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2.4 分裂域和正规扩张举例

例 2．4．3 令 $F= Q$ 是有理数域，$p$ 是素数，试构造多项式 $x^p-1 \in Q [x]$ 的分裂域。

解 因为 $x^p-1=(x-1)\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$ ，而且 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+\right.$ $x+1) \in Q [x]$ 是不可约的，又显然 $1 \in Q$ ，所以 $x^p-1$ 的分裂域就是 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\right.$ $\cdots+x+1)$ 的分裂域．

令 $\alpha \neq 1$ 是 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$ 的一个根，则 $\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\right)$的所有根为 $\alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{p-1}$ 。

事实上，因为 $\alpha^p=1$ ，所以 $\left(\alpha^i\right)^p=\left(\alpha^p\right)^i=1$ ．又 $\alpha^i \neq \alpha^j, 1 \leqslant i \neq j \leqslant p-1$ ．若不然，则 $\alpha^{i-j}=1$ ，所以 $|i-j| \mid p$ ，而 $|i-j|<p, p$ 是素数，矛盾．因此多项式 $x^p-1 \in Q [x]$ 的分裂域为

$$
Q \left(\alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{p-1}\right)= Q (\alpha)
$$

例 2．4．4 试确定多项式 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的分裂域．
解 因为 $1^3+1+1=1 \neq 0,0^3+0+1=1 \neq 0$ ，所以 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 是不可约多项式．令 $\alpha$ 是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的一个根，则 $\alpha \neq 0,1$ ，且 $\alpha^3+\alpha+1=0$ ．所以 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的 3 个不同根．

事实上，如果 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 中有两个互相相等，则有 $\alpha=1, \alpha^2=1, \alpha^3=1$ ，这最终将导致与 $1=0, \alpha=0$ 矛盾．另外，由于在特征数为 2 的域上有 $(x+y)^2=x^2+y^2$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& \left(\alpha^2\right)^3+\alpha^2+1=\left(\alpha^3+\alpha+1\right)^2=0 \\
& \left(\alpha^4\right)^3+\alpha^4+1=\left(\alpha^3+\alpha+1\right)^4=0
\end{aligned}
$$

即 $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$ 确是 $x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的 3 个不同根．
于是，$x^3+x+1 \in Z _2[x]$ 的分裂域为 $Z _2\left(\alpha, \alpha^2, \alpha^4\right)= Z _2(\alpha)$ ．
注记，在例 2．4．4 中用到 $(x+y)^2=x^2+y^2$ 的结论。实际上，对于特征数为 $p$ 的域，我们有更为一般的结果：如果 $\operatorname{char} F=p$ ，则 $(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}$ ．

事实上，由二项式展开定理，有

$$
\begin{aligned}
(x+y)^{p^n}= & x^{p^n}+\binom{p^n}{1} x^{p^n-1} y+\cdots+\binom{p^n}{k} x^{p^n-k} y^k \\
& +\cdots+\binom{p^n}{p^n-1} x y^{p^n-1}+y^{p^n}
\end{aligned}
$$

但是，$p \left\lvert\,\binom{ p^n}{k}\right., 1 \leqslant k \leqslant p^n-1$ ，所以 $\binom{p^n}{k}=0$ ．因此，

$$
(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}
$$

通过前面的两个例子，我们应该有理由相信，至少存在这样的分裂域扩张，对它我们只要添加不可约多项式的一个根，则其他的根也随之进入了该扩张域。

定义 2．4．3 设 $E \supseteq F$ 是域的有限扩张．如果 $F[x]$ 中的不可约多项式的一个根属于 $E$ 时，该不可约多项式的其他根也属于 $E$ ，那么就称 $E$ 是 $F$ 的正规扩张。

正规扩张定义中有关根的条件也可以定义为：如果满足 $F[x]$ 中的不可约多项式在 $E[x]$ 中有 1 次因式时，则该不可约多项式在 $E[x]$ 中的所有因式均是一次因式，那么，我们就称 $E$ 是 $F$ 的正规扩张。

容易知道，例2．4．1，2．4．3，2．4．4 中的扩张是正规扩张，当然它们是各自对应多项式的分裂域，而例2．4．2 中的扩张 $Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq Q$ 是有限扩张，但不是正规扩张，也不是对应多项式的分裂域。这是否暗示正规扩张是分裂域，而分裂域就是正规扩张呢？

定理 2．4．4 设 $E \supseteq F$ 是域的有限扩张，则 $E$ 是 $F$ 的正规扩张的充分必要条件是 $E$ 是 $F$ 上某个多项式的分裂域。

证明 首先，如果 $E$ 是 $F$ 的正规扩张，则 $E$ 是 $F$ 的有限扩张．所以存在有限个 $E$ 中的元素 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ，它们在 $F$ 上是代数元素，并且

$$
E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)
$$

令分别以 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为根的对应的不可约多项式依次为 $p_1(x), \cdots, p_n(x) \in$ $F[x]$ ，而且这些不可约多项式对应的根分别为

$$
\alpha_1=\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_n=\alpha_{n 1}, \cdots, \alpha_{n k_n} .
$$

则因 $E$ 是 $F$ 的正规扩张，$\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in E$ ，所以 $\alpha_1=\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_n=\alpha_{n 1}$ ， $\cdots, \alpha_{n k_n} \in E$ ．所以，对于多项式 $p(x)=p_1(x) \cdots p_n(x) \in F[x]$ 的分裂域 $F\left(\alpha_{11}, \cdots\right.$ ， $\left.\alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_{n 1}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right)$ 有

$$
F\left(\alpha_1=\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_n=\alpha_{n 1}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right) \subseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=E .
$$

另外，显然有

$$
F\left(\alpha_1=\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_n=\alpha_{n 1}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right) \supseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=E .
$$

于是，$F\left(\alpha_1=\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1 k_1} ; \cdots ; \alpha_n=\alpha_{n 1}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right)=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=E$ ，即 $E$ 是 $F$ 上多项式 $p(x)=p_1(x) \cdots p_n(x) \in F[x]$ 的分裂域．

其次，假设 $E$ 是 $F$ 上某个多项式 $f(x) \in F[x]$ 的分裂域，并且令 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $f(x)$ 的所有根，则有

$$
E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \quad \text { 且 } \quad f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right) \in E[x] \text {. }
$$

显然，$E \supseteq F$ 是有限扩张．所以我们只需指出它是正规扩张．为此，令 $p(x) \in$ $F[x]$ 是不可约多项式，并且 $\alpha \in E$ 是 $p(x)$ 的一个根，而 $\beta$ 是 $p(x)$ 的任意一个根，则我们需要指出 $\beta \in E$ 即可。

由于 $\alpha, \beta$ 是同一个不可约多项式 $p(x)$ 的根，所以存在 $F$－同构

$$
\varphi: F(\alpha) \rightarrow F(\beta), \varphi(\alpha)=\beta
$$

又 $F(\alpha), F(\beta) \supseteq F$ ，所以 $f(x) \in F[x] \subseteq F(\alpha)[x], F(\beta)[x]$（图 2．2）．然后，我们可以进一步同构拓展 $\varphi: F(\alpha)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \rightarrow F(\beta)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$（图 2．3）．又 $E=$ $F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=F(\alpha)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，所以

$$
\begin{gathered}
|E: F|=\left|F(\alpha)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): F\right|=\left|F(\beta)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): F\right|, \\
\left|F(\alpha)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): E\right||E: F|=\left|F(\beta)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): E\right||E: F|, \\
1=\left|F(\alpha)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): E\right|=\left|F(\beta)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right): E\right| .
\end{gathered}
$$

因此，$\beta \in E$ ，即定理结论成立．
 ![图片](/uploads/2025-03/6d3f05.jpg)
 
 推论 2．4．1 设 $K \supseteq E \supseteq F$ 是域的扩张．如果 $K \supseteq F$ 是正规扩张，则 $K \supseteq E$是正规扩张。

证明 因为 $K \supseteq F$ 是正规扩张，所以 $K=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是某个多项式 $f(x) \in F[x]$ 的根．又 $E \supseteq F$ ，所以 $f(x) \in F[x] \subseteq E[x]$ ．因此，

$$
K=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=E\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)
$$

即 $K=E\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 是多项式 $f(x) \in E[x]$ 的分裂域．所以 $K \supseteq E$ 是正规扩张。

注意，推论中扩张 $E \supseteq F$ 不一定是正规扩张！
例如，关于不可约多项式 $x^3-2 \in Q [x]$ 的扩张 $Q \left(\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}\right) \supseteq Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq$ $Q$ ，其中 $Q \left(\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}\right) \supseteq Q$ 是正规扩张，但是 $Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq Q$ 就不是正规扩张．

另外，在扩张 $K \supseteq E \supseteq F$ 中，即使 $K \supseteq E$ 和 $E \supseteq F$ 都是正规扩张，$K \supseteq F$也不一定是正规扩张！例如，与多项式 $x^4-2, x^2-2 \in Q [x]$ 有关的扩张 $Q (\sqrt[4]{2}) \supseteq$ $Q (\sqrt{2}) \supseteq Q$ ，其中 $Q (\sqrt[4]{2}) \supseteq Q (\sqrt{2})$ 和 $Q (\sqrt{2}) \supseteq Q$ 都是正规扩张，但 $Q (\sqrt[4]{2}) \supseteq Q$不是正规扩张．

## 分裂域与正规扩张的通俗解释

1. **分裂域（Splitting Field）**
核心思想：分裂域是包含某个多项式所有根的“最小”扩域。  
通俗理解：  
• 假设你有一个多项式（例如 $x^2 + 1$），在原来的域（如实数域 $ \mathbb{R} $）中无法分解成一次因式（因为没有根）。这时，你需要扩展这个域，让多项式在这个新域中能完全分解。

• 例子：$x^2 + 1$ 在 $ \mathbb{R} $ 上的分裂域是复数域 $ \mathbb{C} $，因为 $ \mathbb{C} $ 包含了根 $i$ 和 $-i$，使得多项式分解为 $(x - i)(x + i)$。

关键性质：  
• 分裂域是唯一的（在同构意义下）。

• 分裂域一定是代数扩张，且次数不超过多项式次数的阶乘（例如二次多项式的分裂域次数最多为 $2! = 2$）。

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2. **正规扩张（Normal Extension）**
核心思想：正规扩张是满足“根的存在性传递”的扩域。  
通俗理解：  
• 如果某个不可约多项式在扩域中有一个根，那么它的所有根都必须在这个扩域中。

• 例子：

• $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ 是 $ \mathbb{Q} $ 的正规扩张，因为如果 $ \sqrt{2} $ 是某个不可约多项式的根（如 $x^2 - 2$），那么所有根（$ \sqrt{2}, -\sqrt{2} $）都在 $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ 中。

• $ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) $ 不是 $ \mathbb{Q} $ 的正规扩张，因为多项式 $x^3 - 2$ 在 $ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) $ 中只有实根 $ \sqrt[3]{2} $，而另外两个复根（涉及三次单位根）不在其中。

关键性质：  
• 正规扩张一定是代数扩张。

• 分裂域一定是正规扩张，但正规扩张不一定是某个特定多项式的分裂域。

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3. **两者的联系与区别**
| 特性       | 分裂域                          | 正规扩张                      |
|----------------|-----------------------------------|---------------------------------|
| 定义       | 包含某个多项式所有根的最小扩域          | 任何不可约多项式有根则所有根都在扩域中    |
| 唯一性     | 同构意义下唯一                       | 不唯一（可能有多个正规扩张）           |
| 包含关系   | 分裂域一定是正规扩张                  | 正规扩张不一定是分裂域               |
| 例子       | $ \mathbb{C} $ 是 $ \mathbb{R} $ 上 $x^2 + 1$ 的分裂域 | $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ 是正规扩张，但不是分裂域（除非指定某个多项式） |

---

4. **为什么需要这两个概念？**
• 分裂域：解决多项式求根问题。例如，复数域是实数域的“终极分裂域”，能容纳所有实系数多项式的根。

• 正规扩张：研究域扩张的结构。例如，伽罗瓦理论中，正规扩张是群论工具（伽罗瓦群）应用的基础。

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5. **一句话总结**
• 分裂域：为某个多项式“量身定制”的最小扩域，确保它所有根都在里面。

• 正规扩张：一种“全面兼容”的扩域，任何多项式只要有一个根，所有根都自动包含在内。

通过这两个概念，代数学家可以系统地研究多项式方程的根在域中的分布规律，这也是伽罗瓦理论的核心思想之一。

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