最后更新: 2025-04-20 15:43 查看: 23 次反馈刷题

近世代数对代数学的整体思考

## 群的概述
群的概念起源于对多项式方程的研究，最早由伽罗瓦在 1830 年代提出，他使用 群（法语：group）这一术语来描述方程根的对称群，这一概念如今被称为伽罗瓦群。随着来自数论、几何等其他领域的贡献，群的概念得到了推广，并在 1870 年左右被正式确立。现代群论是一个活跃的数学学科，它研究群本身的性质。为了探索群，数学家引入了各种概念，以便将群分解为更小、更易理解的部分，例如子群、商群和单群。除了研究群的抽象性质之外，群论学者还研究群的具体表现方式，包括表示论（即群的表示）和计算群论的方法。对于有限群，已经发展出一整套理论，并最终在 2004 年完成了有限单群的分类。自 20 世纪 80 年代中期以来，几何群论这一分支迅速发展，它将有限生成群视为几何对象进行研究，成为群论中的一个活跃领域。

群论是近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

**如果用最简单的语言来理解群，可以认为给你一个非空的集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的二元运算 $*$ ，这就构成了一个最简单群，即 $[ S ; *]$ 。**

> 我们都玩过扑克牌，扑克有 2,3...JQKA和大小王组成，最让人迷惑的是“A”，在有些游戏规则里，A被当成了最小值(即 A < 2 < 3 < ... K )，但是在有些规则里，A被当成了最大值(即 2 < 3 < ...K < A)，这就是我们给他下定的**规则**。

## 近世代数对代数的思考
在《线性代数》里，我们介绍了[近似代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)，没有看过的朋友可以先看一下，下面介绍一下数学界对“代数”的整体思考，代数，在初中时就学过，比如 加法、减法、乘法、除法、乘法、开方等。我们有没有想过，这些“法则”是怎么定义的？或者说，这种“法则”的产生是一种巧合还是一种人类数学史发展的必然？ 如果是人类的定义，比如定义乘法 $ab=ba$，当把$a,b$扩展到矩阵时，又发现$AB \ne BA$，因此，我们需要捋顺一下整个代数定义的基本思路。参考下图
 
 
 ![图片](/uploads/2025-04/7e34cc.jpg){width=400px}

## 元素
我们把一个个“物体”称作元素。他可以是实体也可以是虚拟的，比如班级里的男生，那么男生就是一个“元素”。元素放在一起就组成了集合Set

## 集合
这是集合论的创立者康托尔对集合的定义，物以类聚为集合。比如班里的男生集合，班里的女生集合。

这是一个直观且朴素的定义，比较容易理解，但是不够严格。比如著名的罗素悖论(Russell's paradox)就对康托尔的集合论造成了致命一击，甚至引发了第三次数学危机。

康托尔对于集合的研究被称为朴素集合论。而为了规避罗素悖论，数学家们对集合论进行了严格公理化，被称为公理化集合论。

集合论可以说是现代数学的基石，几乎所有分支里面都会集合的概念。

比如集合加上结构，构成了空间，再进一步衍生出拓扑空间，度量空间，线性空间等，这是线性代数的分支。
如下图

**集合的特性**
集合要满足以下三个特性：
无序性。{1,2,3}与{3,2,1}是一样的。
互异性。集合内的元素都是不同的。
确定性。一个元素属不属于一个集合是确定的，不能含糊。高富帅不是集合，因为定义模糊。但是身高1米八、年薪100w的人是集合 ，因为是确定的

集合元素之间的二元运算则称作原群

## 原群 Magma
二元运算，通俗一点说，二元运算就是：以两个元素为输入，经过一个运算后得到一个元素，如下图所示
 ![图片](/uploads/2025-04/207c45.jpg){width=300px}

二元运算可以随意定义：
比如集合中两个元素为 x 和 y ，我们可以将运算定义为：
- 加法：$x+y$
- 乘法：$x \times y$
- 自定义的运算：$(x+y) / 2 \pi$

又比如集合为 $\{剪刀，石头，布 \}$
我们定义运算的结果为：剪刀石头布三者，打架后谁赢了，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/05b69a.jpg)

### Magma 原群

如果二元运算的结果还在集合中，我们称这个集合在该运算下闭合（Closed），这一性质叫做**封闭性**（Closure）。

集合与在该集合上的一个二元封闭性运算，构成了原群（Magma）。
注意这里面有三个关键词：集合，二元运算，封闭性。

> **这里特别要强调一下封闭性，以整数为例，整数的加法，减法和乘法仍然是整数，但是整数的除法出现了小数，我们就说整数对除法不封闭。进一步，如果我们把整数集扩展到实数集，就发现实数对加法，减法，乘法和除法是封闭的。**

## 半群
结合律（Associative property）
结合律依然是描述二元运算的，通俗一点讲，就是集合中多个元素在二元运算上的结果与结合顺序没有关系。

比如二元运算为 $\circ$ ，集合为 $S$ ，则 $x \circ(y \circ z)=(x \circ y) \circ z, \forall x, y, z \in S$ ，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-04/457cb8.jpg)

### 半群(Semigroup)
如果我们在原群的基础上，再加一点约束条件：结合律，则原群(Magma)变成一个半群(Semigroup)。

## 幺半群(Monoid)

### 单位元（Identity）
假设有一集合S，e为集合中的元素，如果对于 $S$ 中任意元素 $a$ ，有一运算 o ：
- 如果满足：$e \circ a=a$ ，则称 e 为左单位元
- 如果满足：$a \circ e=a$ ，则称 e 为右单位元
- 如果满足：$e \circ a=a \circ e=a$ ，则称 e 为 单位元

**这里的$e$ 你可以理解为初等数学里的数字：1**

### 么半群（Monoid）

幺半群就是包含单位元的半群。

> **为什么叫幺半群？起了个这么奇怪的名字？因为幺在汉语里有1的意思，比如火警电话119读作 幺幺九，而很少读一一九**

## 群(Group)

### 逆元（Inverse）

假设集合 $S$ 的单位元为 $e$ ，对于集合中的元素 x ，
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=e$ ，则称 y 为 x 的右逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 0 使得 $y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的左逆元
- 如果集合中存在元素 y 和运算 $\circ$ 使得 $x \circ y=y \circ x=e$ ，则称 y 为 x 的逆元

比如实数的加法逆元为 - x ，非零实数的乘法逆元为 $1 / x$

### 群（Group）
如果我们在么半群Monoid 的基础上，再加一点约束条件：其中任意元素都存在 逆元，则么半群（Monoid）变成一个群（Group）。

**到了群这一级别，还可以继续定义，比如运算满足交换律的群被称为阿贝尔群，如果满足元素到自身的映射称作置换群，另外还有对称性、有限群等等**

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：群主要讲解的是什么

下一篇：第一部分群论快速入门（高中版）

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)