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有限扩张和代数扩张

## 2.3 有限扩张和代数扩张

通过研究单纯扩张的结构，我们知道扩张域的结构与添加元素的性质，即与其是否为代数元素具有密切的联系．这节我们将对添加的元素都是代数元素的扩张域结构进行讨论。

定义 2．3．1 设域 $F \subseteq E$ ．如果 $\forall e \in E$ 都是 $F$ 上的代数元素，则称 $E$ 是 $F$的代数扩张。

定理 2．3．1 有限扩张一定是代数扩张，即如果 $|E: F|=n<\infty$ ，则 $E$ 是 $F$的代数扩张。

证明 任意取 $\alpha \in E$ ，并考虑 $n+1$ 个元素 $1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ ，则由于 $|E: F|=n$ ，所以 $n+1$ 个元素 $1, \alpha, \cdots, \alpha^n$ 在 $F$ 上一定是线性相关的．即存在不全是 0 的元素 $a_0, a_1, \cdots, a_n \in F$ ，使得

$$
a_0+a_1 \alpha+\cdots+a_n \alpha^n=0 .
$$

这就是说，$\alpha$ 是多项式 $a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n \in F[x]$ 的根，即 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元素，所以 $E$ 是 $F$ 的代数扩张．

如果扩张 $E \supseteq F$ 是有限扩张，则显然存在有限个元素构成的基底．令它们为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ，则 $E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，并且其中的每个元素又是代数元素．那么，我们自然可以想到：是否有限扩张的结构一定都是这样的呢？

事实就是如此，即添加有限个代数元素的扩张一定是有限扩张，而且有限扩张一定是通过添加有限个代数元素得到的。

定理 2．3．2 域 $F \subseteq E$ 是有限扩张的充分必要条件是 $E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的有限个代数元素．

证明 如果 $|E: F|=n<\infty$ ，则存在由 $n$ 个元素 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in E$ 组成的 $F$上的基底，而且由于是有限扩张，所以每个元素 $\alpha_i \in E$ 是 $F$ 上的代数元素，于是 $E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 。

反之，如果 $E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，且 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，则 $\alpha_i \in E$ 当然是 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}\right)$ 上的代数元素，即 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}, \alpha_i\right)=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}\right)\left(\alpha_i\right) \supseteq$ $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}\right)$ 是单纯代数扩张，所以是有限扩张．这样，我们就可以考虑

$$
E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \supseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right) \supseteq \cdots \supseteq F\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \supseteq F
$$

所以，

$$
|E: F|=\left|F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right)\right| \cdots\left|F\left(\alpha_1, \alpha_2\right): F\right|<\infty
$$

推论 2．3．1 如果 $\alpha, \beta$ 是域 $F$ 上的代数元素，则 $\alpha \pm \beta, \alpha \beta, \frac{\alpha}{\beta}$ 都是域 $F$ 上的代数元素。

如果域 $F$ 是有理数域 $Q$ ，则推论2．3．1 的结论可以用更为初等的方法予以证明．

事实上，如果 $\alpha, \beta$ 是有理数域 $Q$ 上的代数数，则我们可以设 $\alpha, \beta$ 是首项系数为 1 的多项式的根，即存在 $f(x), g(x) \in Q [x]$ ，使得

$$
\begin{aligned}
& f(x)=x^m-a_{m-1} x^{m-1}-\cdots-a_1 x-a_0 \\
& g(x)=x^n-b_{n-1} x^{n-1}-\cdots-b_1 x-b_0
\end{aligned}
$$

并且

$$
\begin{aligned}
& \alpha^m=a_{m-1} \alpha^{m-1}+\cdots+a_1 \alpha+a_0 \\
& \beta^n=b_{n-1} \beta^{n-1}+\cdots+b_1 \beta+b_0
\end{aligned}
$$

我们考察由 $\left\{1, \alpha, \cdots, \alpha^{m-1}\right\}$ 和 $\left\{1, \beta, \cdots, \beta^{n-1}\right\}$ 的乘积

$$
\left\{1, \alpha, \cdots, \alpha^{m-1} ; \beta, \alpha \beta, \cdots, \alpha^{m-1} \beta ; \cdots ; \beta^{n-1}, \alpha \beta^{n-1}, \cdots, \alpha^{m-1} \beta^{n-1}\right\}
$$

构成的 $m n$ 个数的集合．为书写方便，将它们依次记为 $\left\{\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_{m n}\right\}$ ．然后，再用 $(\alpha+\beta)$ 分别乘以 $\delta_i, 1 \leqslant i \leqslant m n$ ，则 $(\alpha+\beta) \delta_i=c_{i 1} \delta_1+c_{i 2} \delta_2+\cdots+c_{i m n} \delta_{m n}$ ， $c_{i j} \in Q , 1 \leqslant i, j \leqslant m n$.

例如，$(\alpha+\beta) \alpha=\alpha^2+\alpha \beta=0 \delta_1+0 \delta_2+\delta_3+\cdots+\delta_{m+2}+\cdots$ ．
这样，我们就得到
  ![图片](/uploads/2025-11/11dcaf.jpg)

显然，$\left\{\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_{m n}\right\}$ 是齐次线性方程组

![图片](/uploads/2025-11/733e39.jpg)

的一组非零解．所以，齐次线性方程的系数行列式为 0 ，即
 ![图片](/uploads/2025-11/bd5059.jpg)
 
所以$\alpha+\beta$ 是多项式

![图片](/uploads/2025-11/86cfbe.jpg)

的根，即 $\alpha+\beta$ 是代数数．
同理 $\alpha-\beta, \alpha \beta$ 也都是代数数。至于 $\frac{\alpha}{\beta}$ 的代数数性，我们只要

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