最后更新: 2025-11-05 08:42 查看: 92 次纠错评论(0) 课件开VIP

分裂域和正规扩张

2.4 分裂域和正规扩张

设 $E \supseteq F$ 是域的扩张，则存在一个中间域 $\bar{F}$ ，使得 $E \supseteq \bar{F} \supseteq F$ ，并且 $\bar{F} \supseteq F$是纯代数扩张，$E \supseteq \bar{F}$ 是纯超越扩张．所以，我们在研究域的扩张结构时，可以先研究代数扩张的结构，然后再研究超越扩张的结构．而且，研究代数扩张的结构时，又可以通过有限扩张的结构逐步逼近其结构，即

$$
F \subseteq F\left(\alpha_1\right) \subseteq F\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \subseteq \cdots \subseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \subseteq \cdots \subseteq \bar{F}
$$

所以，我们需要首先知道有限扩张的确切结构，即如果 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，则 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 的结构是什么样的？更确切一点说，因为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，所以每个元素 $\alpha_i$ 都对应一个极小多项式 $f_i(x) \in F[x], 1 \leqslant i \leqslant n$ ，又每个极小多项式 $f_i(x)$ 都有根 $\alpha_i=\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i k_i}$ ．则这里就有一个问题，是否有

$$
F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_{11}, \alpha_{12}, \cdots, \alpha_{1 k_1}, \cdots, \alpha_{n 1}, \alpha_{n 2}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right) ?
$$

这等价于问：$F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 是否是由添加同一个多项式的根得到的？如果是，那么我们可以继续考虑，是否只要添加该多项式的一个根，那么其他的根就都属于它了呢？

下面我们就对这些问题进行讨论．
定义2．4．1 设 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$f(x) \in F[x]$ ．如果
（1）$E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，
（2）$f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right)$ ，
则称 $E$ 是多项式 $f(x)$ 的分裂域．
注意，定义2．4．1 中的分裂域实际上是指满足条件（1）和（2）的最小域．
例 2．4．1 多项式 $f(x)=\left(x^2-2\right) \in Q [x]$ 的分裂域是 $Q (\sqrt{2})$ ．
解 $Q (\sqrt{2})= Q (\sqrt{2},-\sqrt{2}),\left(x^2-2\right)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ．
例 2．4．2 $Q (\sqrt[3]{2})$ 不是多项式 $x^3-2 \in Q [x]$ 的分裂域．因为 $Q (\sqrt[3]{2})$ 只含多项式 $x^3-2$ 的一个根 $\sqrt[3]{2}$ ，而多项式的其他两个根 $\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ 则不属于 $Q (\sqrt[3]{2})$ ．事实上，

$$
x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})\left(x^2+\sqrt[3]{2} x+\sqrt[3]{4}\right)=(x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})\left(x-\omega^2 \sqrt[3]{2}\right)
$$

其中 $\omega^2+\omega+1=0$ ，所以 $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{-3}$ ．
实际上，对于任意一个多项式 $f(x) \in F[x]$ ，它的分裂域是存在的．如果 $f(x)$是可约多项式，即 $f(x)=f_1(x) \cdots f_m(x)$ ，其中每个 $f_i(x) \in F[x]$ 是不可约的，则

可以通过依次构造 $f_i(x)$ 的分裂域，然后再合成 $f(x)$ 的分裂域即可．例如，在构造 $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right) \in Q [x]$ 的分裂域时，我们先分别构造 $\left(x^2-2\right),\left(x^2-3\right)$ 的分裂域 $Q (\sqrt{2}), Q (\sqrt{3})$ ，则 $Q (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 就是多项式 $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right) \in Q [x]$ 的分裂域．所以，在考虑关于多项式的分裂域问题时，我们不妨假设 $f(x)^{\prime} \in F[x]$ 是不可约的多项式．

定理 2．4．1 设 $f(x) \in F[x]$ 是不可约的多项式，则多项式 $f(x)$ 的分裂域 $E$存在，并且 $|E: F| \leqslant n$ ！，其中 $\operatorname{deg} f(x)=n$ ．

证明 首先，证明分裂域的存在性。
我们对不可约多项式的次数 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 用归纳法．当 $n=1$ 时，显然 $f(x)=$ $x-a \in F[x]$ ，所以 $a \in F$ ，即 $f(x)=x-a \in F[x]$ 的分裂域就是 $F(a)=F$ ．下面在假设不可约多项式的次数 $<n$ 时分裂域存在的前提下，考察 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 时的情况。

因为 $f(x)$ 是不可约的多项式，所以存在 $f(x)=0$ 的一个根 $\alpha_1$ ．从而得到一个域的扩张 $F \subseteq F\left(\alpha_1\right)$ ．此时，如果 $F\left(\alpha_1\right)$ 是 $f(x)$ 的分裂域，即 $f(x)=0$ 的所有其他根 $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 都属于 $F\left(\alpha_1\right)$ ，则必然有 $F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_1\right)$ 和当考虑 $f(x) \in F\left(\alpha_1\right)$ 时 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right)$ ．

但是，如果 $F\left(\alpha_1\right)$ 不是 $f(x)$ 的分裂域，则必存在 $f(x)=0$ 的一个其他根 $\alpha_2 \notin F\left(\alpha_1\right)$ ，并且 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right) f_1(x) \in F\left(\alpha_1\right)[x], \operatorname{deg} f_1(x)<\operatorname{deg} f(x)$ 。在此，我们仍然可以假设 $f_1(x) \in F\left(\alpha_1\right)[x]$ 是不可约的，否则它必定有一个不可约因式，从而可以就该不可约因式进行完全相同的讨论．所以，我们可以假设 $f_1(x)$ 是不可约的．于是利用归纳假设，存在对于 $f_1(x) \in F\left(\alpha_1\right)[x]$ 的分裂域 $F\left(\alpha_1\right)\left(\alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ．

现在，我们可以断定 $F\left(\alpha_1\right)\left(\alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 就是 $f(x) \in F[x]$的分裂域。

事实上，由 $F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 的构造过程，显然，$f(x)=0$ 的所有根属于 $F\left(\alpha_1\right.$, $\left.\alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，并且 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right)$ ．

其次，因为 $F \subseteq F\left(\alpha_1\right) \subseteq \cdots \subseteq F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 依次为多项式

$$
f(x), \frac{f(x)}{x-\alpha_1}, \cdots, \frac{f(x)}{\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_{n-1}\right)}
$$

中不可约因式的根，所以，

$$
\begin{aligned}
\left|F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): F\right| & =\left|F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right)\right| \cdots\left|F\left(\alpha_1\right): F\right| \\
& \leqslant 1 \times 2 \times \cdots \times n
\end{aligned}
$$

如果我们仔细考察定理 2．4．1 的证明过程，即对于一个多项式的分裂域的构造过程，那么我们会发现：可以通过不一样的方式，方法来得到一个多项式的分裂域，所以同一个多项式的分裂域的表现形式很可能有一定的差别．那么，这里自然就有

一个问题：分裂域是否是唯一的呢？为了便于清楚地说明问题，我们引入一个非常重要的 $F$－同构概念．

定义 2．4．2 设 $E \supseteq F, E^{\prime} \supseteq F$ 是域的两个扩张．如果存在域的同构 $\varphi: E \rightarrow$ $E^{\prime}$ ，满足 $\left.\varphi\right|_F=1$ ，即 $\varphi(a)=a, a \in F$ ，则称 $E, E^{\prime}$ 是 $F$－同构，或者称 $E, E^{\prime}$ 在 $F$上等价，记为 $E \cong_F E^{\prime}$ 。

显然，对于任意两个无关的独立未定元 $x, y$ ，有 $F(x) \cong_F F(y)$ ．另外，对于有限代数扩张 $Z _2(\alpha) \supseteq Z _2$ 和 $Z _2(\alpha+1) \supseteq Z _2$ 也是 $Z _2$－同构的，其中 $\alpha^2+\alpha+1=0$ 。

事实上，$\alpha, \alpha+1$ 是不可约 $x^2+x+1 \in Z _2[x]$ 的两个不同根，所以

$$
Z _2(\alpha) \cong Z _2[x] /\left(x^2+x+1\right) \cong Z _2(\alpha+1), \quad Z _2(\alpha) \cong Z _2 Z _2(\alpha+1)
$$

定理 2．4．2 如果 $\alpha, \beta$ 都是域 $F$ 上代数元素，并且它们是同一个不可约多项式的根，则 $F(\alpha), F(\beta)$ 在 $F$ 上等价．

证明 不妨假设不可约多项式为 $f(x) \in F[x]$ ，则

$$
F(a)=F[\alpha] \cong F[x] /(f(x)) \cong F[\beta]=F(\beta)
$$

实际上，我们可以将 $F$－同构的概念拓展成更为一般的形式：设 $E \supseteq F, E^{\prime} \supseteq F^{\prime}$是域的扩张，且存在域的同构 $\varphi_0: F \rightarrow F^{\prime}$ ，如果在各自的扩张域上存在域的同构 $\varphi: E \rightarrow E^{\prime}$ ，满足 $\left.\varphi\right|_F=\varphi_0$ ，即 $\varphi(a)=\varphi_0(a), a \in F$ ，则称 $E, E^{\prime}$ 是 $\varphi_0$－同构，或者称 $\varphi$ 是 $\varphi_0$ 的拓展同构．
$F$－同构也好，$\varphi_0$－同构也好，类似地，在不同的代数结构之间也可以定义相似的概念．以后我们经常遇到的是下面的形式．

令 $F, F^{\prime}$ 是两个同构的域，即存在同构映射 $\varphi_0: F \rightarrow F^{\prime}$ ，那么我们很自然地可以将 $\varphi_0$ 拓展成多项式环 $F[x], F^{\prime}[x]$ 之间的同构：

$$
\begin{aligned}
\varphi & : F[x] \rightarrow F^{\prime}[x] \\
a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n & \rightarrow \varphi\left(a_0\right)+\varphi\left(a_1\right) x+\cdots+\varphi\left(a_n\right) x^n
\end{aligned}
$$

注意，这种拓展具有＂形式不变性＂！即如果存在多项式 $f(x)=f_1(x) \cdots f_n(x)$ $\in F[x]$ ，则一定存在形式完全一样的对应多项式 $\varphi(f(x))=\varphi\left(f_1(x)\right) \cdots \varphi\left(f_n(x)\right) \in$ $F^{\prime}[x]$ ．所以，我们有下面的结论。

定理 2．4．3 设 $F, F^{\prime}$ 是两个同构的域，$f(x) \in F[x]$ 是不可约的多项式，$f^{\prime}(x)=$ $\varphi(f(x)) \in F^{\prime}[x]$ ．如果 $E, E^{\prime}$ 分别表示 $f(x), f^{\prime}(x)$ 的分裂域，则 $F, F^{\prime}$ 之间的同构映射可以拓展成 $E, E^{\prime}$ 之间的同构映射．进而，一个多项式的分裂域在同构意义下是唯一的。

证明 首先，$f(x) \in F[x]$ 不可约的充分必要条件是 $f^{\prime}(x)=\varphi(f(x)) \in F^{\prime}[x]$ 不可约．事实上，如果 $f(x) \in F[x]$ 不可约，则 $f^{\prime}(x)=\varphi(f(x)) \in F^{\prime}[x]$ 一定是不可约的。如若不然，则有

$$
\begin{gathered}
f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) h^{\prime}(x), \\
\varphi(f(x))=\varphi(g(x)) \varphi(h(x)), \\
\varphi(f(x))=\varphi(g(x) h(x)), \\
f(x)=g(x) h(x),
\end{gathered}
$$

即 $f(x)$ 是可约多项式，矛盾．反之亦然．另外，显然有 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} f^{\prime}(x)$ ，并且 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)=\varphi(f(x))$ 的形式是＂一样＂的。

其次，分裂域同构。在此，我们通过对扩张次数 $|E: F|$ 进行归纳来证明结论。当 $|E: F|=1$ 时，$E=F$ ，所以 $f(x)$ 在 $F$ 上已经分解成 1 次因式乘积的形式．于是 $f^{\prime}(x) \in F^{\prime}[x]$ 在 $F^{\prime}$ 上当然也分解成了 1 次因式乘积的形式，因此，

$$
E^{\prime}=F^{\prime}, \quad E=F \cong F^{\prime}=E^{\prime}
$$

即定理结论成立。
下面在假设 $|E: F|<n$ 时，定理结论成立的前提下，考察 $|E: F|=n$ 时的情况．令 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个根，即 $f(\alpha)=0$ ，则由于存在拓展同构

所以，存在与 $f(x)$ 对应的形式一样的多项式 $f^{\prime}(x) \in F^{\prime}[x]$ ，使得它以 $\alpha^{\prime}$ 为根，并且拓展同构由下面的同构确定

$$
F(\alpha)=F[\alpha] \cong F[x] /(f(x)) \cong F^{\prime}[x] /\left(f^{\prime}(x)\right) \cong F\left[\alpha^{\prime}\right]=F\left(\alpha^{\prime}\right)
$$

事实上，根据单纯代数扩张的结构，如果令 $\operatorname{deg} f(x)=m$ ，则上面的 $F[\alpha], F^{\prime}\left[\alpha^{\prime}\right]$之间的拓展同构可以定义成如下形式：

$$
\begin{gathered}
\varphi^{\prime}: F[\alpha] \rightarrow F^{\prime}\left[\alpha^{\prime}\right] \\
a_0+a_1 \alpha+\cdots+a_{m-1} \alpha^{m-1} \rightarrow \varphi\left(a_0\right)+\varphi\left(a_1\right) \alpha^{\prime}+\cdots+\varphi\left(a_{m-1}\right)\left(\alpha^{\prime}\right)^{m-1}
\end{gathered}
$$

于是，当 $f(x)=(x-\alpha)^s f_1(x) \cdots f_k(x) \in F(\alpha)[x]$ ，其中 $f_1(x), \cdots, f_k(x) \in F(\alpha)[x]$是不可约多项式时，当然对应地，有 $f^{\prime}(x)=\left(x-\alpha^{\prime}\right)^s f_1^{\prime}(x) \cdots f_k^{\prime}(x) \in F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)[x]$ ，其中 $f_1^{\prime}(x), \cdots, f_k^{\prime}(x) \in F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)[x]$ 也是不可约的．

注意， $\operatorname{deg} f_i(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ．所以，我们利用归纳假设，可以建立 $F(\alpha)$ 上 $f_i(x)$的分裂域与 $F^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)$ 上 $f_i^{\prime}(x)$ 的分裂域之间的同构．又由于 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} f^{\prime}(x)<\infty$ ，所以，通过有限次重复上面的过程，可以建立 $f(x), f^{\prime}(x)$ 的分裂域之间的同构。

注意，如果 $\alpha \in E \backslash F$ 是不可约多项式 $f(x) \in F[x]$ 的根，而 $\varphi: E \rightarrow E$ 是 $F$－同构，则 $\varphi(\alpha)$ 也是 $f(x) \in F[x]$ 的根．事实上，$\varphi(f(\alpha))=f(\varphi(\alpha))$ ．

域的代数扩张既然可以通过不断添加多项式的根得到，那么对于给定的一个多项式 $f(x) \in F[x]$ 的分裂域，我们就可以通过把 $f(x)$ 的所有根添加到域 $F$ 得到．即
如果假设 $f(x)$ 的所有根为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ，则 $f(x)$ 的分裂域为 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ．于是，我们很容易想到，能否添加尽可能少的 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$ 中的元素，得到 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ．当然，最好是只添加一个元素 $\alpha\left(=\alpha_i, 1 \leqslant i \leqslant n\right)$ 就能得到 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 了。

为了进一步揭示出分裂域的性质，我们先看几个例子，然后再引入必要的概念 ——正规扩张．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：有限扩张和代数扩张

下一篇：分裂域和正规扩张举例

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)