最后更新: 2025-10-19 17:50 查看: 449 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平面图形的对称群

## 平面图形的对称群
我们已经找到了正三角形所有的 6 个对称变换, 即

$$
D_3=\left\{I, r_1, r_2, r_3, \rho_1, \rho_2\right\},
$$

以及正方形所有的 8 个对称变换, 即

$$
D_4=\left\{I, r_1, r_2, r_3, r_4, \rho_1, \rho_2, \rho_3\right\} .
$$

这就是说, $D_3$ 和 $D_4$ 分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换.

一般地, 把一个平面图形 $K$ 的所有对称变换组成的集合记作 $S(K)$. 例如, 对于正三角形、正方形和正五边形, $S(K)$ 分别为 $D_3 、 D_4$ 和 $D_5$. 由于平面图形 $K$ 的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述, 所以 $S(K)$ 也就刻画了平面图形 $K$ 的全部对称性. 这样, 我们就把平面图形 $K$ 的直观对称用精确的数学语言一一集合 $S(K)$ 表示出来了. $S(K)$ 就是数学中用来刻画平面图形 $K$ 的对称的数学模型.

既然我们用集合 $S(K)$ 来刻画图形的对称, 很自然地, 我们希望尽可能多地了解 $S(K)$. 那么, $S(K)$ 中的元素到底有哪些性质呢? 它们之间会有怎样的关系呢? 下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明.

研究正三角形所有的对称变换组成的集合 $D_3$ 中元素之间的关系, 最基本的是看一看它们两两合成的结果. 为了方便, 我们可以用一个表来表示这种合成的结果 (表 1-1).

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108f1165d5.png)
表1-1

这个表称为 $D_3$ 的**乘法表**, 这是一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具.表格的第 1 行和第 1 列列出了 $D_3$ 的全部 6 个元素. 除了首行和首列外, 表格的其他部分由 6 行和 6 列组成. 表格的第 $(j+1)$ 列和第 $(i+1)$ 行交点处的元素是首行第 $j$ 个元素与首列第 $i$ 个元素的乘积. 因为对称变换的合成一般是不满足交换律的, 我们对于合成的次序必须有一个明确的规定. 习惯上,按照先做列变换, 再做行变换的次序得到这些合成的结果. 例如,表格的第 5 列和第 3 行交点处的元素是 $r_3$, 它是由 $r_1$ 和 $\rho_1$ 合成得到的，即 $\rho_1 \cdot r_1=r_3$.

> **探究** 根据表 1－1．中元素的特点，

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