最后更新: 2025-10-19 17:51 查看: 19 次纠错评论(0) 课件开VIP

旋转变换与等距变换举例

`例` 在平面上取定一点 $O$ ，用 $\rho_{\theta}$来表示旋转中心为 $O$ 、旋转角为 $\theta$ 的旋转变换．求 $\rho=\rho_{\theta_2} \rho_{\theta_1}$ ．

解：设 $P$ 是平面上任意一点，$\rho_{\theta_1}(P)=P^{\prime}, \rho_{\theta2} \left(P^{\prime}\right)=P^{\prime \prime}$

![图片](/uploads/2025-10/72166a.jpg){WIDTH=200PX}
 
 由变换合成运算的定义，我们有 $\rho(P)=P^{\prime \prime}$ ．
 
根据旋转变换的意义，$O P^{\prime}$ 是由 $O P$ 绕 $O$ 点旋转 $\theta_1$ 得到， $O P^{\prime \prime}$ 是由 $O P^{\prime}$ 绕 $O$ 点旋转 $\theta_2$ 得到，所以 $O P^{\prime \prime}$ 是由 $O P$ 绕 $O$ 点旋转 $\theta_1+\theta_2$ 得到．由此即得，

\boxed{
\rho=\rho_{\theta_2} \rho_{\theta_1}=\rho_{\theta_2+\theta_1} }
$$

我们把合成变换 $\sigma \sigma$ 简记为 $\sigma^2$ ．可以类似地定义：

$$
\sigma^m \sigma^n=\sigma^{m+n},\left(\sigma^m\right)^n=\sigma^{m n},
$$

其中 $m, n$ 为任意正整数．
容易看出，如果在平面上取定一条直线 $L, \sigma$ 是关于直线 $L$ 的轴反射变换，那么 $\sigma^2$ 一定是恒等变换．

## 等距变换

`例` 设 $u, v$ 是平面上两个非零向量，$t_v$ 表示以 $v$ 为平移向量的平移变换，$t_u$ 表示以 $\boldsymbol{u}$ 为平移向量的平移变换，求 $t=t_u t_v$ ．

解：设 $t_v(P)=P^{\prime}, t_u\left(P^{\prime}\right)=P^{\prime \prime}$（图 1－14）。
根据向是加法运算的意义，点 $P^{\prime \prime}$ 相当于 $P$ 点在平移变换 $t_{u+1}$ 下的象．

因为点 $P$ 是平面上任意一点，所以，

$$
t=t_u t_v=t_u+v
$$

![图片](/uploads/2025-10/bdec94.jpg)
 
 下而我们讨论等距变换合成运算的性质．
我们知道．数的乘法运算和加法运算都满足结合律．那么对于等距变换的合成运算而言，它是否也满足结合律？

设 $\sigma, \tau, \rho$ 是三个等距变换，$P$ 是平面上任意一点，则由等距变换合成运算的定义，我们有

$$
\begin{aligned}
\rho(\tau \sigma)(P) & =\rho(\tau \sigma(P))=\rho(\tau(\sigma(P))) \\
& =(\rho \tau)(\sigma(P))=(\rho \tau) \sigma(P)
\end{aligned}
$$

这说明

$$
\rho(\tau \sigma)=(\rho \tau) \sigma .
$$

这就是说，等距变換的合成运算满足结合律．
（II）若 $\sigma, \tau, \rho \in E(2)$ ，则 $\rho(\tau \sigma)=(\rho \tau) \sigma$ 。（结合律）

### 等距变换的交换律

`例`在平面上建立直角坐标系 $x O y$ ，设 $\sigma$ 是中心为 $O$ 角度为 $45^{\circ}$ 的旋转变换，$\tau$ 是关于 $y$ 轴的反射变换，设 $P$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，求点 $\sigma \tau(P), \tau \sigma(P)$ 的坐标．

解：根据变换 $\sigma$ 和 $\tau$ 的定义可知，点 $\sigma(P)$ 和 $\tau(P)$ 的坐标分别为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 和 $(-1,0)$ ．这样，$A=\tau \sigma(P)$ 和 $B=\sigma \tau(P)$ 的坐标分别为 $A\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 和 $B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$（图1－15）．

![图片](/uploads/2025-10/6f151f.jpg)

这个例子虽然简单，但是它却揭示了一个很重要的事实：等距变换的乘法不满足交换律．也就是说，一般情况下，$\sigma \tau \neq \tau \sigma$ 。

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