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可离扩张与单纯性(上)

2.5 可离扩张与单纯性

在前面几节的讨论中，为了研究扩张域的结构，我们考虑的是代数扩张的结构，然后为了讨论代数扩张的形式与结构，我们分析了有限扩张的结构，进而对分裂域和正规扩张进行了研究．这就是说，我们把研究代数扩张结构的问题转化成研究分裂域和正规扩张。

如果令 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是 $F$ 上的代数元素，则每个元素 $\alpha_i(i=1, \cdots, n)$ 都对应一个极小多项式 $f_i(x) \in \dot{F}[x]$ ．如果令每个极小多项式 $f_i(x)$ 的所有根为 $\alpha_i=$ $\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i k_i}$ ，则

$$
E=F\left(\alpha_{11}, \alpha_{12}, \cdots, \alpha_{1 k_1}, \cdots, \alpha_{n 1}, \alpha_{n 2}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right) \supseteq F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \supseteq F
$$

是多项式 $f(x)=f_1(x) \cdots f_n(x)$ 的分裂域．
那么，我们能否在域 $F$ 上尽可能少地添加代数元素，最好是添加一个元素，从而得到分裂域 $F\left(\alpha_{11}, \alpha_{12}, \cdots, \alpha_{1 k_1}, \cdots, \alpha_{n 1}, \alpha_{n 2}, \cdots, \alpha_{n k_n}\right)$ 的结构呢？

例如，对于多项式 $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right) \in Q [x]$ 的分裂域 $Q (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，我们就有 $Q (\sqrt{2}, \sqrt{3})= Q (\sqrt{2}+\sqrt{3})$（参见后面的例 2．5．1）．

实际上，我们＂能够＂将添加有限个代数元素的扩张，转化为只添加一个元素的单纯代数扩张！当然，这与原有元素的属性 $\qquad$代数元素对应的不可约多项式 （极小多项式）是否具有重根的性质密切相关。

我们知道：数域上的不可约多项式当然是没有重根的！这是我们熟知的一个性质．难道不可约多项式还能有重根吗？能！

例如，令 $x$ 是域 $Z _2$ 上的未定元素，则 $f(z)=z^2-x \in Z _2(x)[z]$ 是不可约多项式．但是，如果令 $\alpha$ 是 $f(z)$ 的一个根，则 $\alpha$ 一定是多项式 $f(z) \in Z _2(x)[z]$ 的重根．

事实上，因为 $\alpha^2-x=0, x=\alpha^2$ ，所以

$$
f(z)=z^2-x=z^2-\alpha^2=(z-\alpha)^2 .
$$

因此，让我们先研究域上不可约多项式的重根问题，然后再考虑添加元素的个数问题．

定义 2．5．1 令多项式 $f(x) \in F[x]$ 是不可约的．如果 $f(x)$ 在 $F$ 的代数扩张域上没有重根，则称 $f(x)$ 是可离多项式：否则称为不可离多项式．对应地，称多项式 $f(x)$ 的根为可离元和不可离元。

注意，一个不可约多项式在某个扩域上没有重根，并不表示它是可离多项式．例如，尽管 $f(z)=z^2-x \in Z _2(x)[z]$ 在扩张 $Z _2 \supseteq Z _2$ 上没有重根，但是，它在扩张 $Z _2(\alpha) \supseteq Z _2$ 上有重根，所以，多项式 $f(x)$ 是不可离的．因此，我们在理解定义2．5．1时，应该把 $f(x) \in F[x]$ 在 $F$ 的代数扩张域理解成，至少是在 $f(x)$ 的分裂域上没有重根。

为判断一般域上多项式是否有重根，我们先规定形式导数，然后，借用形式导数的性质来判断一个多项式是否有重根．$F$ 是域，$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+$ $a_1 x+a_0 \in F[x]$ ，则规定形式导数为

$$
f^{\prime}(x)=n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_1 .
$$

容易验证，形式导数具有与导数一样的＂加，减，乘＂性质，即如果 $f(x), g(x) \in$ $F[x]$ ，那么

$$
(f(x) \pm g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x), \quad(f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)
$$

定理 2．5．1 设 $F$ 是域，$f(x) \in F[x]$ 是不可约多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 的扩张域 $E$ 上有重根的充分必要条件是在 $E[x]$ 上 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right) \neq 1$ ，即 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $F[x]$中不互素．

证明 首先，如果 $\alpha \in E$ 是 $f(x) \in F[x]$ 的 $k(k>1)$ 重根，则在 $E[x]$ 上有

$$
f(x)=(x-\alpha)^k g(x), \quad(x-\alpha) \nmid g(x) .
$$

所以，

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =k(x-\alpha)^{k-1} g(x)+(x-\alpha)^k g^{\prime}(x) \\
& =(x-\alpha)^{k-1}\left(k g(x)+(x-\alpha) g^{\prime}(x)\right)
\end{aligned}
$$

又 $k>1$ ，于是 $f(x), f^{\prime}(x)$ 有非常量因式，即在 $E[x]$ 上 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right) \neq 1$ ．
另外，如果在 $E[x]$ 上 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right) \neq 1$ ，则不妨令 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=d(x) \in E[x]$ ．然而我们是可以通过多项式的辗转相除法求出 $d(x)$ 的，并且 $f(x), f^{\prime}(x) \in F[x]$ ，又在辗转相除的过程中涉及的多项式的系数必定属于 $F$ ，所以 $d(x) \in F[x]$ ．即 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $F[x]$ 中是不互素的．

其次，如果 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $F[x]$ 中不互素，则当然对于任意的扩张 $E \supseteq F$ 有 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $E[x]$ 中不互素．既然 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $F[x]$ 中不互素，不妨令 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ $=d(x) \in F[x]$ ，且 $\alpha \in E$ 是 $d(x)$ 的一个根，则 $\alpha$ 一定是 $f(x)$ 的根，并且是它的重根．如若不然，则 $f(x)=(x-\alpha) g(x),(x-\alpha) \nmid g(x)$ ．又

$$
f^{\prime}(x)=g(x)+(x-\alpha) g^{\prime}(x),
$$
所以，$(x-\alpha) \nmid f^{\prime}(x)$ ，即 $\alpha$ 不是 $f^{\prime}(x)$ 的根，矛盾．因此，$\alpha$ 一定是 $f(x)$ 的重根．
实际上，我们很容易知道：如果 $f(x) \in F[x]$ 是不可约多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 的扩张域上有重根的充分必要条件是 $f^{\prime}(x)=0$ ！

事实上，因为不可约多项式 $f(x)$ 有重根，所以 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right) \neq 1$ ，进而 $f(x) \mid f^{\prime}(x)$ ．又

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