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群论入门
群的概念
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更新:
2025-10-19 15:22
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群的概念
## 群的一般概念 在前文中, 我们已经定义了正 $n$ 边形的对称群 $\left(D_n, \cdot \right)$ 和 $n$ 元对称群 $\left(S_n, \cdot \right)$, 虽然它们有着背景完全不同的集合, 并且它们的运算的含义也不同, 但它们却有如下共同特点: (1) 有一个非空集合; (2) 在这个集合上定义了一个运算; (3) 运算满足下列性质 ①封闭性:集合中任意两个元素的合成还是集合中的元素; ②结合律:合成运算满足结合律; ③位元素:集合中具有一个类似恒等置换那样的元素; ④每个元素都有逆元素. `例`(1)$G=\{-1,1\}$ 关于数的乘法运算满足上述条件。 (2)全体整数 $\mathbf{Z}$ 关于加法运算满足上述条件。 (3)全体正有理数关于数的乘法满足上述条件。 相信你自己也能学出类似的例子。因为,在数学中,带有一种运算并满足上述条件的非空集合很多。数学家们从这些具有不同背景的众多的例子当中,抽象出了一个重要的概念——**群**,不过我们先要引入一个二元运算。 ### 二元运算 设 $G$ 是一个非空集合, $G$ 上的一个二元运算是指一个映射 “.”, 它把 $G$ 中的任意一个有序对 $(a, b)$ 都对应到 $G$ 中的一个元素, 我们把这个元素记作: $a \cdot b$, 例如: $D_n$ 中对称变换的合成是 $D_n$ 上的二元运等
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