最后更新: 2025-03-16 16:28 查看: 93 次反馈刷题

群主要讲解的是什么

群的创立通常和解方程有关，一般认为，伽罗瓦Galois (1811-1832)是群论的创立者。伽罗瓦，法国数学家，他创立群（Group）的理由很简单，就是解决高次方程解的问题。群论的核心思想是什么？简单的说 **群论核心思想是研究对称，或者有对称性的数学对象**

![图片](/uploads/2024-11/ae1dde.jpg){width=200px}

在自然界里，人们会不由自主的感觉，“对称”是最美的，这种生活中的“对称美”，是不是同样适用于代数学上，答案是肯定的。

![图片](/uploads/2025-03/a19e5e.jpg){width=300px}

为了了解群论的产生，先介绍一下为什么五次方程没有求根公式。

## 方程的根

**1.一元一次方程**

$$
a x+b=0
$$

直接移项就可以得到

$$
x=-b / a
$$

**2.一元二次方程**

在学了一元二次方程

$$
a x^2+b+c=0
$$

凑平方法也可以容易地得到

$$
x  =\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

**3.一元三次方程**
对于一元三次方程，也找到了求根公式。

$$
\begin{aligned}
& x_1=-\frac{b}{3 a}+\sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\& +\sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\
& x_2=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\& \frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\
& x_3=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\& \frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}}
\end{aligned}
$$

不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。

到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了，不过直到伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。

这就是我们的问题: **为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号 得到一般解?**

为了搞清楚，为什么 $5$ 以上的数字跟 $2 ， 3 ， 4$ 如此不同，我们先来看一看 $1$ 与 $2 , 3 , 4$ 有何不同。

对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可，而**加减乘除，并不会让有理数变成无理数**。通常我们将有理数表示为$Q$ ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 $Q$ 称为**有理数域** $Q$ 。 域的定义你就可以直接理解为: **集合元素对加减乘除封闭**。大家熟知的实数，复数也都是域。
 
为什么我们要谈**封闭性**? 很简单，因为方程里面只含有加减乘除，要是不封闭了，那 $x$ 就不是有理数，那这样 $\mathrm{c}$ 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。

那$2,3,4 $ 呢?
比如说方程
$x^2-4 x+1=0$
很容易求出它的两个解是

$$
\begin{aligned}
& x_1=2+\sqrt{3} \\
& x_2=2-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$

这个解很显然不在 $Q$ 之内，那我们现在要把 $Q$ 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张 $\mathrm{Q}$ 。那么我们最终得到的就是这样一个集合:

$$
\{a+b \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}
$$

这个域我们把它叫做 $\mathrm{Q}[\sqrt{3}]$ ，它是包含 $\sqrt{3}$ 在内的最小的域。你无聊可以验证一下，它对于加减乘除确实是封闭的。

这里从 $Q$ 到 $Q[\sqrt{3}$ ] 的过程，我们称之为**域扩张**。你可以把这里的域扩张 $Q$ 理解为一个直角坐标， $X$ 轴上仍然是有理数，单位是 1 ，而 $Y$ 轴上就是 $\sqrt{3}$ 的倍数。这样平面上的每一点都可以代表 $Q[\sqrt{3}]$ 中的一个数。这样扩张的维数就是平面相对于 $X$ 轴的维数，记作

$$
[\mathbb{Q}[\sqrt{3}]: \mathbb{Q}]=2 \text {. }
$$

当我们谈到可以用根式解方程的时候，我们其实是在说: 我们可以将类似于 $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{8}$ 这样整数的整次根，加入到 $\mathrm{Q}$ 中，以此作上述域扩张，使扩张后的域，包含方程的解。
那么到这里，问题就好理解了。从 1 到 2,3,4 的过程，其实用根式来扩张 $Q$ 的过程。可以想见，要 是 5 次以上的方程不能这样扩张, 自然就不能用根式解了。
 
怎么才能证明扩张无法实现呢? 目前我们还没有什么思路去直接证明，但阿贝尔和伽罗瓦迎难而 上。他们不约而同地注意到，方程的根具有奇妙的**对称性**。一般来说，如果一个图形具有复杂的对称性，那图形本身也就较为复杂。这给了他们启示：

> 根的对称性是否意味着域扩张的复杂性呢?

果不其然，这种对称性揭示了域扩张与群的子群之间优美的对偶，使得我们可以通过研究群的可解性来回答方程解的性质。
还是回到之前的方程

$$
x^2-4 x+1=0
$$

我们先不管解是什么。而是利用一个非常经典的结论：在复数域 $\mathbb{C}$ 中, $n$ 次方程定有 $n$ 个 根（包含类似 $(x-1)^2=0$ 这样 $x_1=x_2=1$ 的重根）。这是高斯在他的博士论文中 首次证明的优美结论，详见[虚根定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=104)。这个结论的证明涉及的更多是复分析而不是代数, 所以我们在这里不再提它。假设根是 $x_1, x_2$, 那么就有

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=4 \\
x_1 x_2=1
\end{array}\right.
$$

我们可以看到, 这两个根相当地对称。即使我们交换一下 $x_1$ 和 $x_2$, 上述方程的形式也不会变化。这就启发我们在保持方程形式不变的情况下, 对整个方程进行变换。假如说有这么一个 函数 $\sigma$, 作用在扩张后的域（扩域）上,

$$
\sigma\left(x^2-4 x+1\right)
$$

不改变形式, 就要求这个函数能保持加法和乘法, 这表明 $\sigma$ 是一个**同态**, 即是说

$$
\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b)
$$

而且要求不改变系数, 这表明 $\sigma$ 将有理数映射到自身（固定 $\mathbb{Q}$ ), 即使说

$$
\sigma(q)=q, \forall q \in \mathbb{Q}
$$

那么

$$
\begin{aligned}
\sigma\left(x^2-4 x+1\right) & =\sigma(x)^2-\sigma(4) \sigma(x)+\sigma(1) \\
& =\sigma(x)^2-4 \sigma(x)+1
\end{aligned}
$$

从形式不变可以看出， $\sigma(x)$ 仍然是方程的解。但是这个方程一共就那两个解，所以 $\sigma$ 这个函数 正好就是我们之前说的置换根的函数。在这个例子中， $\sigma$ 只有两种可能一一是交换 $x_1 ， x_2$ ， 即 $x_1 \leftrightarrow x_2$ ，另一种是恒同变化 $\mathrm{Q} \mathrm{e}$ （这里e是单位1，不是自然对数） ，即把任何数映射到自身。这些 $\sigma$ 有非常良好的性质

1.无论它们怎么组合， $\sigma$ 的复合仍然属于这个集合；
2.不管施加怎样的变换，总有另一个变换可以让根回到初始状态;
3.存在 e 这么一个无而治的变换。

## 群 Group 
可以看到, $\sigma$ 的组合, 非常类似于数的乘法。但这是一种只有乘法没有加法的运算（当然你 偏要把它的运算叫做加法也没什么区别, 那样就没有乘法) 。满足这样运算规律的集合, 我们 称之为**群**。上面的 $\sigma$ 构成的就是能改变域 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 内元素顺序的置换群, 而且正好固定了 $\mathbb{Q}$ (将有理数映射到自身)，而且没有固定 $\mathbb{Q}$ 以外的元素（ $e$ 固定所有元素，但 $x_1 \leftrightarrow x_2$ 只固定了 $\mathbb{Q}$, 这里我们自然应当取小的那个域, 也就是 $\mathbb{Q}$, 这时 $\mathbb{Q}$ 称为群的 固定域）。我们就把这样的扩张称为**正规扩张**（或伽罗瓦扩张）, 把 $\sigma$ 构成的群叫做**伽罗瓦群** $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q}$ ) 。

在上面这个例子中, 伽罗瓦群有 2 个元素（交换和恒同变换）, 而扩张 的维数 $[\mathbb{Q}[\sqrt{3}]: \mathbb{Q}]$ 也正好是 2 。可以证明, 这两者是恒相等的。这就给了我们更多理由相信: **伽罗瓦群对于描述域扩张至关重要。**

群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 固定 $\mathbb{Q}$, 那什么固定 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 呢? 答案是 $\{e\}$ 。 $e$ 这个元素是 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 的子集。如果单看 $\{e\}$ 这个集合的话, 你会发现它也是一个群, 是 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 的子群（也就是说是它的子集, 自己又形成群）。在这个例子中, 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 就只有这么一个子群。那么要是别的群有非 $\{e\}$ 子群（或者叫非平凡子 群, 平凡子群指的就是 $\{e\}$ ) 呢? 假如这样的子群存在, 想必它固定的应该是介于 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 之间的某个域。
 
 
 我们这就来看一看方程 $x^3-2=0$ 的三个根分别是

$$
\left(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} e^{i 2 \pi / 3}, \sqrt[3]{2} e^{i 4 \pi / 3}\right)
$$

显而易见，这里的域扩张是

$$
\mathbb{Q}\left[\sqrt[3]{2}, e^{i 2 \pi / 3}\right] \text { 或写成 } \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \zeta]
$$

它对应的伽罗瓦群Q是 $S_3$ ，也就是图中 3 个数的所有置换，应该有 $3 !=6$ 个元素，分别为 (123) (132)(213)(231)(312)(321)，这个群相当于是三角形的所有对称操作，也就是说，将三角形翻转或 旋转后，与原图形重合的所有操作。
![图片](/uploads/2023-10/0de6a8.jpg){width=300px}
下表（称为凯莱表）列出了 $S3$ 的乘法规律
![图片](/uploads/2023-10/6a2af1.jpg)
其中 $r$ 代表旋转 $120^{\circ}, f$ 代表翻转。注意, $r f$ 和 $f r$ 是不同的, 可以通过画图来检验。 这代表 $S_3$ 是不可交换的（非阿贝尔群）。
另一种将群可视化的方法是凯莱图
![图片](/uploads/2023-10/1ebd4b.jpg){width=300px}
有了上面这些工具, 我们就可以着手, 来找一找 $S_3$ 的子群。只要挨个去掉其中的元素, 再检 查剩下的部分是否构成群就能搞定。我们将 $S_3$ 的子群和 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta)$ 的扩张一并画在 下图

![图片](/uploads/2023-10/6be41b.jpg)
这似乎太巧了：**子群的结构和域扩张的结构完全相同**。而这并不是巧合。

再来一个例子：下 图是域扩张 $\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}, i]$ 和它的伽罗瓦群 $D_4$ ( $D_4$ 相当于是正方形旋转翻转的对称群)，如下
![图片](/uploads/2023-10/1f0bb7.jpg){width=500px}

结构仍然是一模一样。更加惊人的是，每一个子群，如 $\left\{r^2, f\right\}$ ，正好固定了它对应的域扩张： $Q [\sqrt{2}]$ 。这震撼的对偶关系，正是佩罗瓦理论基本定理。上图中的域扩张并不都是正规扩张。伽罗瓦基本定理还表明，假如某个中间域是正规扩张，那么相应的子群就应该是正规子群：若 $H$ 是 $G$ 的子群，对于 $\forall g \in G, g H=H g$ ，则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，其中 $g H$ 表示 $\{g h \mid h \in H\}, H g$ 类似，记作 $H \triangleleft G$ 。这个对偶关系，也正是两个＂正规＂的名字由来。

有了正规子群就可以定义 $G$ 和 $H$ 之间的除法（如果不是正规子群就不能定义）。 $G / H$ 表示的，就是所有 $g H$ 这样的集合的集合，叫做商群——即，商群的每个元素都是 $g H$ 这样的集合（这种集合叫做陪集）。很容易定义商群上的乘法：$g H \cdot k H=g k H$（想想为什么可以这样定义）。

比如说我们要计算 $G=S_3, H=\langle r\rangle$ 的商群 $G / H$ ，其中 $\langle r\rangle$ 表示由 $r$ 生成的群：

![图片](/uploads/2025-03/5164c6.jpg)
 
 $G=S 3, H= < r > $
 
 我们圈出$H$的所有陪集，这里只有 $\int H$ 和$ H $ 自己
 
  ![图片](/uploads/2025-03/385b09.jpg)
 
 圈出陪集这样，每一个陪集都是商群的元素
  ![图片](/uploads/2025-03/941b0d.jpg)

陪集收缩得到商群

这里我们没有严格数学语言的表述，也不想去抠证明的细节。但到此为止，证明的思路已经非常清晰了。

假如我们需要根式解，就是要由域 $F=B_0$（一般来说这个 $F$ 代表 $Q$ ）扩张到域 $E=B_n$ ，那么两者之间应该有中间域 $B_1, B_2, B_3, \ldots, B_{n-1}$ ，其中每一个域 $B_i$ 都是前一个域 $B_{i-1}$ 在根式 $a_i$（这个 $a_i$ 有可能是 $\sqrt{2}$ ，可能是 $\sqrt[3]{4}$ ，也可能是任何整数的整次根）基础上进行的正规扩张。由于是正规扩张，所以伽罗瓦群 $G$ 应该有一系列正规子群

$$
\{e\}=G_{B_n} \triangleleft G_{B_{n-1}} \triangleleft \cdots \triangleleft G_{B_1} \triangleleft G_{B_0}=G
$$

出于一些不那么直观的原因，我们还要求每个商群 $G_i / G_{i-1}$ 具有交换性（就是 $a b=b a$ ），满足上述两个条件的 $G$ 被称为可解群。可以证明，方程根式可解性等价于对应的伽罗瓦群可解性。

那么这里我们就只需要看对应的伽罗瓦群了。经过复杂的步骤，可以证明，一般的 $n$ 次方程，其伽罗瓦群为 $n$ 阶置换群 $S_n$（正好相当于把 $n$ 个根进行排列！）。而 $n>4$ 的置换群并不可解。

**这样就证明了结论：$n>4$ 时方程没有根式解！**
这样，就说明五次方程没有求根公式。

## 5次根图
我们用 $n=5$ 的例子来说明群的不可解性。根据可解群的定义，可以得到一个结论：可解群的子群都是可解群。这样我们就可以转而观察 $S_5$ 的子群。 $S_5$ 的子群只有 $A_5$ 和平凡子群，其中 $A_5$ 是指五阶交错群，其中的每一个置换，都是偶置换，即，可以分解为偶数个 $i$和 $i+1$ 交换的形式（比如说 $(12)(34),(23)(56)(78)(10,11)$ 这样置换）。相比 $S_5$的 $5!=120$ 个元素，$A_5$ 只有一半： 60 个元素，很容易画出它的凯莱图：
 ![图片](/uploads/2025-03/373d3e.jpg)
 
即使我们不去严格分析，也能看出 $A_5$ 没有正规子群：
例如，把红色线连接的小五边形看做子群（这是个 5 阶循环群），如果它是正规的，那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段，都必须进入同一个陪集，也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。

事实上，这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构，会使整体结构非常稳定而坚固，对群除法这种结构拆解工作自然就不够友好。神奇的是，如果在上图中的每个圆圈处放一个碳原子，它们将组成稳定的足球形分子＂巴基球＂，这个名字来源于建筑学家巴克明斯特•富勒，此人建造了世界上最大的足球形建筑物。
 ![图片](/uploads/2025-03/09371e.jpg)
 
 1999年，物理学家在奥地利的实验室中向双缝发射了“巴基球”的分子束，并观察到了干涉现象。这使得“巴基球”成为了人类实验能观测到双缝干涉的最大分子。
  ![图片](/uploads/2025-03/e9dc0f.jpg)
  
  再回到最初的问题。从以上的阐述，应该就能理解根式解不存在的原因了：根式的域扩张是有局限的。也就是说五次以上的方程其实并不是“无解”，只是根式扩张无法做到。那么是不是就应该有别的方法来进行域扩张呢？答案是肯定的。参见“雅可比 $\theta$  函数”。

因为本文主要介绍群用来干什么的，就不再往下继续讲解了，防止内容越讲越多，容易失焦。有兴趣的读者可以继续阅读下面的文章：我们将从多项式的对称性谈起。

本文主要节选自返朴写的[知乎文章](https://www.zhihu.com/question/387860666/answer/1444625573)

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【离散数学】群、半群与幺半群

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