最后更新: 2024-11-28 09:41 查看: 250 次反馈刷题

向量单位化

## 向量长度的几何意义

如果 $ x$ 是属于 $R ^n$ 的向量，其分量为 $ x_1, \cdots,  x_n$ ，因为 $ x \cdot  x$ 是非负数，那么 $ x \cdot  x$ 的平方根有意义。

向量 $x$ 的长度的定义为

$$
\|  x \|=\sqrt{  x \cdot  x }=\sqrt{ x_1^2+ x_2^2+\cdots+ x_n^2} 
$$

### 二维向量长度的理解
假若 $ x$ 是 $R ^2$ 中的向量，且 $ x=\left[\begin{array}{l}4 \\5 \end{array}\right]$ 。如果我们将 $ x$ 与平面上的点 $(4, 5)$ 相对应，那么 $\| x\|$ 的值和平面内原点到点 $ x$ 的线段长度一致, 即$||x||=\sqrt{4^2+5^2}$

![图片](/uploads/2024-11/12182d.jpg){width=300px}

### 三维向量长度的理解
 假若 $ x$ 是 $R ^3$ 中的向量，且 $ x=\left[\begin{array}{l}5 \\8  \\3 \end{array}\right]$ ，如果我们将 $ x$ 与空间上的点 $(5, 8,3)$ 相对应，那么 $\| x\|$ 长度就是空间长方体对角形的长度，也就是$||x||=\sqrt{5^2+8^2+3^2}$
  ![图片](/uploads/2024-11/d3b64a.jpg){width=300px}

以此类推，可以得到$n$维向量的长度。

## 单位向量
长度为 1 的向量称为**单位向量**。如果把一个非零向量$v$除以自身的长度, 即乘 $\frac{1}{\|v\|}$, 就可以得到一个单位化的向量$u$。这个过程称为向量 $v$ 的单位化, 且此时 $u$ 和 $v$ 方向一致.

`例`若 $v=(1,-2,2,0)$, 找出和 $v$ 方向一致的单位向量 $u$.
解：首先计算向量 $v$ 的长度

$$
\|v\|^2=v \cdot v=(1)^2+(-2)^2+(2)^2+(0)^2=9,\|v\|=\sqrt{9}=3
$$

对 $v$ 乘 $\frac{1}{\| v \|}$ 得到

$$
u=\frac{1}{\|v\|} v=\frac{1}{3} v=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
2 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 / 3 \\
-2 / 3 \\
2 / 3 \\
0
\end{array}\right]
$$
为验证 $\| u \|=1$, 只需验证 $\| u \|^2=1$.

$$
\|u\|^2=u \cdot u=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+(0)^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+0=1
$$

`例`设 $W$ 是 $R ^n$ 的子空间且由向量 $x=\left(\frac{2}{3}, 1\right)$ 生成, 求出一个单位向量 $z$ 且 $z$ 构成 $W$ 的一个基.

解： 空间 $W$ 包含所有 $x$ 数倍的向量, 如图所示. $W$ 中的任意非零向量都是 $W$ 的基. 为简化计算, 重新 "标度" $x$ 以消去分数。即向量 $x$ 乘 3 得到 $y =\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]$, 现在计算 $\| y \|^2=2^2+3^2=13$, $\|y\|=\sqrt{13}$. 把向量 $y$ 单位化可得:
 ![图片](/uploads/2024-11/1a073c.jpg){width=200px}
 $$
z=\frac{1}{\sqrt{13}}\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{2}{\sqrt{13}} \\
\frac{3}{\sqrt{13}}
\end{array}\right]
$$
 
 见下图 另外一个单位向量是 $(-2 / \sqrt{13},-3 / \sqrt{13})$.
  ![图片](/uploads/2024-11/7a0e48.jpg){width=200px}

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