最后更新: 2025-10-19 17:34 查看: 331 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称变换的合成

## 对称变换的合成 
我们以正三角形、正方形为例, 讨论了正多边形的对称变换. 像研究数的性质时要考察数的运算一样, 我们想探索的是, 对于一个正多边形的对称变换的集合, 其中的元素是否也可以 “运算” 呢? 例如, 若我们对正 $n$ 边形连续做两次对称变换, 结果会怎样? 这就是我们下面要讨论的对称变换的合成问题.

**所谓一个正多边形的两个对称变换的合成, 是指先做一个对称变换, 再做另一个对称变换.**

以正方形的对称变换的合成为例, 先对正方形做变换 $r_4$ （上下旋转变换）, 再做变换 $\rho_1$（逆时针旋转90度）, 用图形表示为:

![图片](/uploads/2025-10/58d155.jpg){WIDTH=400PX}

这样, 我们就得到了正方形的一个新的变换, 记作 $\rho_1 \cdot r_4 $, 它对正方形的作用效果是：

![图片](/uploads/2025-10/065a5a.jpg){WIDTH=300PX}
 
当然 $\rho_1 \cdot r_4$ 仍是正方形的一个对称变换 (为什么?). 很自然地想知道, 它是 $D_4$ 中哪一个对称变换呢? 我们发现, $\rho_1 \cdot r_4$ 把顶点 $1,2,3,4$ 依次映到了 $3,2,1,4$;

在[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=778) 介绍了正方形的$r_1$变换，而 $r_1$ 也把 $1,2,3,4$ 依次映到了 $3,2,1,4$. 由于正方形的对称变换由其（任意）两个顶点所唯一确定, 所以 $\rho_1 \cdot r_4$ 与 $r_1$ 是相同的对称变换, 即

$$
\rho_1 \cdot r_4=r_1 \text {. }
$$

也就是说, $\rho_1$ 与 $r_4$ 的合成 $\rho_1 \cdot r_4$ 仍然是正方形的一个对称变换, 而且仍然在 $D_4$ 中.
一般地, 由对称变换的定义可以知道, 一个平面图形的两个对称变换 $a$ 与 $b$ 的合成 (即先做变换 $a$, 再做变换 $b$ ) 仍然是这个平面图形的一个对称变换, 记作 $b \cdot a$.

`例` 对于 $D_3$ ，分别求：
（1）$I \cdot r_1$ ；
（2）$r_1 \cdot I$ ；
（3）$r_3 \cdot r_2$ ；
（4）$r_2 \cdot r_3$ ；
（5）$r_2 \cdot \rho_1$ ；
（6）$\rho_1 \cdot r_2$ ．
分析：我们只要根据对称变换合成的过程，分步骤完成两个变换即可．
解：（1）因为

![图片](/uploads/2025-10/08a611.jpg)
 所以 $I \cdot r_1=r_1$ ．
 
 
（2）因为
 ![图片](/uploads/2025-10/94a8ba.jpg)
 所以 $r_1 \cdot I=r_1$ ．
 
 （3）因为
 ![图片](/uploads/2025-10/643936.jpg)
 所以 $r_3 \cdot r_2=\rho_2$ ．
 
  ![图片](/uploads/2025-10/e9c0c8.jpg)
  
  所以 $r_2 \cdot r_3=\rho_1$ ．
  
  （5）因为
   ![图片](/uploads/2025-10/fed33a.jpg)
   
   所以 $r_2 \cdot \rho_1=r_3$ ．
（6）因为
 ![图片](/uploads/2025-10/c58a71.jpg)
 
 所以 $\rho_1 \cdot r_2=r_1$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：对称变换

下一篇：对称变换的性质

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)