最后更新: 2025-11-06 17:06 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称变换的性质

## 对称变换的性质
我们以最简单的正三角形的对称变换为例，看一看对称变换的合成是否满足交换律．

若对正三角形 123 先做恒等变换 $I$ ，再做变换 $r_2$ ，即

**这里 I 表示“1”就是不变的意思，$\rho$是旋转，$r$是反射反转**

![图片](/uploads/2025-10/814f23.jpg){width=300px}
 
 我们发现 $r_2 \cdot I=r_2$ ．
反过来，先做变换 $r_2$ ，再做恒等变换 $I$ ，即

![图片](/uploads/2025-10/76456c.jpg){width=300px}
 
 这时有 $I \cdot r_2=r_2$ ．于是我们有

$$
r_2 \cdot I=I \cdot r_2 .
$$

可以发现，对于任意对称变换 $a$ 与恒等变换 $I$ ，都有 $a \cdot I=I \cdot a$ 成立．但是，对于集合 $D_3$ 中的其他变换，交换律并不一定成立．例如，从上面的例子中我们可以发现， $r_3 \cdot r_2 \neq r_2 \cdot r_3, r_2 \cdot \rho_1 \neq \rho_1 \cdot r_2$ ．

> **一般地，平面图形的对称变换的合成不满足交换律**．

我们知道，数的乘法满足结合律．那么，对称变换的合成是否也满足结合律呢？
我们先来看一个正三角形的例子．例如，先对正三角形做变换 $\left(\rho_1 \cdot r_2\right)$ ，再做 $r_1$ ，即

![图片](/uploads/2025-10/2244b9.jpg){width=300px}
  
我们有 $r_1 \cdot\left(\rho_1 \cdot r_2\right)=I$ ．
然后先对正三角形做变换 $r_2$ ，再做变换 $\left(r_1 \cdot \rho_1\right)$ ，即

![图片](/uploads/2025-10/e9e00e.jpg){width=300px}
 
 我们也有 $\left(r_1 \cdot \rho_1\right) \cdot r_2=I$ ．

由此可以得到

$$
r_1 \cdot\left(\rho_1 \cdot r_2\right)=\left(r_1 \cdot \rho_1\right) \cdot r_2 .
$$

再看正方形的对称变换是否满足结合律．
先对正方形做变换 $\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)$ ，再做变换 $\rho_3$ ，则

![图片](/uploads/2025-10/f393ea.jpg)
 
 于是我们得到 $\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)=\rho_3$ 。
若先对正方形做变换 $\rho_1$ ，再做变换 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right)$ ，那么

![图片](/uploads/2025-10/12b6e8.jpg)
 
 这时我们也得到 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1=\rho_3$ 。
所以

$$
\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)=\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1 .
$$

从上面的讨论，我们已经看到，$\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)$ 和 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1$ 对一个图形或一个点的作用都是对它先施行 $\rho_1$ ，再施行 $\rho_2$ ，最后再施行 $\rho_3$ ，因而 $\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)$ 和 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1$ 是完全一样的．

一般地，我们有：若 $m_1, m_2, m_3$ 是平面图形的 3 个对称变换，它们之间的合成满足结合律，即

$$
m_3 \cdot\left(m_2 \cdot m_1\right)=\left(m_3 \cdot m_2\right) \cdot m_1 \text {. }
$$

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