最后更新: 2025-10-19 17:01 查看: 417 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称与平面刚体运动

## 平面图形的对称

### 轴对称图形
现在我们换一个角度来考察平面图形轴对称和中心对称的意义。．

按照轴对称定义，等腰三角形是一个轴对称图形．如图 1－1，把一个等腰 $\triangle A B C$ 沿它的对称轴 $l$ 折叠，则直线 $l$ 两旁的部分完全重合．

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 **观察** 如图 1－2 所示，在一张纸（平面）上画一个等腰 $\triangle A B C$ ，在它的底边的垂直平分线 $A D$ 处放一面＂双面镜＂，并使镜面与纸面垂直．在镜面的反射下，$\triangle A B C$ 被映成了什么图形？这个图形与 $\triangle A B C$ 有什么关系？
 
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从＂双面镜＂中可以看到，点 $B$ 被映到了点 $C$ ，点 $C$ 被映到了点 $B, \triangle A B C$ 被映到了 $\triangle A C B$ ，而且 $\triangle A C B$ 与 $\triangle A B C$ 是全等的．
由于镜面垂直于纸面，因此上述 $\triangle A B C$ 关于镜面的反射可以看成是 $\triangle A B C$ 关于它的底边垂直平分线 $A D$ 的反射．

**探究** 如图 1－3，任意作一个等腰三角形 $A B C$ ，任取 $\triangle A B C$上一点 $P$ ，作点 $P$ 关于 $\triangle A B C$ 底边垂直平分线 $A D$ 的对称点 $P^{\prime}$ ．那么，$A 、 B 、 C$ 关于直线 $A D$ 的对称点分别是什么？ $\triangle A B C$ 变成了什么图形？这个图形与 $\triangle A B C$ 有什么关系？

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可以发现，$A 、 B 、 C$ 的对应点分别是 $A 、 C 、 B$ ，即 $A$ 保持不动，$B$ 的对应点是 $C$ ， $C$ 的对应点是 $B . \triangle A B C$ 被映成了与它全等的 $\triangle A C B$ ．

现在，代替等腰三角形，我们考察整个平面关于＂双面镜＂的反射．
我们知道，一个平面可以看成是点的集合，就像我们把直线质成点的集合一样．设 $\alpha$ 是一个由平面内的所有点组成的集合，$l$ 是这个平面内的一条直线，定义点集（平面） $\alpha$ 到其自身的一个映射

$$
r: P \rightarrow P^{\prime},
$$

$r$ 把平面 $\alpha$ 内的任意一点 $P$ 映到点 $P$ 关于直线 $l$ 的对称点 $P^{\prime}$（图 1－4）．我们把这个映射称为平面 $\alpha$ 关于直线 $l$ 的**反射**（reflection）．数学上，把这样定义的反射称为平面 $\alpha$ 的一个**反射变换**．

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 可以知道，在反射变换 $r$ 的作用下，平面 $\alpha$ 内的点被映到点，平面 $\alpha$ 内的图形被映到了与它全等的图形（图 1－5）．

这时，如果一个平面图形（如等腰三角形）在映射 $r$ 的作用下仍与原来的图形重合，我们就称这个平面图形是一个**轴对称图形**．

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 ### 中心对称图形
 按照中心对称图形，正方形是一个中心对称图形．如图 1－6，正方形 $A B C D$ 绕它的中心 $O$ 逆时针旋转 $180^{\circ}$ 后，得到的图形与原来的图形重合，其中，$A 、 B 、 C 、 D$ 分别被转到了 $C 、 D 、 A 、 B$ 的位置．
 
  ![图片](/uploads/2025-10/2327b3.jpg){width=200px}

现在，代替正方形，我们考虑整个平面绕平面内一个固定点逆时针转 $180^{\circ}$ 的旋转．准确地说，设 $\alpha$ 是一个平面内所有点构成的集合，$O$ 是平面 $\alpha$ 内的一个固定点，定义点集（平面）$\alpha$ 到其自身的一个映射

$$
\rho: P \rightarrow P^{\prime},
$$

$\rho$ 把平面 $\alpha$ 内的任意一点 $P$ 绕点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$ 后映到点 $P^{\prime}$（图 1－7），这个映射称为以点 $O$为中心转 $180^{\circ}$ 的**旋转**（rotation）．

![图片](/uploads/2025-10/9fcc53.jpg)
 
> **若没有特别说明，旋转的方向都是指逆时针方向。**

再看一下正方形的旋转．如图 1－8，取正方形 $A B C D$ 的中心 $O$ 为固定点，设 $\rho$ 是以点 $O$ 为中心转 $180^{\circ}$ 的旋转．那么，在 $\rho$ 的作用下，正方形上任意一点 $P$ 被映到了正方形上另一点 $P^{\prime}$ ，正方形的顶点 $A 、 B 、 C 、 D$ 依次被映到点 $C 、 D 、 A 、 B$ ，正方形 $A B C D$被映到正方形 $C D A B$ ，显然这两个正方形重合．

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 一般地，如果一个平面图形在映射 $\rho$（以点 $O$ 为中心转 $180^{\circ}$ 的旋转）的作用下仍与原来的图形重合，我们就称这个平面图形是一个**中心对称图形**

### 旋转与恒等
我们可以对以点 $O$ 为中心转 $180^{\circ}$ 的旋转进行推广．请同学们自己定义一个映射，表示平面以一个固定点 $P$ 为中心转任意给定角度的旋转．这样定义的映射在数学上称为**旋转变换**．

旋转角度为 $0^{\circ}$ 的旋转变换把平面上的所有点映到它自身．这个映射使整个平面上的每个点都保持不动，所以称为**恒等变换**（identity transformation）．

## 刚体运动

**思考**设 $P 、 Q$ 是平面内的任意两点，在旋转（或反射）变换的作用下，它们的对应点分别是 $P^{\prime} 、 Q^{\prime} 、 P^{\prime}$ 到 $Q^{\prime}$ 的距离与 $P$ 到 $Q$ 的距离有什么关系？

可以发现，反射变换和旋转变换有一个共同的特点，即所谓 ＂保距性＂．也就是说，对于平面内的任意两点 $P$ 和 $Q$ ，在反射 （或旋转）变换的作用下的对应点是 $P^{\prime}$ 和 $Q^{\prime}$ ，那么 $P^{\prime}$ 到 $Q^{\prime}$ 的距离等于 $P$ 到 $Q$ 的距离．借用物理学中的一个名词，我们把这类＂保持距离不变＂的映射称为平面刚体运动．
为了方便，今后我们将不再区分平面 $\alpha$ 和其内的所有点组成的集合 $\alpha$ ，即 $\alpha$ 既是一个平面的符号，又是一个平面内所有点组成的集合的符号．

**定义** 设 $\alpha$ 是一个平面，映射
$m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$
是一个一 一映射  ，若 $m$ 保持平面 $\alpha$ 内任意两点间的距离不变，则称 $m$ 是一个**平面刚体运动**（the rigid motions of the plane）．

下面我们对上述定义作一个简单的解释．任意一个平面刚体运动 $m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$ ，都满足下面四条：

**（1）对于平面 $\alpha$ 内的任意一点 $P$ ，在平面 $\alpha$ 内存在唯一的一点 $P^{\prime}$ 与之对应，记作 $P^{\prime}=m(P), P^{\prime}$ 叫做 $P$ 在 $m$ 作用下的象；
（2）任取平面 $\alpha$ 内的一点 $P^{\prime}$ ，存在平面 $\alpha$ 内的点 $P$ ，使得 $P^{\prime}$是 $P$ 在变换 $m$ 作用下的象；
（3）任取平面 $\alpha$ 内的两点 $P_1 、 P_2$ ，如果 $P_1 \neq P_2$ ，那么它们的象也是不同的，即 $m \left(P_1\right) \neq m\left(P_2\right) ;$  
（4）任取平面 $\alpha$ 内的两点 $P 、 Q$ ，它们在 $m$ 下的象是 $P^{\prime} 、 Q^{\prime}$ ，即 $P^{\prime}=m(P), Q^{\prime}= m(Q)$ ，那么 $\left|P^{\prime} Q^{\prime}\right|=|P Q|$ ，即点 $P^{\prime} 、 Q^{\prime}$ 之间的距离与点 $P 、 Q$ 之间的距离相等．**

实际上，我们在过去的学习中碰到过许多平面刚体运动．例如，我们熟悉的平移（translation）就是一类平面刚体运动．

设 $\alpha$ 是一个平面，点 $O$ 是 $\alpha$ 内的一个定点，$v$ 是一个以 $O$ 为起点的定向量，平移是指平面内一个点到点的映射

$$
t: P \rightarrow P^{\prime},
$$

$t$ 把平面内的任意一点 $P$ 映到点 $P^{\prime}$ ，且满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P}+v$ （图 1－9）．

这个映射在数学上称为平移变换．在平移变换 $t$ 的作用下，平面内的所有点沿定向量 $v$ 的方向，移动了距离 $|v|$ ．

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