最后更新: 2025-10-19 15:38 查看: 267 次纠错评论(0) 课件开VIP

有限群与直积

## 有限群与直积

**有限群** 即他的元素个数是有限的。

下面, 我们来看一个有限群的例子. 我们知道, 所有整数除以 3 得到的余数只有 3 个, 即 0,1 利 2 . 记

> **注意：下面这里的 0,1, 2 是借用来的新符号, 它们的含义与整数 0.1 .2 是完全不同的**

$$
\mathbf{Z}_3=\{0,1,2\}
$$

在集合 $\mathbf{Z}_3$ 上定义一个运算, 用 $\oplus$ 表示, 即对任意的 $a, b \in \mathbf{Z}_3$, 使 $a \oplus b=(a+b)$ 除以 3 得到的余数.按照这个运算，我们可以得到 $\mathbf{Z}_3$ 的乘法表 (习惯上也叫加法表):

![图片](/uploads/2025-10/cd488d.jpg){width=300px}

`例`验证 $\mathbf{Z}_3$ 和运算 $\oplus$ 构成一个群.
分析 : 只要验证 $\mathbf{Z}_3$ 连同运算 $\oplus$ 满足群的 4 个条件 $I \sim$ IV 即可. 这四个条件分别是

①封闭性：集合中任意两个元素的合成还是集合中的元素；
②结合律：合成运算满足结合律；
③位元素：集合中具有一个类似恒等置换那样的元素；
④每个元素都有逆元素．

解:
I. 由 $\mathbf{Z}_3$ 的加法表可知, $\mathbf{Z}_3$ 中任意两个元素的和仍然在 $\mathbf{Z}_3$ 中;
II. 因为$0 \oplus 1=1,1 \oplus 0=1,0 \oplus 2=2,2 \oplus 0=2,$ 所以 0 是 $\mathbf{Z}_3$ 的单位元;
III. 由 $1 \oplus 2=2 \oplus 1=0,0 \oplus 0=0$, 知 1 的逆元是 2,2 的逆元是 1,0 的逆元是 0 ;
IV. 容易验证, 对任意的 $a, b, c \in \mathbf{Z}_3,(a \oplus b) \oplus c=a \oplus(b \oplus c)$, 即运算 $\oplus$ 满足结合律
综上所述, $\mathbf{Z}_3$ 和运算 $\oplus$ 构成一个群 $\left(\mathbf{Z}_3, \oplus\right)$.

用类似的方法我们可以定义 $\left(\mathbf{Z}_n, \oplus\right)(n \in \mathbf{N} \cdot$, 且 $n \geqslant 2)$.

思考：我们定义“石头-剪刀-布”看看谁赢了得到一个结果，他们能否构成一个群？为什么

![img-text](/uploads/2025-04/05b69a.jpg){width=500px}

## 直积

从两个或多个已知群出发, 可以构造新的群. 设 $\left\{G_1, *\right\}$ 和 $\left\{G_2, \cdot\right\}$ 是两个群,有各自的乘法 $* ,\cdot$,  和单位元 $e$, $I$分别从集合 $G_1$ 和 $G_2$ 中任取一个元素, 组成所有可能的有序对

$$
\left(a_1, B_1\right),\left(a_2, B_2\right), \cdots,\left(a_n, B_n\right), \cdots .
$$

把所有这样的有序对组成的集合记作 $G_1 \times G_2$, 在 $G_1 \times G_2$ 上定义一个运算 $\otimes:$ 对于 $G_1 \times G_2$中任意两个元素 $\left(a_1, B_1\right),\left(a_2, B_2\right)$, 规定

$$
\left(a_1, B_1\right) \otimes\left(a_2, B_2\right)=\left(a_1 * a_2, B_1 \cdot B_2\right),
$$

也就是说, 对有序对的第一个分量作 $G_1$ 的运算 * , 对第二个分量作 $G_2$ 的运算 $\cdot$ 可以证明, $G_1 \times G_2$ 和运算 $\otimes$ 构成一个群, 称为 $G_1$ 和 $G_2$ 的**直积**也叫做**笛卡尔积** , 记作 $\left\{G_1 \times G_2\right.$, $\left.\otimes\right\}$, 它的单位元是 $(e, I)$.

现在, 我们就来看看 $\left(\mathbf{Z}_2, \oplus\right)$ 与 $\left(\mathbf{Z}_3, \oplus\right)$ 的直积作成的群 $\left(\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_3\right.$, $\left.\oplus\right)$ 是什么样子. 显然, $\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_3$ 中存 6 个元素, 即

$$
\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\} \text {. }
$$

用 $\otimes$ 表示 $\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_3$ 上的运算, 那么我们有

$$
\begin{aligned}
& (0,0) \otimes(0,1)=(0 \oplus 0,0 \oplus 1)=(0,1) ; \\
& (1,0) \otimes(0,2)=(1 \oplus 0,0 \oplus 2)=(1,2) ; \\
& (1,2) \otimes(1,1)=(1 \oplus 1,2 \oplus 1)=(0,0) ;
\end{aligned}
$$

由此可得 $\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_3$ 的乘法表 (表 2-3), 请同学们通过计算填写完整.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108c298a55.png)

### 利用直积可以构建庞大数据信息

假设我们有两类信息：

1.  **星期集合**：$ A = \{ \text{周一}, \text{周二}, \text{周三} \} $
2.  **节次集合**：$ B = \{ \text{第1节}, \text{第2节}, \text{第3节} \} $

现在，我们想知道“所有可能的上课时间点”。这其实就是求集合 $ A $ 和 $ B $ 的**直积**（笛卡尔积）。

**定义：** 直积 $ A \times B $ 是所有可能的有序对 $(a, b)$ 的集合，其中 $ a $ 来自 $ A $，$ b $ 来自 $ B $。

$$
A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \}
$$

**计算我们的课程表直积：**

$$
A \times B = 
{
(周一, 第1节), (周一, 第2节), (周一, 第3节),
(周二, 第1节), (周二, 第2节), (周二, 第3节),
(周三, 第1节), (周三, 第2节), (周三, 第3节)
}
$$

我们可以把这个直积的结果非常自然地排列成一个课程表：

|         | **第1节**      | **第2节**      | **第3节**      |
| :------ | :------------- | :------------- | :------------- |
| **周一** | (周一, 第1节)  | (周一, 第2节)  | (周一, 第3节)  |
| **周二** | (周二, 第1节)  | (周二, 第2节)  | (周二, 第3节)  |
| **周三** | (周三, 第1节)  | (周三, 第2节)  | (周三, 第3节)  |

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