最后更新: 2025-03-16 17:19 查看: 196 次反馈刷题

环和域

在群的基础上，我们可以定义更复杂的对象，环和域。简单来说，环和域各自有两个运算，通常称为加法和乘法，其中加法必须构成一个阿贝尔群。由于多了一个运算，我们还需要考虑两个运算之间的复合关系，因此还额外引入了一个性质，即乘法对加法的分配性。

1．比群多了一个运算：环和域
定义 1 环
一个环（ring）是一个集合 $R$ 及其上两个运算，加法 + 和乘法 $\times$ ，构成的三元组 $(R,+, \times)$ ，并且满足以下公理：

1．$(R,+)$ 构成阿贝尔群：
- 加法 + 在集合 $R$ 上是封闭的。
- 加法 + 具有结合性。
- 加法 + 在集合 $R$ 上存在单位元，记为 0 ，常称为＂零元＂。

。对于任意 $R$ 中元素 $a$ ，存在其加法逆元 $-a$ ，使得 $a+(-a)=0$ 。
－加法 + 是交换的。
2．$(R, \times)$ 构成幺半群：
- 乘法 $\times$ 是封闭的。
- 乘法 $\times$ 具有结合性。
- 乘法 $\times$ 存在单位元，记为 1 ，常称为＂幺元＂${ }^1$ 。

3．乘法对加法满足左右分配律：对于任意 $x, y, z \in R$ ，有 $x \times(y+z)=x \times y+x \times z$（左分配律），且 $(y+z) \times x=y \times x+z \times x$（右分配律）${ }^2$ 。

不至于混淆时，为方便计，可将＂环 $(R,+, \times)$＂简称为＂环 $R$＂，并将乘法符号省略，即将 $a \times b$ 写为 $a b$ 。如果乘法 $\times$ 还具有交换性，则称 $(R,+, \times)$ 为一个交换环（commutative ring）。

环配合其加法构成一个阿贝尔群，而乘法只能构成一个半群一一乘法不是有么元吗，为什么不能是幺半群？因为有 0这个元素在，任何元素乘以 0 还是 0 ，就像小学就学过的实数乘法一样。这是由分配律导致的，我们把它写为以下定理：

定理1
设 $R$ 是一个环， 0 是其加法单位元。则对于任意 $r \in R$ ，有 $r \times 0=0 \times r=0$ 。

证明：

$$
r \times 0=r \times(r-r)=r \times r-r \times r=0
$$

证毕。
域是一种特殊的环，定义如下：
定义 2
一个域（field）是一个集合 $F$ 及其上两个二元运算，加法＋和乘法 $\times$ ，构成的三元组 $( F ,+, \times)$ ，满足以下公理：

1．$( F ,+)$ 构成阿贝尔群：
- 加法在 $F$ 上 + 是封闭的。
- 加法 + 具有结合性。
- 加法 + 在 $F$ 上存在单位元，记为 0 ，常称为＂零元＂。
- 对于任意 $F ^*$ 中元素 $a$ ，存在其加法逆元 $-a$ ，使得 $a+(-a)=0$ 。
- 加法 + 是交换的。

2．$\left( F ^*, \times\right)$ 构成阿贝尔群，其中 $F ^*= F -\{0\}$ ：
- 乘法在 $F ^*$ 上 $\times$ 是封闭的。
- 乘法 $\times$ 具有结合性。
- 乘法在 $F ^*$ 上存在单位元，记为 1 ，常称为＂幺元＂。

。对于任意 $F ^*$ 中元素 $a$ ，存在其乘法逆元 $a^{-1}$ ，使得 $a \times a^{-1}=1$ 。
3．乘法对加法满足分配律：对于任意 $x, y, z \in R$ ，有 $x \times(y+z)=x \times y+x \times z$（左分配律），且 $(y+z) \times x=y \times x+z \times x$（右分配律）${ }^3$ 。
4.

不至于混淆时，为方便计，可将＂域 $( F ,+, \times)$＂简称为＂域 $F$＂，并将乘法符号省略，即将 $a \times b$ 写为 $a b$ 。

比较下来，域的定义只比环的定义多了第 10 和第 11 条，一个要求乘法可逆（即可以做除法），一个要求乘法交换；其它部分则完全相同。两个定义中，第 1 到第 5 条定义了加法的性质，使得环或域在加法下构成交换群；第 5 条定义了两个运算间的关系，即分配律；剩下的则定义了乘法的性质。可以看到，域比环更具体，环比域更抽象。当然了，群最抽象，环和域都是群的具体例子。

一般来说，为了方便，我们通常会省去乘法符号，把 $r \times s$ 写为 $r s$ 。元素 $r$ 的加法逆元记为 $-r$ ，这样就可以把 $r+(-s)$ 记为 $r-s$ 。如果元素 $r$ 有乘法逆元，那么我们把它的乘法逆元记为 $r^{-1}$ ，于是就有 $r r^{-1}=r^{-1} r=1$ ，像我们在群论初步中看到 $x x^{-1}=x^{-1} x=e$ 一样。

要注意的是，环的乘法只有在去掉加法单位元 0 的时候才能构成么半群或者群，这是因为任何元素乘以 0 还是 0 ，就像小学就学过的实数乘法一样。这是由分配律导致的，我们把它写为以下定理：

定理 2
设 $R$ 是一个环， 0 是其加法单位元。则对于任意 $r \in R$ ，有 $r \times 0=0 \times r=0$ 。

证明：

$$
r \times 0=r \times(r-r)=r \times r-r \times r=0 \text { 。 }
$$

证毕。
我们可以简单地理解为，环是＂能进行加减乘运算的集合＂，其中乘法还不一定交换；域则是能＂进行加减乘除运算的集合＂，而且加法和乘法都可以交换。

最常见的环是整数环。全体整数构成的集合，配备通常的加法，乘法运算后，构成一个环，并且还是交换环。实函数也可以用来构成环：如果 $f, g$ 都是从实数到实数的映射，那么对于任意实数 $x$ ，定义 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 以及 $(f \times g)(x)=f(x) g(x)$ ，这样，全体实函数的集合配备如此定义的 + 和 $\times$ 运算，就构成一个交换环。

非交换环的例子也可以用函数构造出来，方法是把以上定义的函数环中的乘法替换为复合运算： $(f \circ g)(x)=f(g(x))$ 。这样，由于映射的复合一般不交换 ${ }^4$ ，于是（ $\{$ 全体实函数 $\},+, \circ$ ）就是一个非交换环。除此之外，我们将来会遇到的矩阵等对象也能构成非交换环，但是矩阵乘法的非交换性本质上相当于映射复合的非交换性，因为矩阵可以用来表示线性变换，此时矩阵的乘法对应的是线性变换的复合。不用担心，我们会在线性代数章节里再讨论这些。

最常见的域就是有理数域和实数域。在有理数集合和实数集合上配备通常的加法，乘法运算后，都构成域，称作有理数域和实数域。

从定义很容易看出域一定是环，但上面所举的环的例子中，都有乘法不可逆的元素，因此它们都只是环，不是域。比如说，整数环里 2 这个元素，就不存在整数的乘法逆元；实函数环里 $f(x)=x$ 也不存在乘法逆元（此处取交换的环的那个例子的定义，用实数的乘法导出函数的乘法），因为它有零点 $f(0)=0$ ，导致不存在实函数 $g$ 使得 $(f \times g)(x)$ 恒为 1

2．体和素域的概念
定义3体
给定一个集合 $H$ ，如果这个集合中定义了两个运算，加法＂+ ＂和乘法＂$\times$＂，并且 $H$ 对于加法构成一个阿贝尔群，而 $H-\{0\}$ 构成群（ 0 为 $H$ 加法群的单位元），并且乘法对加法满足分配律，即对于任何 $a, b, c \in H$ ，满足 $a \times(b+c)=a \times b+a \times c$ ，那么我们称 $(H,+, \times)$ 构成一个体（skew field），或称可除环（division ring），除环。

像在环论中省略乘法的符号一样，我们也常常把体中的＂$\times$＂符号省略，比如说，将分配律表示为 $a(b+c)=a b+a c 。$

简单来说，体就是能进行加减乘除的一个集合，其中加法是可交换的，乘法却不一定。由于乘法不一定交换，这就使得除法运算相对复杂，但我们在此不过多展开。

例1 四元数体
四元数文章中所定义的全体四元数构成的集合，配上所定义的加法和乘法，构成一个体，称为四元数体。

打赏

打赏作者买杯奶茶

上一篇：环

下一篇：模

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)