最后更新: 2025-03-16 17:14 查看: 319 次反馈刷题

群

群是一种描述对称的数学对象，几乎每一个对称现象的背后都有一个群。群论起源于伽罗瓦对于五次以上代数方程求根公式的思考，后被应用到了数学和物理的诸多领域当中。

我们在＂映射冋＂的式 3 ゆ 中定义了二元运算为映射 $A \times B \rightarrow C$ ，如果 $A=B=C$ ，即一个集合中的任意两个元素运算后的结果仍然在这个集合中，那么我们说这个二元运算是封闭的（closed），有的地方也会称作闭合的。二元运算的符号可以任意决定，如果使用•作为运算符，那么二元运算就可以简单写为 $a \cdot b=c$ 。注意，这里的•只是表示某—个运算，不一定是我们通常的乘法或点乘运算。

定义 1 群
一个群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算•的结构，该运算满足以下要求：
1．封闭性（closure）：$\forall x, y \in G, x \cdot y \in G$ ，即任意 $G$ 中元素 $x, y$ 满足 $x \cdot y$ 仍是 $G$ 中元素
2．结合性（associativity）：$\forall x, y, z \in G, x \cdot(y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z$
3．单位元（identity element）存在性：$\exists e \in G, \forall x \in G, e \cdot x=x \cdot e=x$
4．逆元（inverse element）存在性：$\forall x \in G, \exists y \in G, x \cdot y=y \cdot x=e$ 。通常我们会把这样的 $y$ 称作 $x$的逆元，并记为 $x^{-1}$

严格来说，这样的一个群应该表示为 $(G, \cdot)$ ，而 $G$ 表示的是没有赋予运算的集合。但是为了方便，我们通常也会直接把上述定义的群叫做群 $G$ 。

实际上，我们可以用更为弱化的公理系统来定义群，比如第 4 条只要求存在左逆元，即只要求 $\forall x \in G, \exists y \in G, y \cdot x=e$ 。在这种情况下我们仍然可以证明左逆元都是右逆元（定理 3 ）。有很多不同的弱化版本公理系统也能等价地定义出群来，但是为了方便理解，我们用了以上对称的公理系统。

集合的元素数量被称为集合的基数或势，而群 $G$ 的元素数量也可以称为群的阶（order），记作 $|G|$ 。阶数有限的群称为有限群。以后如果没有特别说明，默认将群元素 $x$ 的逆元记为 $x^{-1}$ ，将群的单位元记为 $e$ 。

如果群 $G$ 是有限的，那么由封闭性知，对于任意元素 $a$ 都必存在 $n \in N$ ，使得 $a^n=e$ ，把最小正整数称之为群元素的阶。关于群元素的阶 $O(a)$ ，有以下命题：

定理 1
- $O(a)=O\left(a^{-1}\right)$ 。
- 设任意 $g \in G$ ，有 $O\left(g a g^{-1}\right)=O(a)$ 。
- 若 $O(a)=n$ ，则 $O\left(a^r\right)=\frac{n}{(n, r)}, ~(n, r)$ 表示最大公因子。
proof．
只证明最后一条。设 $(n, r)=d, O\left(a^r\right)=k$ 。
因为 $a^{\frac{r}{d} n}=e$ ，因此 $k \left\lvert\, \frac{n}{d}\right.$ 。要证明 $k=\frac{n}{d}$ ，只需要证明 $\left.\frac{n}{d} \right\rvert\, k$ 即可。因为 $a^{r k}=e$ ，则 $n \mid r k$ ，所以 $\frac{n}{d} \left\lvert\, \frac{r}{d} k\right.$ 。又因为 $d$ 是 $n$ 和 $r$ 的最大公因子，所以 $\left(\frac{n}{d}, \frac{r}{d}\right)=1$ ，则 $\left.\frac{n}{d} \right\rvert\, k$ ，证毕。

习题1
证明共轭子群定义 6 ฟ的阶和原群相同。

习题 2 二元群
定义一个只含有两个元素的集合，记为 $\{0,1\}$ 。在这个集合上定义运算＂+ ＂，由于只有四种运算方式，所以可以通过列举出每一个运算的结果来定义这个运算：

$$
0+0=0, \quad 0+1=1, \quad 1+0=1, \quad 1+1=0
$$

- 请用一个 $2 \times 2$ 的表格表示运算规则
- 请根据定义 1 验证这个二元集合配上运算 + 构成一个群

在以上例子中， 0 可以理解为＂偶数＂， 1 可以理解为＂奇数＂，而群的运算可以理解为奇数加奇数 $=$ 偶数加偶数 $=$ 偶数，而奇数加偶数 $=$ 奇数。另外，注意尽管 $0+1=1+0$ ，我依然把它们分别单独写了出来，这是因为群的定义不要求交换律成立，也就是说，群运算允许 $x \cdot y \neq y \cdot x$ 。群元素选为 0 和 1 没有特殊原因，只是代表这是群里两个不同的元素而已，任何由两个元素构成的群我们都看作同一个。运算满足交换律的群被称为阿贝尔群（abelian group）或交换群 （commutative group），否则称为非阿贝尔群（non－abelian group）或非交换群（non－commutative group）。习惯上，我们把阿贝尔群的运算叫做加法，记为＂${ }^{\prime}$＂，而把非阿贝尔群的运算叫做乘法，记为 ${ }^{\prime} \cdot$＂，甚至简化为没有符号，比如 $a b \neq b a$ 。不过，即使是非阿贝尔群中也可能存在两个元素 $a$ 和 $b$ ，使得 $a b=b a$ ；这时我们说 $a$ 和 $b$交换（commute）。

一般地，由于在朴素集合论中我们最多只讨论了集合的基数问题，集合中的元素具体如何命名是没有约束的，因此在集合论意义下元素数目相同的集合都看作同一个。比如说，我们认为 $\{\Delta, 3, K\}$ 和 $\{1,2,3\}$ 是同一个集合。而现在在集合上定义了一个群运算以后所得到的群，即使构成它们的集合相同，群也可能由群运算的不同而产生不同的结构，从而被看作是不同的群。

例1 整数加法群
所有整数的集合 $Z$ ，配合通常的整数加法运算构成一个群。

例 $2 n$ 元循环群
取一个由 $n$ 个元素组成的集合 $G$ ，由于集合元素命名的任意性，不妨把 $G$ 记为 $\{0,1, \cdots n-1\}$ ，定义运算为模 $n$ 的加法，即在一个有 $n$ 个整点的钟表上的加法（见＂整数＂）。那么这个运算构成 $G$ 上的一个群运算，所构成的群 $G$ 称为 $n$ 元循环群（n－element cyclic group），通常记为 $C_n$ 或者 $Z / n Z$ 。

命名为 $C_n$ 是取＂cyclic＂的含义，而命名为 $Z / n Z$ 是为了说明循环群是整数加法群 $Z$ 的商群（例 1 ${ }^{\text {}}$ ），而商群是将来会提到的重要概念。

例 $3 n$ 元置换群
首先给定一个 $n$ 元集合，记作 $K=\{1,2, \cdots, n\}$ ，并将 $K$ 中的元素按现有的顺序编号。把 $K$ 看作是 $n$ 个桶中分别装了 1 个写着编号的球，初始状态下球的编号和桶的编号一致。我们可以把球从桶里面拿出来并进行任意的置换，保持每个桶里还是只有一个球，但是球的编号不一定和桶的编号—致了。每一个置换可以详细描述为＂把 1 号桶的球和 2 号桶的球交换＂，＂把 1 号桶的球放入 3 号桶， 3 号桶的放入 4 号桶， 4 号桶的放入 1 号桶＂等等。

我们用全体＂置换＂动作，即所有 $K$ 到自身的——映射，来作为元素，构成一个集合，称作 $n$ 个元素的置换集合（ $n$ 元置换集），记为 $S_n$ 。 $S_n$ 一共有 $n!$ 个元素 1 。从原始状态进行任意置换，所得到的结果状态和置换是一一对应的，所以我们也可以用＂从原始状态进行置换 $f$ 所得的结果＂来表示置换 $f$ 本身。

置换之间可以定义一个运算＂$\circ$＂，被称为置换间的复合，它是这样定义的：如果 $f$ 和 $g$ 是两个置换，那么 $g \circ f$就是先进行 $f$ 置换，再进行 $g$ 置换。注意先后次序是从右到左进行的。

我们也可以这样来理解一个置换：原始状态下，$n$ 号桶中的小球为 $n$ 。进行一次 $f$ 置换后，$n$ 号桶中的小球就

变成了 $f(n)$ ，再进行一次 $g$ 置换，那么 $n$ 号桶中现在装的小球就变为 $g(f(n))$ 。这个过程也可以看成是进行了一次 $g \circ f$ 运算，让 $n$ 号桶中的小球变成 $g \circ f(n)$ 。

现在我们有了一个由置换组成的集合以及置换之间的运算，我们来验证在这个运算下，所有的置换构成一个群：
- 显然，任意两个置换的复合还是一个置换，因此该运算是封闭的。
- 映射的符合满足结合律可以通过带入任何一个 $K$ 中的数字来验证。
- 单位元素是恒等映射，即保持所有数字不动的映射。
- 任意一个置换 $f$ 由于是满射，所以对于每一个 $K$ 中的数字 $i$ ，都存在原像 $j$ 满足 $f(j)=i$ ，又因为 $f$ 是单射，所以原像唯一。定义 $f^{-1}: K \rightarrow K$ 把每一个 $i$ 对应到它的唯一的原像。可以验证，这样定义了 $f$ 的逆元。

因此，$\left(S_n, \circ\right)$ 是一个群。注意当 $n>2$ 时 $S_n$ 是不交换（非阿贝尔）的。

在以上两个例子中可以看到，尽管元素数量一样， $Z _{24}$ 和 $S_4$ 的元素数量都是 24 ，但是前者是阿贝尔群，后者则不交换，显然两个群的运算结构不可能一样。这是一个集合论意义上等价但群论意义上不等价的例子，换句话说，同一个集合上有时可以定义多个不同的运算使之成为不同的群。

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