最后更新: 2025-10-19 17:29 查看: 321 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

对称变换

## 对称变换
**定义** 若一个平面图形 $\boldsymbol{K}$ 在平面刚体运动 $m$ 的作用下仍与原来的图形重合, 就称 $\boldsymbol{K}$ 具有对称性, $m$ 叫做 $\boldsymbol{K}$ 的对称变换 (symmetric transformation 或 symmetry).

按照上述定义, “一个平面图形是对称图形” 等价于说 “一个平面图形有对称变换”.

显然, 任意图形都在恒等变换下变到自身, 这时我们也认为这个图形具有对称性. 但是我们真正感兴趣的是那些非恒等变换的对称变换, 以及在这样的对称变换下图形的对称性.

这样定义的图形的对称性, 比我们熟悉的轴对称性、中心对称性要广泛得多. 例如, 图形的中心对称性是指这个图形绕平面上某一个点旋转 $180^{\circ}$ 后仍与原图形重合, 而这里的对称性不局限于旋转 $180^{\circ}$,即旋转的角度可以是任意角. 这样, 由于正五边形绕中心 $O$ 旋转 $72^{\circ}$ 后仍然与原图形重合, 因此正五边形具有对称性, 而绕正五边形中心 $O$ 旋转 $72^{\circ}$ 的旋转变换就是正五边形的一个对称变换.

![图片](/uploads/2025-10/9ac4e2.jpg){WIDTH=300PX}

同样地, 正六边形绕它的中心 $O$ 旋转 $60^{\circ}$ 后不变的性质, 是正六边形的一个对称性。

### 正三角形对称变换

下面我们先考察一下正三角形的对称变换．
如图 1－13，画一个正三角形，在它的三个顶点上标上数字 1、2、3，并画出它的三条对称轴 $r_1 、 r_2 、 r_3$ 和中心 $O$ ．

![图片](/uploads/2025-10/42a076.jpg){WIDTH=200PX}
 
 通过实验，容易发现，正三角形在下列平面刚体运动的作用下保持不变．
（1）恒等变换，记作 $I$ ；

![图片](/uploads/2025-10/90c1bf.jpg)

（2）关于对称轴 $r_1$ 所在直线的反射，记作 $r_1$ ；
 
  ![图片](/uploads/2025-10/e37974.jpg)
  
（3）关于对称轴 $r_2$ 所在直线的反射，记作 $r_2$ ；

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