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群论入门
群的应用1-群与装饰的对称性
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更新:
2025-10-19 12:52
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群的应用1-群与装饰的对称性
群论是很神奇的一个数学分支.在我们这本小册子中,只能非常通俗地介绍一下群论最基本的概念.前而,我们已经领略了一下群论在研究各种不同对称性中的作用.实际上,群论的应用远比想象的要更加广泛,更加深人.在本章中,我们有选择地介绍群论的一些典型应用,这些应用相对比较容易理解.通过这些典型应用实例的学习,希望读者能够对群论的神奇应用有所了解. ### 群与装饰 从字面上来质,群与装饰艺术似乎毫无关系,一个是数学概念,一个属于艺术范盽.事实上,在装饰艺术中,许多设计图案都是一个基本图案的重复,这种重复,就需要运用反射、旋转、平移等变换,这就需要用到群。常见到墙纸、纺织品、建筑装饰、地砖铺设图案的设计,都属于这种情形. 尽管装饰图案千变万化,无穷无尽,但是,无论是带状的装饰图案,还是面状的装饰图案,它们的对称性只有有限多种类型.当然要找到这全部不同的对称性,并证明只有这么多对称性,还是相当困难的.这些结果是由很多数学家共同努力完成的.我们在这里,不打算给出这种对称性分类工作的证明过程.只给大家介绍结果. 数学家已经证明,平面上的装饰性对称群一共有 24 个,其中有 7 个是关于无限延伸的带状装饰图案的对称性群,另外 17 个是可以充满整个平面的装饰性图案的对称性群. ### 带饰对称性 4. 1.1 我们所讨论的具有对称性的带饰,是被理解为可以无限延伸的带子.我们并不真正关心带饰图案,而是关心所有可能的对称性.原因是带饰图案千变万化,无穷无尽,我们不可能穷尽它们. 但是,按照对称性来考察带饰图形,我们会发现,尽管带饰图案纷繁多样,但是它们的对称类型却只们 7 种.这样出人意料的结论,仅仅是数学家运用群论的一个小小的成果而已。
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