最后更新: 2025-10-19 17:50 查看: 522 次纠错评论(0) 课件开VIP

平面图形的对称群

## 平面图形的对称群
我们已经找到了正三角形所有的 6 个对称变换, 即

$$
D_3=\left\{I, r_1, r_2, r_3, \rho_1, \rho_2\right\},
$$

以及正方形所有的 8 个对称变换, 即

$$
D_4=\left\{I, r_1, r_2, r_3, r_4, \rho_1, \rho_2, \rho_3\right\} .
$$

这就是说, $D_3$ 和 $D_4$ 分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换.

一般地, 把一个平面图形 $K$ 的所有对称变换组成的集合记作 $S(K)$. 例如, 对于正三角形、正方形和正五边形, $S(K)$ 分别为 $D_3 、 D_4$ 和 $D_5$. 由于平面图形 $K$ 的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述, 所以 $S(K)$ 也就刻画了平面图形 $K$ 的全部对称性. 这样, 我们就把平面图形 $K$ 的直观对称用精确的数学语言一一集合 $S(K)$ 表示出来了. $S(K)$ 就是数学中用来刻画平面图形 $K$ 的对称的数学模型.

既然我们用集合 $S(K)$ 来刻画图形的对称, 很自然地, 我们希望尽可能多地了解 $S(K)$. 那么, $S(K)$ 中的元素到底有哪些性质呢? 它们之间会有怎样的关系呢? 下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明.

研究正三角形所有的对称变换组成的集合 $D_3$ 中元素之间的关系, 最基本的是看一看它们两两合成的结果. 为了方便, 我们可以用一个表来表示这种合成的结果 (表 1-1).

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108f1165d5.png)
表1-1

这个表称为 $D_3$ 的**乘法表**, 这是一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具.表格的第 1 行和第 1 列列出了 $D_3$ 的全部 6 个元素. 除了首行和首列外, 表格的其他部分由 6 行和 6 列组成. 表格的第 $(j+1)$ 列和第 $(i+1)$ 行交点处的元素是首行第 $j$ 个元素与首列第 $i$ 个元素的乘积. 因为对称变换的合成一般是不满足交换律的, 我们对于合成的次序必须有一个明确的规定. 习惯上,按照先做列变换, 再做行变换的次序得到这些合成的结果. 例如,表格的第 5 列和第 3 行交点处的元素是 $r_3$, 它是由 $r_1$ 和 $\rho_1$ 合成得到的，即 $\rho_1 \cdot r_1=r_3$.

> **探究** 根据表 1－1．中元素的特点，回答下面的问题：
（1）除了首行和首列外，每一行（或每一列）中的元素有什么特点？它们与 $D_3$ 有什么关系？
（2）第二行和第二列分别与第一行和第一列相等，表明对任意的 $m \in D_3, I \cdot m =m$ 且 $m \cdot I=m$ ．你能说明原因吗？
（3）每一行都有且只有一个恒等变换，表明任意给定一个 $m \in D_3$ ，存在唯一的 $m^{\prime}$ ，使得 $m \cdot m^{\prime}=I$ ；每一列都有只且有一个恒等变换，表明任意给定一个 $m \in D_3$ ，存在唯一的 $m^{\prime \prime}$ ，使得 $m^{\prime \prime} \cdot m=I . m^{\prime}$ 与 $m^{\prime \prime}$ 相等吗？根据表 1－1，你能求出 $D_3$ 中所有元素的逆变换吗？

**乘法表** 给了我们非常丰富的关于正三角形的对称变换集合 $D_3$ 的信息. 实际上, 我们在前面学过的 $D_3$ 的许多性质, 都可以从这个乘法表中得到.

例如, 从表格中可以看到, $D_3$ 中任意两个元素的乘积仍然在 $D_3$ 中, 也就是正三角形的任意两个对称变换的合成仍然是 $D_3$ 中的对称变换. 我们称 $D_3$ 的这个性质为正三角形的对称变换合成的**封闭性**.

表格关于主对角线（就是表格所在的长方形从左上到右下的对角线）不对称，说明对称变换的合成不满足交换律.

表格中每一行 (列) 的元素两两不同, 而且都包含了 $D_3$ 的所有元素. 这说明, 任意取 $D_3$ 中的一个元素 $m$, 它与 $D_3$ 中任意两个不同元素分别相乘, 所得的积不相等. 换句话说, 如果存在 $a, b \in D_3$, 使得 $m \cdot a=m \cdot b$ 或 $a \cdot m=b \cdot m$, 那么一定有 $a=b $.

下面我们来回答上面探究中的问题（2）与问题（3）．
对于（2），由于恒等变换 $I$ 使三角形保持不动，所以对于三角形的任意对称变换 $m, I \cdot m 、 m \cdot I$ 与 $m$ 对三角形的作用效果是一样的，即有

$$
I \cdot m=m \cdot I=m
$$

问题（3）中的 $m^{\prime}$ 与 $m^{\prime \prime}$ 是相等的，这是因为

$$
\begin{aligned}
m^{\prime} & =I \cdot m^{\prime} \\
& =\left(m^{\prime \prime} \cdot m\right) \cdot m^{\prime} \\
& =m^{\prime \prime} \cdot\left(m \cdot m^{\prime}\right) \\
& =m^{\prime \prime} \cdot I \\
& =m^{\prime \prime}
\end{aligned}
$$

所以 $m^{\prime}\left(m^{\prime \prime}\right)$ 就是 $m$ 的逆变换，这也说明 $D_3$ 中每个元素的逆变换都是唯一的．
正方形的所有对称变换组成的集合 $D_4$ 的乘法表如表 1－2 所示，请同学们通过画图或操作模型将表格填写完整．

![图片](/uploads/2025-10/bb2f6e.jpg)

## 总结
一般地, 对于一个平面图形 $K$ 的所有对称变换组成的集合 $S(K)$, 如果把变换之间的合成看作 $S(K)$ 上的一种运算, 记作 $\cdot $ , 那么这种运算都满足下述 4 条:

1. $S(K)$ 中任意两个变换合成的结果仍然在 $S(K)$ 中;
2. $S(K)$ 中存在恒等变换 $I$;
3. $S(K)$ 中任意一个变换的逆变换仍然在 $S(K)$ 中;
4. $S(K)$ 中的变换的合成满足结合律.
   如果把这 4 条性质用数学的语言表达出来, 我们得到:
   I. 对任意的 $m_1, m_2 \in S(K), m_1 \cdot m_2 \in S(K)$;
   II. $S(K)$ 中存在一个变换 $I$, 对任意的 $m \in S(K)$, 有 $I \cdot m=m \cdot I=m$;
   III. 对任意的 $m \in S(K)$, 存在变换 $m^{-1} \in S(K)$, 使得 $m \cdot m^{-1}=I=m^{-1} \cdot m$;
   IV. 对任意的 $m_1, m_2, m_3 \in S(K), m_3 \cdot\left(m_2 \cdot m_1\right)=\left(m_3 \cdot m_2\right) \cdot m_1$.
   这时, 我们把 $S(K)$ 连同它的运算 “. ” 称为平面图形 $K$ 的对称群, 记作 $(S(K), \cdot)$.
   因此, $\left(D_3, \cdot\right)$ 是正三角形的对称群, 有 6 个元素; $\left(D_4, \cdot\right)$ 是正方形的对称群, 有 8 个元素.

一般地, 正 $n$ 边形所有的对称变换和对称变换的合成 “ - ” 构成它的对称群, 称为**二面体群**, 记作 $\left(D_n, \cdot\right)$, 其中有 $2 n$ 个元素.
对于一个只有有限个对称变换的平面图形 $K$, 人们已经发现其对称群的类型只有下列 4 种:

1. 仅含有恒等变换;
2. 仅含有恒等变换和一个反射变换;
3. 含有 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$ ) 个旋转变换, 而没有反射变换（这样的对称群称为**循环群**）;
4. 含有 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$ ) 个旋转变换, 同时有 $n$ 个反射变换（这样的对称群称为**二面体群**).

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：对称变换的逆变换

下一篇：旋转变换与等距变换举例

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)