最后更新: 2025-10-19 12:29 查看: 469 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的应用4-群与代数方程的可解析

## 群与代数方程的可解析

设有一个 $n$ 次代数方程

$$
f(x)=x^n+a_1 \cdot x^{n-1}+a_2 \cdot x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n,
$$

它的系数是给定的复数，那么这个方程必定有 $n$ 个根，这就是著名的**代数基本定理**．

德国数学家高斯（C．F．Gauss．1777－1855）在1799年给出了这个定理的第一个证明．后来的数学家陆续给出了许多种不同的证明，但是所有这些证明都是非构造性的．也就是说，只能证明根的存在性，无法给出求出根的方法．

当然，并不是对于所有的情况都无法给出根的求法．
一次代数方程的解是显然的．二次方程的解也很简单．数学史告诉我们，早在公元前 1700年左右，古巴比伦人就知道了二次方程的求根公式．但是三次方程的求根公式直到 3000年之后的 16 世纪初，才由意大利数学家费罗（S．Ferro，1465－1526）和塔塔利亚 （N．Tartaglia，1499－1557）先后独立得到，后米由卡当（G．Cardano，1501－1576）于1545年在他自己的著作中公布于世．后来人们把三次方程的求根公式称为**卡当公式**．

四次方程的求根公式和三次方程的求根公式儿乎同时发现．卡当的著作中就同时公布了四次方程的求根公式．这个公式是由卡当的学生费拉利（L．Ferrari，1522－1565）给出的．

解决了三、四次方程求根问题之后，数学家自然要考虑一般的五次或更高次的求解问题，也就是说，五次和五次以上的代数方程，它的解能否也通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算而得到．这就是方程是否可以根式解的问题．

但是，五次和五次以上的代数方程是否可以根式解的问题，在此后两百多年的时间里，尽管有无数杰出的数学家共同务力，始终没有能够解决．

让：我们简要追寻一下这个问题的主要研究历程．历史上无数数学家为此问题再贡献自己的力量。

``` 
－ 1770 年：拉格朗日详细考察了人们求解二、三、四次方程的方法，首次意识到五次及其以上方程求根公式可能不存在。虽然他未能证明自己的断言，但是，他提出的根的置换理论，揭示了问题的本质，也是这个问题最后解决所出现的曝光。

－1801年：高斯证明分圆多项式 $x^p-1$（ $p$ 为素数）可以用根式求解．这使得人们意识到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

－1824年：挪威的一位年青人阿贝尔证明了：五次代数方程通用的求根公式是不存在的．当然，结合高斯关于分圆多项式的结论，我们知道，接下来的问题是解决，如何判定具体的代数方程是否可根式解．这个问题阿贝尔并没有同答．

－ 1830 年：法国天才数学家伽罗瓦彻底解决了五次方程何时可以根式解的问题．可是他的结果一直没有能够发表．

－1846年：伽罗瓦死后 14 年，他的这一伟大成果发表，其中首次提出了群的概念，并最终利用群论解决了这个世界难题。

－1870年：法国数学家若尔当（C．Jordan，1838－1922）根据伽罗瓦罗瓦的思想撰写了《论置换与代数方程》一书，人们才真正领略了伽罗瓦的伟大思想。

```

如果要真正搞懂，伽罗瓦究竟是如何利用群论解决高次方程可根式解的问题，不仅需要一定的群论知识，还需要学习其他抽象代数的内容．

就是在今天，一个数学专业的学生，也要具备相当的代数学专门知识，才能理解伽罗瓦理论．在我们这一本入门中，当然不可能详论．

但是，我们还是想粗略地介绍一下伽罗瓦解决方程根式可解问题的基本思想。对于一个 $n$ 次代数方程

$$
f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n, ...(4.1)
$$

我们用 $F$ 来表示由这样一些数所组成的集合，这些数可以由方程的系数经过有限次加、减、乘、除运算所得到，我们称之为方程的**系数域**

例如，如果方程（4．1）的系数都是整数或者有理数，那么它的系数域 $F$ 就是全体有理数 $\mathbf{Q}$ ；而方程 $x^2+\sqrt{2} x+1=0$ 的系数域为 $F=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbf{Q}\}$ ．

设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ 是（4．1）的根．那么由这些根经
过有限次加、减、乘、除运算所得到的一切数的集合 $K$ ，我们称之为方程的**根域**

例如，方程 $x^2+1=0$ 的根域 $K=\{a+b i \mid a, b \in \mathbf{Q}\}$ ； ．而方程 $x^2+\sqrt{2} x+1=0$ 的根域为 $K=\{a+b \mathrm{i}+c \sqrt{2}+d \mathrm{i} \sqrt{2}\} a, b, c, d \in \mathbf{Q}\}$ ．

根据韦达定理，我们知道，**方程的系数一定可以由根经过有限次加、减、乘、除运算得到，所以系数域一定包含在根域之中**．当然，也有时候二者是相同的．

方程（4．1）的根域 $K$ 到自身的一个一一映射 $\sigma: K \rightarrow K$ 如果满足下列条件：
（1）$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), a, b \in K$ ；
（2）$\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b), a, b \in K$ ；
（3）$\sigma(c)=c, c \in F$ ；
就称 $\sigma$ 为方程（4．1）的根域的一个基本自同构。基本自同构的全体按照类似于变换的乘法可以构成一个群，叫做给定方程的伽罗瓦群，记为 $G$

利用基本自同构的性质可以直接证明，如果 $\xi$ 是原方程的一个根，那么 $\sigma(\xi)$ 也是该方程的一个根．这样，每个基本自同构就能诱导出方程根的一个置换．我们可以把 $G$ 所对应的那些根的置换所形成的群记为 $H$ ．那么我们知道，$H$ 是 $S_n$ 的子群．

当然，一般而言，并非根的每个置换都对应一个基本自同构，也就是一般情况下 $H$不会等于是 $S_n$ ．但是，的确存在一些高次方程，使得 $H=S_n$ ．这时候基本自同构与 $n$ 个根的置换之间完全是一一对应的。伽罗瓦正是利用这个对应关系以及 $S_n$ 的性质得到他著名的结果．

原来，在群论里有**可解群**这样一个概念 （一个群被称为可解的，若它拥有一个其商群皆为Abel群的正规列，具体请参考《高等代数》里内容）．

伽罗瓦证明，方程根式可解当且仅当上述伽罗瓦群 $G$ 是可解群，而 $G$ 是可解群当且仅当 $H$ 是可解群．这样，从理论上而言，方程是否根式可解的问题就完全清楚了，就是一个群论问题．

那么伽罗瓦是如何得出五次及其五次以上方程一定没有统一求根公式的呢？原来，他能给出这样的方程，这时候恰好有 $H=S_n$ ，而在群论里面很容易证明当 $n \geqslant 5$ 的时候 $S_n$ 不是一个可解群，而当 $n=1,2,3,4$ 的时候 $S_n$ 是可解群．这样，我们终于明白为什么 5 次方程是一个分水岭，原来是群的可解性在起作用．

现在我们再一次看到了群论的强大威力．当然这里我们无法给出可解群的定义．但是，相信这不会影响到我们对群论奇妙应用的领略，也不会减少我们对创造群论的天才数学家伽罗瓦的崇敬

## 伽罗瓦理论

上面对五次方程根的介绍用来和本文的  [序言：群主要讲解的是什么](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1595) 相呼应。

前面我们学习了对称与群的一些最基本的知识. 从中我们已经看到, 尽管群是现代数掌中一个非常抽象的概念, 但它与我们熟悉的身边事物以及学过的数学知识却有着非常密切的联系.

从“对称” 到对称群, 再到群, 从而得到一个精确的、具有普遍适用性的数学概念, 这是一个在错综复杂的现象中寻求共同结构的过程, 也是一个对事物认识不断深化的过程, 在数学的研究中, 这个过程具有代表性. 通过前面的学习, 你对这个过程是否有所感悟?

群是以高度抽象的形式给出的, 或许它已不像最初的“对称” 那么形象直观、生动活泼而富有吸引力, 但因为它从事物的结构特征刻画了其本质, 因此它的功能非常强大, 它不仅是数掌中的一个核心概念, 而且在物理、化学及艺术、建筑等领域都有广泛的应用.

数学学习的过程是一个渐进的过程, 对于像群这样抽象的概念, 更是需要循序浙进地思考、领悟, 并不断地反思、总结, 才能逐步领会其中的数学思想方法.

作为后续课程，理解群需要 线性代数或者 高等代数的只是，后续课程请参考本站其它教程。

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