最后更新: 2025-10-19 15:38 查看: 239 次反馈能力测评

有限群与直积

## 有限群与直积

**有限群** 即他的元素个数是有限的。

下面, 我们来看一个有限群的例子. 我们知道, 所有整数除以 3 得到的余数只有 3 个, 即 0,1 利 2 . 记

> **注意：下面这里的 0,1, 2 是借用来的新符号, 它们的含义与整数 0.1 .2 是完全不同的**

$$
\mathbf{Z}_3=\{0,1,2\}
$$

在集合 $\mathbf{Z}_3$ 上定义一个运算, 用 $\oplus$ 表示, 即对任意的 $a, b \in \mathbf{Z}_3$, 使 $a \oplus b=(a+b)$ 除以 3 得到的余数.按照这个运算，我们可以得到 $\mathbf{Z}_3$ 的乘法表 (习惯上也叫加法表):

![图片](/uploads/2025-10/cd488d.jpg){width=300px}

`例`验证 $\mathbf{Z}_3$ 和运算 $\oplus$ 构成一个群.
分析 : 只要验证 $\mathbf{Z}_3$ 连同运算 $\oplus$ 满足群的 4 个条件 $I \sim$ IV 即可. 这四个条件分别是

①封闭性：集合中任意两个元素的合成还是集合中的元素；
②结合律：合成运算满足结合律；
③位元素：集合中具有一个类似恒等置换那样的元素；
④每个元素都有逆元素．

解:
I. 由 $\mathbf{Z}_3$ 的加法表可知, $\mathbf{Z}_3$ 中任意两个元素的和仍然在 $\mathbf{Z}_3$ 中;
II. 因为$0 \oplus 1=1,1 \oplus 0=1,0 \oplus 2=2,2 \oplus 0=2,$ 所以 0 是 $\mathbf{Z}_3$ 的单位元;
III. 由 $1 \oplus 2=2 \oplus 1=0,0 \oplus 0=0$, 知 1 的逆元是 2,2 的逆元是 1,0 的逆元是 0 ;
IV. 容易验证, 对任意的 $a, b, c \in \mathbf{Z}_3,(a \oplus b) \oplus c=a \oplus(b \oplus c)$, 即运算 $\oplus$ 满足结合律
综上所述, $\mathbf{Z}_3$ 和运算 $\oplus$ 构成一个群 $\left(\mathbf{Z}_3, \oplus\right)$.

用类

免费注册看余下 70% 赞助本站

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布

开通会员海量试题不限下载， 99元/年

上一篇：群的概念

下一篇：群的应用1-群与装饰的对称性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)