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单纯扩张

## 2.2 单纯扩张
设 $E, F$ 是域，如果 $E \supseteq F$ ，则通过 2.1 节的讨论，知道想要了解 $E$ 的结构，我们可以通过在 $F$ 中逐步添加＂独立＂元素的方式来搞清楚 $E$ 的结构．当然，这样的话，我们就有必要首先搞清楚添加一个元素 $\alpha$ 的扩张 $F(\alpha)$ 的结构．

定义2．2．1 设 $F$ 是一个域，则称在 $F$ 上添加一个元素 $\alpha$ 得到的扩域 $F(\alpha)$为域 $F$ 上的单纯扩张。

注意，由例 2．1．4，我们应该意识到，添加元素的性质与单纯扩张 $F(\alpha)$ 的结构应具有密切的关联．因此，有必要先界定添加元素的属性。

定义2．2．2 设 $F$ 是域，且 $E \supseteq F$ ．如果对于 $e \in E$ ，存在一多项式 $f(x) \in F[x]$ ，使得 $f(e)=0$ ，则称 $e$ 是 $F$ 上的代数元素．否则称 $e$ 是 $F$ 上的超越元素．

设 $E, F$ 是域，如果 $E \supseteq F$ ，且 $\alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元素，则在多项式的集合

$$
\{h(x) \in F[x] \mid h(\alpha)=0\} \subseteq F[x]
$$

中必定存在一个次数最小的多项式 $f(x)$ ，使得 $f(x)$ 一定是不可约的．
事实上，如果 $f(x)$ 可约，则存在 $g(x), h(x) \in F[x]$ ，使得

$$
f(x)=g(x) h(x)
$$

其中 $\operatorname{deg} g(x), \operatorname{deg} h(x)<\operatorname{deg} f(x)$ 。所以，$f(\alpha)=g(\alpha) h(\alpha)=0$ ，进而 $g(\alpha)=0$ 或 $h(\alpha)=0$ ．但是，不论 $g(\alpha)=0$ 或 $h(\alpha)=0$ ，都将与 $f(x)$ 是次数最小的以 $\alpha$ 为根
的多项式的假设相矛盾．所以，$f(x)$ 一定是不可约的．因此，在假定其首项系数是 1 时，这样的多项式 $f(x)$ 是唯一确定的。

定义 2．2．3 设 $E, F$ 是域，$E \supseteq F$ ．如果 $\alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元素，则称以 $\alpha$为根的次数最小的，首项系数为 1 的不可约多项式为 $\alpha$ 的极小多项式．

定理2．2．1 设 $E, F$ 是域，$E \supseteq F, \alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元素．如果 $f(x) \in F[x]$是 $\alpha$ 的极小多项式，则

$$
\{h(x) \in F[x] \mid h(\alpha)=0\}=(f(x)) .
$$

即如果 $h(\alpha)=0$ ，则 $f(x) \mid h(x)$ ．
证明 令 $h(x) \in F[x]$ 且 $h(\alpha)=0$ ，则存在 $q(x), r(x) \in F[x]$ ，使得

$$
h(x)=f(x) q(x)+r(x),
$$

其中 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ．所以

$$
h(\alpha)=f(\alpha) q(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)=0
$$

即 $r(x) \in F[x]$ 也是以 $\alpha$ 为根的多项式，而且其次数小于 $f(x)$ 的次数，这与 $f(x) \in$ $F[x]$ 是 $\alpha$ 的极小多项式相矛盾．所以 $r(x) \equiv 0$ ，即 $h(x)=f(x) q(x), f(x) \mid h(x)$ 。

另外，因为极小多项式是不可约的，而 $F[x]$ 是主理想整环，所以 $(f(x))$ 是极大理想．至此，利用定理 2．2．1，我们就可以准确地描述单纯代数扩张的代数结构了．

定理 2．2．2 设 $E, F$ 是域，$E \supseteq F, \alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元素，$f(x) \in F[x]$ 是 $\alpha$ 的极小多项式，并且 $\operatorname{deg} f(x)=n$ ，则

（1）$F[\alpha]=F(\alpha)$ ，
（2）$F(\alpha) \cong F[x] /(f(x))$ ，
（3）$|F(\alpha): F|=n$ ，且集合 $\left\{1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}\right\}$ 是 $F(\alpha)$ 在 $F$ 上的一组基底，进而任意 $F(\alpha)$ 之中的元素都可以写成关于 $1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}$ 的唯一表达式。

证明（1）显然，有 $F[\alpha] \subseteq F(\alpha)$ 。反之，考虑 $F(\alpha)$ 之中的任意元素 $\frac{g(\alpha)}{h(\alpha)} \in$ $F(\alpha), h(\alpha) \neq 0$ ，即 $h(x) \in F[x]$ 不以 $\alpha$ 为根．又 $f(x)$ 是不可约多项式，所以 $(f(x), h(x))=1$ ．于是存在 $u(x), v(x) \in F[x]$ ，使得

$$
\begin{aligned}
& f(x) u(x)+h(x) v(x)=1 \\
& f(\alpha) u(\alpha)+h(\alpha) v(\alpha)=1 \\
& h(\alpha) v(\alpha)=1
\end{aligned}
$$

因此，$\frac{g(\alpha)}{h(\alpha)}=\frac{g(\alpha) v(\alpha)}{h(\alpha) v(\alpha)}=g(\alpha) v(\alpha) \in F[\alpha]$ ，即 $F[\alpha] \supseteq F(\alpha)$ ．
（2）定义环的满同态映射

$$
\begin{aligned}
\varphi: F[x] & \rightarrow F[\alpha], \\
g(x) & \rightarrow g(\alpha),
\end{aligned}
$$

则 $F[x] / \operatorname{ker} \varphi \cong F[\alpha]=F(\alpha)$ ．又 $\operatorname{ker} \varphi=\{g(x) \in F[x] \mid g(\alp

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