最后更新: 2025-10-19 17:01 查看: 365 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

对称与平面刚体运动

## 平面图形的对称

### 轴对称图形
现在我们换一个角度来考察平面图形轴对称和中心对称的意义。．

按照轴对称定义，等腰三角形是一个轴对称图形．如图 1－1，把一个等腰 $\triangle A B C$ 沿它的对称轴 $l$ 折叠，则直线 $l$ 两旁的部分完全重合．

![图片](/uploads/2025-10/5d454a.jpg){width=150px}
 
 **观察** 如图 1－2 所示，在一张纸（平面）上画一个等腰 $\triangle A B C$ ，在它的底边的垂直平分线 $A D$ 处放一面＂双面镜＂，并使镜面与纸面垂直．在镜面的反射下，$\triangle A B C$ 被映成了什么图形？这个图形与 $\triangle A B C$ 有什么关系？
 
  ![图片](/uploads/2025-10/5ecf02.jpg){width=150px}

从＂双面镜＂中可以看到，点 $B$ 被映到了点 $C$ ，点 $C$ 被映到了点 $B, \triangle A B C$ 被映到了 $\triangle A C B$ ，而且 $\triangle A C B$ 与 $\triangle A B C$ 是全等的．
由于镜面垂直于纸面，因此上述 $\triangle A B C$ 关于镜面的反射可以看成是 $\triangle A B C$ 关于它的底边垂直平分线 $A D$ 的反射．

**探究** 如图 1－3，任意作一个等腰三角形 $A B C$ ，任取 $\triangle A B C$上一点 $P$ ，作点 $P$ 关于 $\triangle A B C$ 底边垂直平分线 $A D$ 的对称点 $P^{\prime}$ ．那么，$A 、 B 、 C$ 关于直线 $A D$ 的对称点分别是什么？ $\triangle A B C$ 变成了什么图形？这个图形与 $\triangle A B C$ 有什么关系？

![图片](/uploads/2025-10/280a39.jpg){width=150px}
 
 
可以发现，$A 、 B 、 C$ 的对应点分别是 $A 、 C 、 B$ ，即 $A$ 保持不动，$B$ 的对应点是 $C$ ， $C$ 的对应点是 $B . \triangle A B C$ 被映成了与它全等的 $\triangle A C B$ ．

现在，代替等腰三角形，我们考察整个平面关于＂双面镜＂的反射．
我们知道，一个平面可以看成是点的集合，就像我们把直线质成点的集合一样．设 $\alpha$ 是一个由平面内的所有点组成的集合，$l$ 是这个平面内的一条直线，定义点集（平面） $\alpha$ 到其自身的一个映射

$$
r: P \rightarrow P^{\prime},
$$

$r$ 把平面 $\alpha$ 内的任意一点 $P$ 映到点 $P$ 关于直线 $l$ 的对称点 $P^{\prime}$（图 1－4）．我们把这个映射称为平面 $\alpha$ 关于直线 $l$ 的**反射**（refle

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