最后更新: 2025-03-16 17:15 查看: 201 次反馈刷题

半群与幺半群

群的一种扩展是半群。较群而言，半群只要求封闭性和结合性，而抛弃了单位元存在性和逆元存在性。其严格定义如下：

定义2 半群
一个半群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构，该运算满足封闭性和结合性。

显然群是一种特殊的半群，而半群不一定为群。特别地，有着单位元的半群叫作么半群，其定义如下：
定义 3 么半群
若一个半群 $(G, \cdot)$ 满足：$\exists e \in G, \forall x \in G, e \cdot x=x \cdot e=x$ ，则称其为么半群，其中 $e$ 称为它的么元或单位元。

例 7 自然数加法幺半群
自然数集 $N =\{0,1,2, \cdots\}$ ，配合通常的加法运算构成一个么半群。

例 8 形如 $x^2+d y^2$ 的整数幺半群
任给整数 $d$ ，所有形如 $x^2+d y^2(x, y \in Z )$ 按通常的乘法构成么半群。注意它对乘法封闭：

$$
\left(x^2+d y^2\right)\left(u^2+d v^2\right)=x^2 u^2+d^2 y^2 v^2+d\left(x^2 v^2+y^2 u^2\right)=(u x+d v y)^2+d(v x-u y)^2 .
$$

4．唯一性定理
群中的单位元和每个元素的逆元都是唯一的：
定理 2 群运算满足消去律
给定一个群 $G$ ，若对于 $a, b \in G$ 有某个 $x \in G$ 使得 $a x=b x$ ，那么必然有 $a=b$ ；类似地，如果 $x a=x b$ ，也必然有 $a=b$ 。

该定理的证明留作习题 ${ }^2$ 。
唯一性是所有群都有的性质，但是等到我们讨论环的时候，由于环的乘法不要求逆元一定存在，我们没法对环证明这个唯一性。事实上，很多环都没有唯一性。

习题 5 单位元的唯一性
从定理 2 可知左右单位元分别是唯一的。请证明左单位 $e_1$ 元等于右单位元 $e_2$（提示：将它们相乘）。

定理 3 逆元的唯一性
在一个群中，对任意 $x$ ，假设它存在一个左逆元 $a$ ，那么我们必然有 $a x=e$ 。考虑结合性可知， $a e=a=e a=(a x) a=a(x a)$ ，于是 $x a=e$ ，即 $a$ 也是 $x$ 的右逆元。也就是说，一个群里的元素只要有左逆元，那么右逆元也存在，并且等于左逆元。反之亦然。

习题 6
证明 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$

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