}$ ，则其中的任意有限个元素 $1, x, x^2, \cdots, x^n$ 是线性无关的。

$$
a_0 1+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n=0 \Leftrightarrow a_0=a_1=a_2=\cdots=a_n=0
$$

其中 $a_i \in Q , 0 \leqslant i \leqslant n$.
另外, $| Q (\sqrt{2}): Q |=2$. 我们知道 $\sqrt{2}$ 是多项式 $f(x)=x^2-2 \in Q [x]$ 的根, 而且 $f(x)$ 在 $Q [x]$ 上是不可约的. 而 $Q (\sqrt{2})=\left\{\left.\frac{g(\sqrt{2})}{h(\sqrt{2})} \right\rvert\, g(x), h(x) \in Q [x], h(\sqrt{2}) \neq 0\right\}$.又对于任意的 $h(x) \in Q [x]$, 一定有 $f(x) \mid h(x)$, 或者 $(f(x), h(x))=1$.

如果 $f(x) \mid h(x)$, 则 $h(x)=f(x) p(x), h(\sqrt{2})=f(\sqrt{2}) p(\sqrt{2})=0$. 这就是说, 当 $h(\sqrt{2}) \neq 0$ 时, 一定有 $(f(x), h(x))=1$.

如果 $(f(x), h(x))=1$, 则存在 $u(x), v(x) \in Q [x]$, 使得

$$
\begin{gathered}
f(x) u(x)+h(x) v(x)=1 \\
f(\sqrt{2}) u(\sqrt{2})+h(\sqrt{2}) v(\sqrt{2})=h(\sqrt{2}) v(\sqrt{2})=1 .
\end{gathered}
$$

所以, 对于 $Q (\sqrt{2})$ 中任意元素 $\frac{g(\sqrt{2})}{h(\sqrt{2})}$ 有

$$
\frac{g(\sqrt{2})}{h(\sqrt{2})}=\frac{g(\sqrt{2}) v(\sqrt{2})}{h(\sqrt{2}) v(\sqrt{2})}=g(\sqrt{2}) v(\sqrt{2}) \in Q [\sqrt{2}] .
$$

进一步, 如果 $\forall g(x) \in Q [x]$, 则由第 1 章定理 1.4.2, 存在 $q(x), r(x) \in Q [x]$, 使得

$$
g(x)=f(x) q(x)+r(x),
$$

其中 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} f(x)=2$. 于是,
$$
g(\sqrt{2})=f(\sqrt{2}) q(\sqrt{2})+r(\sqrt{2})=r(\sqrt{2})=a_0+a_1 \sqrt{2} .
$$

这就是说, $Q (\sqrt{2})$ 中任意元素都能由 $\{1, \sqrt{2}\}$ 生成. 另一方面, 如果

$$
a+b \sqrt{2}=0, \quad a, b \in Q ,
$$

则 $a=b=0$, 即 $\{1, \sqrt{2}\}$ 是线性无关的集合.
综上, $Q (\sqrt{2})= Q [\sqrt{2}]$, 并且, $| Q (\sqrt{2}): Q |=2$.
实际上，在 2.2 节，我们将指出例2.1.4的结论是具有一般性的。
现在，我们再回过头来看一下关于域的扩张次数的一般性问题。在前面我们已经知道 $F(A \cup B)=F(A)(B)$, 这就是说, 我们可以通过在域 $F$ 中逐步添加元素的方法得到域 $F(A \cup B), F \subseteq F(A) \subseteq F(A \cup B)$. 这似乎告诉我们应该有

$$
|F(A \cup B): F|=|F(A \cup B): F(A)||F(A): F| .
$$

那么, 更一般地, 如果 $K \supseteq F \supseteq E$, 则是否也有 $|K: E|=|K: F||F: E|$ ?

定理 2.1.3 如果 $E \subseteq F \subseteq K$, 则 $|K: E|=|F: E||K: F|$.
证明 令 $f_1, \cdots, f_n$ 是域 $F$ 作为域 $E$ 上向量空间的基底, $k_1, \cdots, k_m$ 是域 $K$作为域 $F$ 上向量空间的基底，则我们只需要指出集合 $\left\{f_i k_j\right\}_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant m}$ 是域 $K$作为域 $E$ 上向量空间的基底就可以了。

首先，我们指出 $\forall k \in K$ 均可以写成关于 $\left\{f_i k_j\right\}_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant m}$ 的线性表达式. 由于 $k_1, \cdots, k_m$ 是域 $K$ 作为域 $F$ 上向量空间的基底，所以存在 $a_1, \cdots, a_m \in F$ ，使得 $k=a_1 k_1+\cdots+a_m k_m$. 又 $f_1, \cdots, f_n$ 是域 $F$ 作为域 $E$ 上向量空间的基底, 所以对于 $a_i \in F, 1 \leqslant i \leqslant m$, 存在 $a_{i 1}, \cdots, a_{i n} \in E$, 使得 $a_i=a_{i 1} f_1+\cdots+a_{i n} f_n$. 于是

$$
k=\sum_{i=1}^m a_i k_i=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} f_j\right) k_i=\sum_{i, j=1}^{m, n} a_{i j} f_j k_i, \quad a_{i j} \in E .
$$

其次, 如果 $0=\sum_{i, j=1}^{m, n} a_{i j} f_j k_i, a_{i j} \in E$, 则 $0=\sum_{i, j=1}^{m, n} a_{i j} f_j k_i=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} f_j\right) k_i$.而 $\sum_{j=1}^n a_{i j} f_j \in F$, 又 $k_1, \cdots, k_m$ 是域 $K$ 作为域 $F$ 上向量空间的基底, 所以 $\sum_{j=1}^n a_{i j} f_j=$ 0. 再 $f_1, \cdots, f_n$ 是域 $F$ 作为域 $E$ 上向量空间的基底, 所以 $a_{i j}=0$. 即 $\left\{f_i k_j\right\}_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant m}$ 是线性无关的.

至此, 集合 $\left\{f_i k_j\right\}_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant m}$ 一定是域 $K$ 作为域 $E$ 上向量空间的基底.

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