最后更新: 2025-10-19 17:12 查看: 263 次纠错评论(0) 课件开VIP

平面刚体运动的性质与不动点

## 平面刚体运动的性质
平面刚体运动 $m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$ 有哪些性质呢？保持距离不变是 $m$ 的一个很强的性质．可以证明，只要知道不共线的 3 个点 $A 、 B 、 C$ 在 $m$ 下的象 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}, m$ 就完全确定下来了（参见[附录一](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=623)）。

下面我们再来证明：在平面刚体运动 $m$ 的作用下，正 $n$ 边形的大小和形状都保持不变．为了证明这个结论，我们先来证明下面这个命题．

**命题** 平面刚体运动
$m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$
将平面 $\alpha$ 内的直线映成直线，射线映成射线，线段映成等长的线段．

证明：令 $l$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条直线，设 $m$ 把 $l$ 上所有的点映到点集 $l^{\prime}$ ．
在 $l$ 上任取两点 $A 、 B$ ，设 $m$ 把它们分别映到 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ ．下面我们来证明 $l^{\prime}$ 是过点 $A^{\prime}$ 、 $B^{\prime}$ 的直线．

在 $A B$ 上任取一点 $C$ ，设 $m$ 把点 $C$ 映到点 $C^{\prime}$ ．

（1）如图 1－10，当点 $C$ 在 $A B$ 之间时，由平面刚体运动的定义得

$$
\begin{aligned}
\left|A^{\prime} C^{\prime}\right|+\left|C^{\prime} B^{\prime}\right| & =|A C|+|C B| \\
& =|A B| \\
& =\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|,
\end{aligned}
$$ 
所以点 $C^{\prime}$ 在线段 $A^{\prime} B^{\prime}$ 上（为什么？）．

![图片](/uploads/2025-10/3bc922.jpg){WIDTH=250PX}
 
 （2）如图 1－11，当点 $C$ 在 $A B$ 的延长线上时，我们有

$$
\begin{aligned}
\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|+\left|B^{\prime} C^{\prime}\right| & =|A B|+|B C| \\
& =|A C| \\
& =\left|A^{\prime} C^{\prime}\right|,
\end{aligned}
$$

所以 $B^{\prime}$ 在线段 $A^{\prime} C^{\prime}$ 上，即点 $C^{\prime}$ 在线段 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的延长线上．
同理可证，当点 $C$ 在 $B A$ 的延长线上时，点 $C^{\prime}$ 在线段 $B^{\prime} A^{\prime}$ 的延长线上．
由点 $A 、 B 、 C$ 的任意性可知，$l^{\prime}$ 是一条直线．

![图片](/uploads/2025-10/9ca16b.jpg){WIDTH=250PX}
 
 
思考：如何证明平面刚体运动 $m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$ 将平面 $\alpha$ 上的射线映成射线，线段映成等长的线段？

### 刚体运动下，形状大小保存不变
下面，我们说明三角形在平面刚体运动的作用下，形状和大小都保持不变．
如图 1－12，设 $\triangle A B C$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一个三角形，由已证命题可知，平面刚体运动
$m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$
把线段 $A B 、 B C 、 A C$ 依次映成线段 $A^{\prime} B^{\prime} 、 B^{\prime} C^{\prime} 、 A^{\prime} C^{\prime}$ ，
而且

$$
A B=A^{\prime} B^{\prime}, B C=B^{\prime} C^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime} .
$$

![图片](/uploads/2025-10/865b5c.jpg){width=500px}
 
 由于

$$
A B+B C>A C,
$$

故

$$
A^{\prime} B^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}>A^{\prime} C^{\prime}
$$

所以 $A^{\prime} B^{\prime} 、 B^{\prime} C^{\prime} 、 C^{\prime} A^{\prime}$ 构成了一个以 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$ 为顶点的三角形，而且 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是全等的．

### 不动点
最后，我们讨论一类特殊的平面刚体运动．设
$m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$
是一个平面刚体运动，若在平面 $\alpha$ 内至少存在一个点 $O$ ，点 $O$ 在 $m$ 的作用下保持不动，即 $m(O)=O$ ，我们称 $m$ 为**有不动点的平面刚体运动**．

这类平面刚体运动在下面的学习中具有重要的地位．我们知道，关于直线 $l$ 的反射变换以 $l$ 上所有的点为不动点；以点 $O$ 为中心的旋转变换以点 $O$ 为不动点．有趣的是，有不动点的平面刚体运动只有旋转变换和反射变换（证明详见附录二）．

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