最后更新: 2025-10-19 12:52 查看: 269 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的应用1-群与装饰的对称性

群论是很神奇的一个数学分支．在我们这本小册子中，只能非常通俗地介绍一下群论最基本的概念．前而，我们已经领略了一下群论在研究各种不同对称性中的作用．实际上，群论的应用远比想象的要更加广泛，更加深人．在本章中，我们有选择地介绍群论的一些典型应用，这些应用相对比较容易理解．通过这些典型应用实例的学习，希望读者能够对群论的神奇应用有所了解．

### 群与装饰
从字面上来质，群与装饰艺术似乎毫无关系，一个是数学概念，一个属于艺术范盽．事实上，在装饰艺术中，许多设计图案都是一个基本图案的重复，这种重复，就需要运用反射、旋转、平移等变换，这就需要用到群。常见到墙纸、纺织品、建筑装饰、地砖铺设图案的设计，都属于这种情形．

尽管装饰图案千变万化，无穷无尽，但是，无论是带状的装饰图案，还是面状的装饰图案，它们的对称性只有有限多种类型．当然要找到这全部不同的对称性，并证明只有这么多对称性，还是相当困难的．这些结果是由很多数学家共同努力完成的．我们在这里，不打算给出这种对称性分类工作的证明过程．只给大家介绍结果．

数学家已经证明，平面上的装饰性对称群一共有 24 个，其中有 7 个是关于无限延伸的带状装饰图案的对称性群，另外 17 个是可以充满整个平面的装饰性图案的对称性群．

### 带饰对称性
4． 1.1 
我们所讨论的具有对称性的带饰，是被理解为可以无限延伸的带子．我们并不真正关心带饰图案，而是关心所有可能的对称性．原因是带饰图案千变万化，无穷无尽，我们不可能穷尽它们．

但是，按照对称性来考察带饰图形，我们会发现，尽管带饰图案纷繁多样，但是它们的对称类型却只们 7 种．这样出人意料的结论，仅仅是数学家运用群论的一个小小的成果而已。

在这里，我们无法重复这个结论的推导过程，只是通过尽量通俗的方式，介绍这 7 种不同类型的对称性．

具有对称性的带饰，必然有几个特点，图案中有一条直线，使得在带饰图案与自身重合的任何等距变换之下，这条直线也与自身重合，这条直线称为**带轴**．

所谓带饰的对称类型只有 7 种，其实就是说它们的对称变换群一共有 7 个类型。我们把这些群列举在下面，并通过简单的图案来表示出每种群所对应的带饰图案

（1）仅由一些平移组成的对称变换群 $L_1$ ，这些平移的方向沿着带轴的方向，移动的距离是某个固定长度的倍数．对应的图案见图 4－1．

![图片](/uploads/2025-10/11a9c9.jpg){width=300px}
 
 (2)由群 $L_1$ 添加一个绕带轴上某一点作 $180^{\circ}$ 角的旋转所得到的对称变换群 $L_2$ ．对应的图案见图 4－2．
 
  ![图片](/uploads/2025-10/1aee5c.jpg){width=300px}
  
 （3）由群 $L_{1}$ 添加垂直与带轴一个直线的反射所得到的对称变换群 $L_{3}$ ．对应的图案见图 4－3．
 
  ![图片](/uploads/2025-10/2f0cbc.jpg){width=300px}
  
  （4）由群 $L_1$ 添加一个关于带轴的反射所得到的对称变换群 $L_4$ ．对应的图案见图 4－4．
  
  
   ![图片](/uploads/2025-10/e3e8ec.jpg){width=300px}
   
  
  （5）由群 $L_1$ 添加这样的变换所得到的对称变换群 $L_5$ ，这个变换为一个反射变换和平移变换的乘积，反射轴为带轴，平移为沿带轴方向移动距离 $\frac{a}{2}$ ．对应的图案见图 4－5．
  
   ![图片](/uploads/2025-10/076392.jpg){width=300px}
   
   （6）由群 $L_6$ 添加一个关于垂直于带轴的一个直线的反射变换所得到的群 $L_6$ ．对应的图案见图4－6．
    ![图片](/uploads/2025-10/278a23.jpg){width=300px}
    
  （7）由群 $L_5$ 添加一个关于垂直于带轴的反射所得到的群 $L_7$ ．对应的图案见图 4－7．
   ![图片](/uploads/2025-10/653996.jpg){width=300px}
   
 ### 更多对称装饰
 
 带饰图案是很常见的一种装饰图案．下面随意列举一些．其中大部分都是用来装饰建筑物或者器物边沿的图案．虽然图案的对称性并不是十分标准，但是希望你能认真观察，识别出它们各自的对称类型．

![图片](/uploads/2025-10/f9ddb4.jpg)
 
 
 ### 面饰对称性
 
 平面装饰图案简称为面饰图案．与带饰图案类似，人们主要关注的是面饰图案的对称性，不是面饰图案本身。面饰图案对称类型更加重要，因为这些类型也恰好是平面结晶图形的类型。

而饰图罙也是我们在现实生活中，经常能够见到的图案．下而就是经常出现在古建筑门、狂上的装饰图栄（图4－17～图4－22）．

![图片](/uploads/2025-10/7b379c.jpg)
 
面饰图案的对称变换群的特点是，既没有不动点，也没有不动直线．这种群也称为平面的费得洛大（Fedorov）群，共有 17 个不同类型．之所以叫费得洛夫群，是因为费得洛夫是最早完全确定这些对称类型，或者说是发现这些对称变换群的数学家。

面饰图案一般是由面饰单元，经过两组不同方向的平移生成的．由于面饰单元可以具有不同对称性，所以面饰图案也会具有不同的对称性．数学家正是按照不同对称性把面饰图案分成了 17 类。

对于平面装饰图穼和它们的对称变换群，我们不打算一一列举．有兴趣的同学可以参阅在关对称方面的专门书籍。

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