最后更新: 2025-10-19 17:44 查看: 30 次纠错评论(0) 课件开VIP

对称变换的逆变换

## 对称变换的逆变换
我们知道，互为倒数的两数之积等于 1 ；对数函数与指数函数互为反函数．对称变换是否也可以讨论类似的问题呢？

下面我们还是以正三角形的对称变换为例，来考察一下这个问题．
看一个例子。对正三角形先做变换 $\rho_2$ ，再做变换 $\rho_1$ ，我们有

$$
\rho_1 \cdot \rho_2=I
$$

![图片](/uploads/2025-10/5eb94e.jpg)
 
 如果对正三角形先做变换 $\rho_1$ ，再做变换 $\rho_2$ ，仍然有

$$
\rho_2 \cdot \rho_1=I .
$$

![图片](/uploads/2025-10/415927.jpg)
 
 因此我们有

$$
\rho_1 \cdot \rho_2=\rho_2 \cdot \rho_1=I .
$$

再看一个例子．若对正三角形连续做两次变换 $r_2$ ，即

![图片](/uploads/2025-10/0dd94a.jpg)
 
 可见对于正三角形，$r_2$ 与 $r_2$ 的合成等于恒等变换 $I$ ，即 $r_2 \cdot r_2=I$ ．
 
 一般地，如果一个对称变换 $a$ 与另一个对称变换 $b$ 的合成等于恒等变换 $I$ ，即

$$
b \cdot a=a \cdot b=I \text {, }
$$

我们就称 $b$ 为 $a$ 的**逆变换**（或 $a$ 为 $b$ 的逆变换），记作

$$
\left.a^{-1}=b \text { (或 } b^{-1}=a\right) \text {. }
$$

上面的例子说明，正三角形的旋转变换 $\rho_1$ 的逆变换是旋转变换 $\rho_2$ ，即 $\rho_1^{-1}=\rho_2$ ；反射变换 $r_2$ 的逆变换是它本身，即 $r_2^{-1}=r_2$ ．

现在我们来看看正方形的旋转变换 $\rho_1$ 是否有逆变换。
先把正方形绕其中心旋转 $90^{\circ}$ ，即对它做变换 $\rho_1$ ；为了使正方形重新回到原来的位置，再把它绕其中心旋转 $270^{\circ}$ ，即对它做变换 $\rho_3$ ．

![图片](/uploads/2025-10/85eb0f.jpg)
 
 类似地，我们有
 
 
 
  ![图片](/uploads/2025-10/c2aeed.jpg)
  
  所以 $\rho_1$ 的逆变换就是 $\rho_3$ ，即 $\rho_1^{-1}=\rho_3$ ．
  
  我们已经知道，两个对称变换 $a 、 b$ 的合成 $b \cdot a$ 仍然是一个对称变换．那么，这个对称变换的逆变换又是怎样的呢？由对称变换满足结合律，我们得到

$$
\begin{aligned}
\left(a^{-1} \cdot b^{-1}\right) \cdot(b \cdot a) & =a^{-1} \cdot\left(b^{-1} \cdot b\right) \cdot a \\
& =a^{-1} \cdot I \cdot a \\
& =a^{-1} \cdot a \\
& =I .
\end{aligned}
$$

因此，$b \cdot a$ 的逆变换是对称变换 $a^{-1} \cdot b^{-1}$ ．这个规则与我们熟悉的一些规则是类似的，例如在穿衣服时，我们总是先穿衬衣后穿外套；而在脱衣服时，我们会遵循正好相反的顺序，先脱外套后脱衬衣．

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