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分裂域和正规扩张

2.4 分裂域和正规扩张

设 $E \supseteq F$ 是域的扩张，则存在一个中间域 $\bar{F}$ ，使得 $E \supseteq \bar{F} \supseteq F$ ，并且 $\bar{F} \supseteq F$是纯代数扩张，$E \supseteq \bar{F}$ 是纯超越扩张．所以，我们在研究域的扩张结构时，可以先研究代数扩张的结构，然后再研究超越扩张的结构．而且，研究代数扩张的结构时，又可以通过有限扩张的结构逐步逼近其结构，即

$$
F \subseteq F\left(\alpha_1\right) \subseteq F\left(\alpha_1, \alpha_2\right) \subseteq \cdots \subseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \subseteq \cdots \subseteq \bar{F}
$$

所以，我们需要首先知道有限扩张的确切结构，即如果 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，则 $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 的结构是什么样的？更确切一点说，因为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，所以每个元素 $\alpha_i$ 都对应一个极小多项式 $f_i(x) \in F[x], 1 \leqslant i \leqslant n$ ，又每个极小多项式 $f_i(x)$ 都有根 $\alpha_i=\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i k_i}$ ．则这里就有一个问题，是否有

$$
F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=F\left(\alpha_{11}, \alpha_{12}, \cdots, \alpha_{1 k_1}, \cdots, \alpha_{n 1}, \alpha_{n 2}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right) ?
$$

这等价于问：$F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 是否是由添加同一个多项式的根得到的？如果是，那么我们可以继续考虑，是否只要添加该多项式的一个根，那么其他的根就都属于它了呢？

下面我们就对这些问题进行讨论．
定义2．4．1 设 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$f(x) \in F[x]$ ．如果
（1）$E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，
（2）$f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right)$ ，
则称 $E$ 是多项式 $f(x)$ 的分裂域．
注意，定义2．4．1 中的分裂域实际上是指满足条件（1）和（2）的最小域．
例 2．4．1 多项式 $f(x)=\left(x^2-2\right) \in Q [x]$ 的分裂域是 $Q (\sqrt{2})$ ．
解 $Q (\sqrt{2})= Q (\sqrt{2},-\sqrt{2}),\left(x^2-2\right)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ．
例 2．4．2 $Q (\sqrt[3]{2})$ 不是多项式 $x^3-2 \in Q [x]$ 的分裂域．因为 $Q (\sqrt[3]{2})$ 只含多项式 $x^3-2$ 的一个根 $\sqrt[3]{2}$ ，而多项式的其他两个根 $\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ 则不属于 $Q (\sqrt[3]{2})$ ．事实上，

$$
x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})\left(x^2+\sqrt[3]{2} x+\sqrt[3]{4}\right)=(x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})\left(x-\omega^2 \sqrt[3]{2}\right)
$$

其中 $\omega^2+\omega+1=0$ ，所以 $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{-3}$ ．
实际上，对于任意一个多项式 $f(x) \in F[x]$ ，它的分裂域是存在的．如果 $f(x)$是可约多项式，即 $f(x)=f_1(x) \cdots f_m(x)$ ，其中每个 $f_i(x) \in F[x]$ 是不可约的，则

可以通过依次构造 $f_i(x)$ 的分裂域，然后再合成 $f(x)$ 的分裂域即可．例如，在构造 $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right) \in Q [x]$ 的分裂域时，我们先分别构造 $\left(x^2-2\right),\left(x^2-3\right)$ 的分裂域 $Q (\sqrt{2}), Q (\sqrt{3})$ ，则 $Q (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 就是多项式 $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right) \in Q [x]$ 的分裂域．所以，在考虑关于多项式的分裂域问题时，我们不妨假设 $f(x)^{\prime} \in F[x]$ 是不可约的多项式．

定理 2．4．1 设 $f(x) \in F[x]$ 是不可约的多项式，则多项式 $f(x)$ 的分裂域 $E$存在，并且 $|E: F| \leqslant n$ ！，其中 $\operatorname{deg} f(x)=n$ ．

证明 首先，证明分裂域的存在性。
我们对不可约多项式的次数 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 用归纳法．当 $n=1$ 时，显然 $f(x)=$ $x-a \in F[x]$ ，所以 $a \in F$ ，即 $f(x)=x-a \in F[x]$ 的分裂域就是 $F(a)=F$ ．下面在假设不可约多项式的次数 $<n$ 时分裂域存在的前提下，考察 $\operatorname{deg} f(x)=n$ 时的情况。

因为 $f(x)$ 是不可约的多项式，所以存在 $f(x)=0$ 的一个根 $\alpha_1$ ．从而得到一个域的扩张 $F \subseteq F\left(\alpha_1\right)$ ．此时，如果 $F\left(\alpha_1\right)$ 是 $f(x)$ 的分裂域，即 $f(x)=0$ 的所有其他根 $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 都属于 $F\left(\alpha_1\right)$ ，则必然有 $F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots,

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