最后更新: 2025-10-19 12:39 查看: 282 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的应用2-晶体的结构

## 群的应用2-晶体的结构
前面我们学习了平面上的等距变换群，实际上，从应用的角度而言，空间等距变换更重要一些．所谓空间等距变换，就是不改变空间中任意两点之间距离的几何变换．

类似于平面图形的对称性，空间几何图形有镜面对称、轴对称、中心对称等等，我们可以用空间的等距变换来定义这些对称性．类似地，可以建立空间图形的对称变换群．

虽然，空间图形的对称性可以仿照平面的情况进行研究，但是，空间的情况更加复杂．空间最基本的等距变换也只有三种：旋转变换、镜面反射变换和平移变换．可以证明，空间中任何一个等距变换都可以通过这三种基本等距变换来实现。

我们之所以要提一下空间对称性，是因为接下来要介绍的群在晶体分类研究中的应用，分子对称群，都要牵扯到空间对称性和空间等距变换．

人们用平而图案来装饰事物的表面。由此产生了平面装饰艺术。但是艺术从来没有进人过立体装饰艺术，也许这是因为人们无法看到立体内部装饰的缘故．

但是，大自然却不关心是否有人能盾到物体的内部，自然界中充满了立体装饰。大自然立体装饰艺术杰作之一就是晶体．奇妙的晶体就是大自然按照某种精妙的方式对原子进行排列的结果，晶体内部原子的排列图案就是立体装饰。

下面是一些大家然悉的晶体内部原子和分子的排列图案（图4－23～图4－28）

![图片](/uploads/2025-10/b6672b.jpg)
 
 虽然在自然界中，我们见到的晶体都是有限的，但是，如果考察品体内部原子的排列规律，可以设想这种晶体完全可以依照同样的规律充满整个空间。这一点非常类似于我们前面介绍的平面装饰图案，现实中不可能有无限的装饰图案，但是，从研究对称性的角度而言，可以设想图穼充满整个平面。

现在对于晶体所量现出来的规律，我们也可以这样来理解．这样理解的晶体就是所谓的理想品体。 理想品体可以充满整个空间，可以看作是由空间中一个单位是格，经过三组不共面的平移而产生的．

一个不是十分严格，但是容易理解的解释是这样的，如果单位显格是一块砖，那么我们可以通过沿着三个互相垂直的方向平移，使得这样完全相同的砖块堆满整个空间，一块砖就好比一个单位显格。

晶体中，单位晶格是由原子在空间中所形成的一个规则的多面体，品体可以理解为由单位晶格有规则地堆碰而成的。

晶体可以千变万化，但是，它们所皇现出的对称性却是有限的，因为每个品体都有自己的对称变换群．
晶体物理学和晶体化学理论告诉我们，晶体对称性不仅仅是结构问题，对称性与晶体的物理性质和化学性质都是密切相关的。这也是人们十分关注晶体对称性的原因之一。

晶体的对称性当然与晶体单位晶格和平移方向都有关系。而要描述这些对称性自然离不开群论这个工具．晶体不同对称类型的确定，或者不同品体对称群的确定，可不像面饰对称性那么容易，离开强大的群论工具，人们是不可能完成这种对称性分类的．即使群论已经十分成熟的今天，人们要完成这个分类工作，也需要几十页的篇帕．

一个品体 $C$ 的对称变换，要么把 $C$ 的某个单位晶格还变成它自己，要么把一个单位晶格变成另外一个单位晶格．

在19世纪末期，经过 Fedorov，Schoenflies，Barlow 等一些科学家和数学家的共同努力，利用群论工具证明了，保持一个单位晶格不动（是指变换前后这个单位晶格与自己完全重合）的对称变换群，也称为对称点群，一共有 32 种；而晶体对称变换群共有 230 种，这些群也称为**空间群**．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：群的应用1-群与装饰的对称性

下一篇：群的应用3-分子的对称性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)