最后更新: 2025-10-19 15:22 查看: 451 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的概念

## 群的一般概念

在前文中, 我们已经定义了正 $n$ 边形的对称群 $\left(D_n, \cdot \right)$ 和 $n$ 元对称群 $\left(S_n, \cdot \right)$, 虽然它们有着背景完全不同的集合, 并且它们的运算的含义也不同, 但它们却有如下共同特点:

(1) 有一个非空集合;
(2) 在这个集合上定义了一个运算;
(3) 运算满足下列性质
①封闭性：集合中任意两个元素的合成还是集合中的元素；
②结合律：合成运算满足结合律；
③位元素：集合中具有一个类似恒等置换那样的元素；
④每个元素都有逆元素．

`例`（1）$G=\{-1,1\}$ 关于数的乘法运算满足上述条件。
（2）全体整数 $\mathbf{Z}$ 关于加法运算满足上述条件。
（3）全体正有理数关于数的乘法满足上述条件。
相信你自己也能学出类似的例子。因为，在数学中，带有一种运算并满足上述条件的非空集合很多。数学家们从这些具有不同背景的众多的例子当中，抽象出了一个重要的概念——**群**，不过我们先要引入一个二元运算。
 
### 二元运算
设 $G$ 是一个非空集合, $G$ 上的一个二元运算是指一个映射 “.”, 它把 $G$ 中的任意一个有序对 $(a, b)$ 都对应到 $G$ 中的一个元素, 我们把这个元素记作: $a \cdot b$, 例如:

$D_n$ 中对称变换的合成是 $D_n$ 上的二元运等;
$S_n$ 中置换的合成是 $S_n$ 上的二元运算;
整数的加法 $(+)$ 、减法 $(-)$ 和乘法 $\times$ 都是整数集 $\mathbf{Z}$ 上的二元运算, 这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数.

### 群Group

**定义** 设非空集合 $G$ 满足下述 4 个条件:

**I. $G$ 上有一个二元运算 “ $\cdot$ ”, 即对任意的 $a, b \in G$, 有 $a \cdot b \in G$;
II. $G$ 中有单位元 $I$, 对任意的 $a \in G, I \cdot a=a=a \cdot I$;
III. $G$ 中的每个元素都有逆元, 即对任意的 $a \in G$, 存在 $a^{\prime} \in G$,使得 $a \cdot a^{\prime}=I=a^{\prime} \cdot a$;
IV. $G$ 的乘法满足结合律, 即对任意的 $a, b, c \in G$, 有$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$;**

则 $(G, \cdot)$ 称为一个群 (group).

换句话说, 群就是一个非空集合. 这个集合有一个满足结合律的二元运算, 集合中有一个单位元, 集合中每一个元素都有一个逆元.

`例`正有理数集 $\mathbf{Q}^*$ 连同正有理数的乘法构成一个群, 记作 $\left(\mathbf{Q}^*, \cdot\right)$. 下面说明了 $\mathbf{Q}^*$ 满足群的 4 个条件.

解：
①二元运算。对任意的 $a,b \in \mathbf{Q}^*$ 有 $a \cdot b \in \mathbf{Q}^*$

②单位元. $1 \in \mathbf{Q}^*$

③逆元。对任意的 $a \in \mathbf{Q}^*$ ，存在 $a$ 的逆元 $\frac{1}{a} \in \mathbf{Q}^*$

④结合律 对任意的 $a, b, c \in \mathbf{Q}^*,(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$
  
`例` 整数集 $\mathbf{Z}$ 连同整数的加法构成一个群, 记作 $(\mathbf{Z},+)$.

解：
①二元运算 对任意的 $a, b \in \mathbf{Z}, a+b \in \mathbf{Z}$
②单位元 $0 \in \mathbf{Z}$
③逆元,  对任意的 $ a \in \mathbf{Z}$ 存在 $a$ 的逆元 $-a \in \mathbf{Z} $

④ 结合律. 对任意的 $ a, b, c \in \mathbf{Z},(a+b)+c=a+(b+c) $

> 习惯上，人们不仅把群的二元运算叫做＂乘法＂运算，而且也借用了过去数的乘法运算符号，但是们两点应该注意：
（1）虽然我们把这个二元运算称为＂乘法＂运算，但是它与数的乘法运算可以毫无关系，而且这里的运算符号＂$\cdot$＂也常常被省略；
（2）如果我们遇到的二元运算是过去熟悉的某种运等，例如加法运算，那么我们仍然选用传统的运等符号＂＋＂。

**总而言之，二元运算采用什么样的称呼，选用什么样的符号并不重要，重要的是它究竟是怎样运算的．这一点希望大家通过群的不同的例子，认真体会一下**．

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