最后更新: 2025-11-05 08:44 查看: 61 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分裂域和正规扩张举例

例 2．4．3 令 $F= Q$ 是有理数域，$p$ 是素数，试构造多项式 $x^p-1 \in Q [x]$ 的分裂域。

解 因为 $x^p-1=(x-1)\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$ ，而且 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+\right.$ $x+1) \in Q [x]$ 是不可约的，又显然 $1 \in Q$ ，所以 $x^p-1$ 的分裂域就是 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\right.$ $\cdots+x+1)$ 的分裂域．

令 $\alpha \neq 1$ 是 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$ 的一个根，则 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$的所有根为 $\alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{p-1}$ 。

事实上，因为 $\alpha^p=1$ ，所以 $\left(\alpha^i\right)^p=\left(\alpha^p\right)^i=1$ ．又 $\alpha^i \neq \alpha^j, 1 \leqslant i \neq j \leqslant p-1$ ．若不然，则 $\alpha^{i-j}=1$ ，所以 $|i-j| \mid p$ ，而 $|i-j|<p, p$ 是素数，矛盾．因此多项式 $x^p-1 \in Q [x]$ 的分裂域为

$$
Q \left(\alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{p-1}\right)= Q (\alpha)
$$

例 2．4．4 试确定多项式 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的分裂域．
解 因为 $1^3+1+1=1 \neq 0,0^3+0+1=1 \neq 0$ ，所以 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 是不可约多项式．令 $\alpha$ 是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的一个根，则 $\alpha \neq 0,1$ ，且 $\alpha^3+\alpha+1=0$ ．所以 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的 3 个不同根．

事实上，如果 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 中有两个互相相等，则有 $\alpha=1, \alpha^2=1, \alpha^3=1$ ，这最终将导致与 $1=0, \alpha=0$ 矛盾．另外，由于在特征数为 2 的域上有 $(x+y)^2=x^2+y^2$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \left(\alpha^2\right)^3+\alpha^2+1=\left(\alpha^3+\alpha+1\right)^2=0 \\
& \left(\alpha^4\right)^3+\alpha^4+1=\left(\alpha^3+\alpha+1\right)^4=0
\end{aligned}
$$

即 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 确是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的 3 个不同根．
于是，$x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的分裂域为 $Z _2\left(\alpha, \alpha^2, \alpha^4\right)= Z _2(\alpha)$ ．
注记，在例 2．4．4 中用到 $(x+y)^2=x^2+y^2$ 的结论。实际上，对于特征数为 $p$ 的域，我们有更为一般的结果：如果 $\operatorname{char} F=p$ ，则 $(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}$ ．

事实上，由二项式展开定理，有

$$
\begin{aligned}
(x+y)^{p^n}= & x^{p^n}+\binom{p^n}{1} x^{p^n-1} y+\cdots+\binom{p^n}{k} x^{p^n-k} y^k \\
& +\cdots+\binom{p^n}{p^n-1} x y^{p^n-1}+y^{p^n}
\end{aligned}
$$

但是，$p \left\lvert\,\binom{ p^n}{k}\right., 1 \leqslant k \leqslant p^n-1$ ，所以 $\binom{p^n}{k}=0$ ．因此，

$$
(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}
$$

通过前面的两个例子，我们应该有理由相信，至少存在这样的分裂域扩张，对它我们只要添加不可约多项式的一个根，则其他的根也随之进入了该扩张域。

定义 2．4．3 设 $E \supseteq F$ 是域的有限扩张．如果 $F[x]$ 中的不可约多项式的一个根属于 $E$ 时，该不可约多项式的其他根也属于 $E$ ，那么就称 $E$ 是 $F$ 的正规扩张。

正规扩张定义中有关根的条件也可以定义为：如果满足 $F[x]$ 中的不可约多项式在 $E[x]$ 中有 1 次因式时，则该不可约多项式在 $E[x]$ 中的所有因式均是一次因式，那么，我们就称 $E$ 是 $F$ 的正规扩张。

容易知道，例2．4．1，2．4．3，2．4．4 中的扩张是正规扩张，当然它们是各自对应多项式的分裂域，而例2．4．2 中的扩张 $Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq Q$ 是有限扩张，但不是正规扩张，也不是对应多项式的分裂域。这是否暗示正规扩张是分裂域，而

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