最后更新: 2025-10-19 17:57 查看: 261 次纠错评论(0) 课件开VIP

置换与n元对称群Sn

## n元对称群$S_n$
上一讲, 我们通过画图或操作模型的方法, 研究了正三角形的对称群 $\left(D_3, \cdot\right)$,以及正方形的对称群 $\left(D_4, \cdots\right)$. 那么, 有没有其他方法表示正 $n$ 边形的对称变换呢?

前面我们曾经讨论过, 正 $n$ 边形的对称变换保持它的对称中心不动, 而把它的 $n$ 个顶点仍然映成顶点. 所以, 正 $n$ 边形的对称变换可以用在对称变换的作用下相应顶点的变换来表示.
例如, 表 2-1 列出了正三角形的对称变换、相应图形的变换和相应顶点的变换.

![图片](/uploads/2025-10/4d0af2.jpg)
 
（1）表示把三角形的项点 $1,2,3$分别对应到顶点 1 ， 2．3．即

$$\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow \\
1 & 2 & 3
\end{array}
$$
这样表示的一一对应在数学上称为**置换**（permutation）．与对称变换一样，我们通常用字母 $a$ ， $b, c$ 等来表示置换。

类似地, 正方形的对称变换 $\left\{I, r_1, r_2, r_3, r_4, \rho_1, \rho_2, \rho_3\right\}$ 也可以用数字 1,2 , 3,4 的相应置换来表示:

$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 3 & 2
\end{array}\right) \\
& \left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 1 & 2
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right) \\
&
\end{aligned}
$$

置换这种表示不仅仅是一种符号, 实际上定义了集合 $\{1,2,3, \cdots, n\} \quad\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$到自身的一个一一对应. $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个数的每一个置换都确定了集合 $\{1,2,3$, $\cdots, n\}$ 到自身的一个一一对应. 例如, 正三角形的对称变换所对应的置换是集合 $T_3=$ $\{1,2,3\}$ 到其自身的一一对应, 它们共有 $2 \times 3=6$ 个, 就是表 2-1 中的 6 个置换, 这是 $T_3$ 的全部置换. $T_3$ 的全部置换组成的集合记作 $S_3$.

正方形的对称变换所对应的置换是集合 $T_4=\{1,2,3,4\}$ 到其自身的一一对应,它们有 $2 \times 4=8$ 个, 但这只是 $T_4$ 的部分置换. 容易知道, $T_4$ 共有 $4 !=24$ 个置换. $T_4$ 的全部置换组成的集合记作 $S_4$.

`例`写出集合 $T_4=\{1,2,3,4\}$ 的所有置换.
**解**:  我们先用排序的方法写出 $T_4$ 所有的排列:
![图片](/uploads/2023-11/image_202311085c6ed1b.png)
![图片](/uploads/2023-11/image_202311082f161ca.png)
当置换第一行的顺序固定为 $1,2,3,4$ 的时候, 每一个排列就对应了一个置换. 所以这 24 个置换是:
![图片](/uploads/2023-11/image_202311082743ed0.png)
与对称变换的合成相对应, 我们可以定义置换的合成. 通常两个置换的合成也是按照从右到左的顺序, 先做一个置换, 再做另一个置换.

例如, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right)$ 的合成记作 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$, 由于 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 表示的对应是
![图片](/uploads/2023-11/image_2023110851e5a09.png)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right)$ 表示的对应是
![图片](/uploads/2023-11/image_202311086e4dda2.png)

我们规定, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 表示的对应是

![图片](/uploads/2023-11/image_202311085b79e50.png)

所以, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right)$.
可见, 两个置换的合成也是一个置换, 而且等于两个相应对称变换的合成所对应的置换 (请同学们自己举例验证).
像 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right)$ 这样, 把各数字都对应到它本身的置换称为恒等置换.
若两个置换 $a, b$ 的合成等于恒等置换, 即有

$$
a \cdot b=b \cdot a=I,
$$

那么我们称 $a, b$ **互为逆置换**.

`例` 求下列两个置换的合成．
（1）$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)$ ；
（2）$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)$ ．
解：（1）$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$ ；
（2）$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)$ ．

由本例题可以知道，置换的合成不满足交换律．
有了上面的准备，我们就能用置换来表示二面体群（ $D_n, \cdots$ ）了。
以正三角形为例，把表 2－1 中的 6 个置换组成的集合仍然记作 $D_3$ ，把置换之间的合成＂－＂看作 $D_3$ 上的一种运算，那么通过计算可以得到下述 $D_3$ 的乘法表（表 2－2）．

![图片](/uploads/2025-10/c4150d.jpg)
 
 想一想，上表能够由表 1－1 直接得到吗？
由表 2－2 容易验证下述 4 条是成立的：
I．对任意的 $m_1, m_2 \in D_3, m_1 \cdot m_2 \in D_3$ ；
II．$D_3$ 中存在恒等置换，满足对任意的 $m \in D_3, I \cdot m=m \cdot I=m$ ；
III．对任意的 $m \in D_3$ ，存在置换 $m^{\prime} \in D_3$ ，使得 $m \cdot m^{\prime}=I=m^{\prime} \cdot m$ ；
IV．对任意的 $m_1, m_2, m_3 \in D_3, m_3 \cdot\left(m_2 \cdot m_1\right)=\left(m_3 \cdot m_2\right) \cdot m_1$ ．
我们把置换集合 $D_3$ 连同它上面的运算＂－＂也称为对称群（ $D_3, \cdot$ ），这是正三角形的对称群的另外一种表示方式．

类似地，可以用置换表示正方形，正五边形，正六边形 $\cdots \cdots$ 正 $n$ 边形的对称群，从而得到二面体群 $\left(D_n, \cdot\right)(n \geqslant 3)$ 的另外一种表示方式．

一般地，$T_n=\{1,2, \cdots, n\}$ 共有 $n!$ 个置换，它们组成的集合记作 $S_n$ ．如果把置换之间的合成＂•＂看作 $T_n$ 上的一种运算，可以证明，下述 4 条是成立的：

I．$S_n$ 中任意两个置换合成的结果仍然在 $S_n$ 中；
II．$S_n$ 中存在恒等置换；
III．$S_n$ 中任意一个置换的逆置换仍然在 $S_n$ 中；

IV．$S_n$ 中置换的合成满足结合律．
因此，$\left\{S_n, \cdot\right\}$ 是 $T_n$ 的对称群，称为 **$n$ 元对称群**．

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