对称变换

**定义** 若一个平面图形 $\boldsymbol{K}$ 在平面刚体运动 $m$ 的作用下仍与原来的图形重合, 就称 $\boldsymbol{K}$ 具有对称性, $m$ 叫做 $\boldsymbol{K}$ 的对称变换 (symmetric transformation 或 symmetry).

按照上述定义, “一个平面图形是对称图形” 等价于说 “一个平面图形有对称变换”.

显然, 任意图形都在恒等变换下变到自身, 这时我们也认为这个图形具有对称性. 但是我们真正感兴趣的是那些非恒等变换的对称变换, 以及在这样的对称变换下图形的对称性.

这样定义的图形的对称性, 比我们熟悉的轴对称性、中心对称性要广泛得多. 例如, 图形的中心对称性是指这个图形绕平面上某一个点旋转 $180^{\circ}$ 后仍与原图形重合, 而这里的对称性不局限于旋转 $180^{\circ}$,即旋转的角度可以是任意角. 这样, 由于正五边形绕中心 $O$ 旋转 $72^{\circ}$ 后仍然与原图形重合, 因此正五边形具有对称性, 而绕正五边形中心 $O$ 旋转 $72^{\circ}$ 的旋转变换就是正五边形的一个对称变换.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108d4a3063.png)

同样地, 正六边形绕它的中心 $O$ 旋转 $60^{\circ}$ 后不变的性质, 是正六边形的一个对称性。

**对称变换的合成**
我们以正三角形、正方形为例, 讨论了正多边形的对称变换. 像研究数的性质时要考察数的运算一样, 我们想探索的是, 对于一个正多边形的对称变换的集合, 其中的元素是否也可以 “运算” 呢? 例如, 若我们对正 $n$ 边形连续做两次对称变换, 结果会怎样? 这就是我们下面要讨论的对称变换的合成问题.

所谓一个正多边形的两个对称变换的合成, 是指先做一个对称变换, 再做另一个对称变换. 以正方形的对称变换的合成为例, 先对正方形做变换 $r_4$, 再做变换 $\rho_1$, 用图形表示为:
![图片](/uploads/2023-11/image_20231108474b1d7.png)
这样, 我们就得到了正方形的一个新的变换, 记作 $\rho_1 \cdot r_4 $, 它对正方形的作用效果是：

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108a09b9be.png)
当然 $\rho_1 \cdot r_4$ 仍是正方形的一个对称变换 (为什么?). 很自然地想知道, 它是 $D_4$ 中哪一个对称变换呢? 我们发现, $\rho_1 \cdot r_4$ 把顶点 $1,2,3,4$ 依次映到了 $3,2,1,4$; 而 $r_1$ 也把 $1,2,3,4$ 依次映到了 $3,2,1,4$. 由于正方形的对称变换由其（任意）两个顶点所唯一确定, 所以 $\rho_1 \cdot r_4$ 与 $r_1$ 是相同的对称变换, 即

$$
\rho_1 \cdot r_4=r_1 \text {. }
$$

也就是说, $\rho_1$ 与 $r_4$ 的合成 $\rho_1 \cdot r_4$ 仍然是正方形的一个对称变换, 而且仍然在 $D_4$ 中.
一般地, 由对称变换的定义可以知道, 一个平面图形的两个对称变换 $a$ 与 $b$ 的合成 (即先做变换 $a$, 再做变换 $b$ ) 仍然是这个平面图形的一个对称变换, 记作 $b \cdot a$.

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