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环

1．环的定义

群是代数学中研究的最简单的结构，只由一个集合配上一个运算构成，这个运算只有 4 条公理进行限制。通常，在群之后会介绍的一个更复杂—些的概念，是环（ring）。一个环就是由一个集合配上两个运算构成的集合，通常把这两个运算叫做加法和乘法；环上的加法和乘法分别构成群，不过乘法群不包括加法的单位元，而加法群是阿贝尔群。

为了简洁地定义环，先定义两个群论中并没有涉及到的概念。
定义 1 半群和么半群
给定集合 $G$ 及其上的一个运算，运算符号忽略。如果运算满足：
- 封闭性，
- 结合性，

那么称 $G$ 配合该运算构成一个半群（semi－group）。如果半群中含单位元，则构成一个幺半群 （monoid）。这里的＂幺＂是＂一＂的意思。

由此可见，群就是每个元素都有对应可逆元的么半群。有了么半群的概念，就可以很方便地定义环了。

定义 2 环
一个环（ring）是一个集合 $R$ 与两种运算＂加＂和＂乘＂，分别记为 + 和 $\circ$ 。其中加法配合 $R$ 中所有元素构成一个阿贝尔群，加法群的单位元通常称为零元，记为 0 ；乘法配合集合 $R$ 构成一个幺半群，其单位元通常称为幺元，记为 1 。另外还要求加法和乘法满足
- 左分配律：$a \cdot(b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)$ ，
- 右分配律：$(b+c) \cdot a=(b \cdot a)+(c \cdot a)$ 。

如果乘法还含有单位元，则称其为幺元，记为 1 。

通常，为了方便表示，我们也会省略环中乘法的符号，将 $a \cdot b$ 写为 $a b$ 。
由定义，环的加法必须是可交换的，但乘法却不一定。如果 $R$ 的乘法也交换的话，我们就称 $R$ 为一个交换环 （commutative ring）。

例1 整数环
整数集合配上通常的加法和乘法，构成一个交换环，记为 $Z$ 。

例 2 数域
有理数集合配上通常的加法和乘法，构成一个交换环，记为 $Q$ 。类似地，实数构成交换环 $R$ ，复数构成交换环 $C$ 。这三个环都是数域的例子，数域是指包含整数的域，而域是之后基于环而讨论的概念。

例 3 多项式环
设有交换环 $R, x$ 是一个自变量，那么集合 $\left\{\sum_{i=0}^n a_i x^i \mid n \in Z ^{+}, a_i \in R\right\}$ 可以看成是 $x$ 的多项式构成的集合，其系数取遍 $R$ 。这些多项式之间的加法和乘法由 $R$ 的加法和乘法诱导（定义），并且构成了一个交换环，称为 $R$ 的多项式环。

记 $R$ 上的多项式环为 $R[x]$ 。

环的定义在一个细节上有争议，那就是乘法需不需要有幺元。有些书中的定义不要求有幺元，也就是说乘法只构成半群即可，这就使得对于任意正整数 $n, ~ n$ 的全体倍数构成的集合 $n Z$ 也是一个环；在这种定义里，会把含么元的环称作含幺环或者幺环。由于不含么元的结构一般不研究，所以主流数学界干脆将环定义为有幺元的。小时百科中为了方便表述，认为环都不一定有幺元，将么环和环区分开，请读者注意。

2．子环
定义3 子环
给定一个环 $R$ ，如果 $S$ 是 $R$ 的子集，并且在继承 $R$ 的两个运算后也构成环，那么称 $S$ 是 $R$ 的子环 （subring）。

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