最后更新: 2025-03-16 17:16 查看: 211 次反馈刷题

群同态

1．同构
让我们来观察两个群 $( Z ,+)$ 和 $(2 Z ,+)$ 。如果我们把 $2 Z$ 中的 2 都看成 $1, ~ 4$ 都看成 2 ，以此类推，将 $2 k$ 都看成 $k$ ，那么两个群的运算规则是一模一样的。比如说， $2 Z$ 中有 $2+4=6$ ，对应的是 $Z$ 中 $1+2=3$ 的等式。

我们研究集合和群的时候，元素叫什么名字并不重要，重要的是元素之间是否相同以及运算规则是怎样的。那么，如果我们真的将 $2 Z$ 中的元素 $2 k$ 都重命名为 $k$ ，它就和 $Z$ 没什么区别了。所以在群的意义上，如果不考虑子群关系，单独把 $Z$ 和 $2 Z$ 拿出来的时候，我们就认为它们是不可区分的，完全相同的两个群。

如果我们建立一个映射 $f: Z \rightarrow 2 Z$ ，定义为 $f(k)=2 k$ ，那么这个 $f$ 就是一个双射，它在两个群的元素之间——对应地建立了联系。这样，对于任意整数 $m, n$ ，有 $f(m)+f(n)=f(m+n)$ ，也就是说＂先运算再映射＂和＂先映射再运算＂结果是相同的。

类似地，对于任意的两个群 $G$ 和 $K$ ，如果存在一个双射 $f: G \rightarrow K$ ，使得对于任意的 $x, y \in G$ 都满足 $f(x) f(y)=f(x y)$ ，那么这两个群的运算结构就是一模一样的。这时我们说这两个群是同构（isomorphic）的，而这个使得它们同构的双射就被称为 $G$ 和 $K$ 之间的同构映射（isomorphic mapping），也可以简称同构
（isomorphism）这里加粗的两个＂同构＂，前者是形容词，后者是名词。
定义 1 自同构
称群到自身的同构为一个自同构（automorphism）${ }^1$ 。
群 $G$ 的全体自同构配合映射的复合，又构成一个群，称为 $G$ 的自同构群，记为 $\operatorname{Aut}(G)$ 。

由于同构使得两个群各方面表现一模一样，研究同构其实没有太大意义，我们甚至直接把同构的两个群看成同一个群，不管元素具体怎么命名的。有意思的结构，是以下定义的＂同态映射＂。

2．同态
同构映射是一个双射。如果把这个要求拿掉，我们就得到同态的概念：
定义 2 同态映射
对于两个群 $G$ 和 $K$ ，如果映射（不一定是双射）$f: G \rightarrow K$ 使得 $\forall x, y \in G, f(x) f(y)=f(x y)$ ，那么称 $G$ 和 $K$ 是同态（homomorphic）的，称 $f$ 是同态映射（homomorphic mapping）或同态 （homomorphism）。

定义 3 像和核
沿用定义 2 的设定。 $K$ 中被映射到的元素构成的集合，称为 $f$ 的像（image），记作 $f(G)$ 。 $G$ 中映射到 $K$的单位元 $e_K$ 的元素构成的集合，称为 $f$ 的核（kernal），记为 $\operatorname{ker}(f)$ 。

注意，$f(G) \subset K, \operatorname{ker}(f) \subset G$ 。
同态的两个群，运算结构很相似但又不完全一样。在以上定义的例子中，$K$ 的行为就像是一个弱化版的 $G$ ，可能会丢失一些细节，但保留的方面和 $G$ 是一模一样的。这么说可能不够具体，我们用习题 1 和习题 2 来理解同态的＂似而不同＂。

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