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群的应用4-群与代数方程的可解析

## 群与代数方程的可解析

设有一个 $n$ 次代数方程

$$
f(x)=x^n+a_1 \cdot x^{n-1}+a_2 \cdot x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n,
$$

它的系数是给定的复数，那么这个方程必定有 $n$ 个根，这就是著名的**代数基本定理**．

德国数学家高斯（C．F．Gauss．1777－1855）在1799年给出了这个定理的第一个证明．后来的数学家陆续给出了许多种不同的证明，但是所有这些证明都是非构造性的．也就是说，只能证明根的存在性，无法给出求出根的方法．

当然，并不是对于所有的情况都无法给出根的求法．
一次代数方程的解是显然的．二次方程的解也很简单．数学史告诉我们，早在公元前 1700年左右，古巴比伦人就知道了二次方程的求根公式．但是三次方程的求根公式直到 3000年之后的 16 世纪初，才由意大利数学家费罗（S．Ferro，1465－1526）和塔塔利亚 （N．Tartaglia，1499－1557）先后独立得到，后米由卡当（G．Cardano，1501－1576）于1545年在他自己的著作中公布于世．后来人们把三次方程的求根公式称为**卡当公式**．

四次方程的求根公式和三次方程的求根公式儿乎同时发现．卡当的著作中就同时公布了四次方程的求根公式．这个公式是由卡当的学生费拉利（L．Ferrari，1522－1565）给出的．

解决了三、四次方程求根问题之后，数学家自然要考虑一般的五次或更高次的求解问题，也就是说，五次和五次以上的代数方程，它的解能否也通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算而得到．这就是方程是否可以根式解的问题．

但是，五次和五次以上的代数方程是否可以根式解的问题，在此后两百多年的时间里，尽管有无数杰出的数学家共同务力，始终没有能够解决．

让：我们简要追寻一下这个问题的主要研究历程．历史上无数数学家为此问题再贡献自己的力量。

``` 
－ 1770 年：拉格朗日详细考察了人们求解二、三、四次方程的方法，首次意识到五次及其以上方程求根公式可能不存在。虽然他未能证明自己的断言，但是，他提出的根的置换理论，揭示了问题的本质，也是这个问题最后解决所出现的曝光。

－1801年：高斯证明分圆多项式 $x^p-1$（ $p$ 为素数）可以用根式求解．这使得人们意识到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

－1824年：挪威的一位年青人阿贝尔证明了：五次代数方程通用的求根公式是不存在的．当然，结合高斯关于分圆多项式的结论，我们知道，接下来的问题是解决，如何判定具体的代

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