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附录2：刚体的不动点证明

## 附录2：刚体的不动点证明
**定义** 设 $m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$ 是一个平面刚体运动，若在平面 $\alpha$ 内至少存在一个点 $O$ ，点 $O$ 在 $m$ 的作用下保持不动，则称 $m$ 为有不动点的平面刚体运动．

通过前面的学习，我们已经知道旋转变换的对称中心是一个不动点，反射变换的对称轴上所有的点都是不动点．

还有哪些平面刚体运动具有不动点呢？利用平面几何的知识，我们可以对有不动点的平面刚体运动进行分类．

定理 设 $m$ ：平面 $\alpha \rightarrow$ 平面 $\alpha$ 是一个平面刚体运动，点 $O$ 是 $m$ 的一个不动点，那么 $m$ 或者是一个以点 $O$ 为中心的旋转变换，或者是一个关于过 $O$ 点的直线 $l$ 的反射变换．

证明：任取平面 $\alpha$ 上的两个点 $A 、 B$ ，使得 $A 、 B 、 O$ 不共线．为了叙述方便，不妨设 $O B$ 由 $O A$ 逆时针旋转一个小于 $180^{\circ}$ 的角得到．

设 $m$ 把 $A 、 B 、 O$ 分别映到 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 O^{\prime}$ 。根据附录一，$A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 O^{\prime}$ 的位置唯一确定了平面 $\alpha$ 上其他点在 $m$ 下的象，即完全确定了 $m$ ．

如图 2，如果 $A^{\prime}$ 已经确定，且 $O A^{\prime}$ 由 $O A$ 逆时针旋转 $\theta\left(0^{\circ} \leqslant \theta<360^{\circ}\right)$ 得到，则 $\triangle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime} \cong \triangle A O B$ ，所以 $B^{\prime}$ 的位置只能有 $B_1{ }^{\prime}$ 与 $B_2{ }^{\prime}$ 两种情况．

![图片](/uploads/2025-10/f1c6ea.jpg)
 
 （1）如果 $B^{\prime}=B_1{ }^{\prime}$ ，则 $\angle B O B^{\prime}=\theta$ ，即 $O B^{\prime}$ 由 $O B$ 逆时针旋转 $\theta$ 得到（图 3）．
在这种情况下，一个以 $O$ 点为中心逆时针转 $\theta$ 的旋转变换 $\rho_0$ 也把 $O, A, B$ 依次映射到 $O, A^{\prime}, B^{\prime}$ ，由附录一知 $m=\rho_\theta$ ．

![图片](/uploads/2025-10/ca6b3a.jpg)
 
 （2）如果 $B^{\prime}=B_2{ }^{\prime}$ ，则或者 $A^{\prime}$ 在 $\angle A O B$ 的外部（图 4）
 
  ![图片](/uploads/2025-10/d2c485.jpg)
  
  ，或者 $A^{\prime}$ 在 $\angle A O B$ 的内部 （图 5）．
   ![图片](/uploads/2025-10/63bc42.jpg)
   
   无论是哪一种情况，$O B^{\prime}$ 都由 $O A^{\prime}$ 顺时针旋转 $\angle A O B$ 得到．

作 $\angle A O A^{\prime}$ 的平分线 $l$ ，由于 $\angle A^{\prime} O B^{\prime}=\angle A O B$ ，所以 $l$ 也是 $\angle B O B^{\prime}$ 的平分线．
在这种情况下，一个关于直线 $l$ 的反射变换 $r_1$ 也把 $O, A, B$ 依次映射到 $O, A^{\prime}$ ， $B^{\prime}$ ，由附录一知 $m=r_l$ ．

综上所述，有不动点的平面刚体运动有且只有两种类型——旋转变换和反射变换．

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