最后更新: 2025-08-26 06:50 查看: 347 次反馈同步训练

向量单位化

## 向量长度的几何意义

如果 $ x$ 是属于 $R ^n$ 的向量，其分量为 $ x_1, \cdots,  x_n$ ，因为 $ x \cdot  x$ 是非负数，那么 $ x \cdot  x$ 的平方根有意义。

向量 $x$ 的长度的定义为

$$
\|  x \|=\sqrt{  x \cdot  x }=\sqrt{ x_1^2+ x_2^2+\cdots+ x_n^2} 
$$

### 二维向量长度的理解
假若 $ x$ 是 $R ^2$ 中的向量，且 $ x=\left[\begin{array}{l}4 \\5 \end{array}\right]$ 。如果我们将 $ x$ 与平面上的点 $(4, 5)$ 相对应，那么 $\| x\|$ 的值和平面内原点到点 $ x$ 的线段长度一致, 即$||x||=\sqrt{4^2+5^2}$

![图片](/uploads/2024-11/12182d.jpg){width=300px}

### 三维向量长度的理解
 假若 $ x$ 是 $R ^3$ 中的向量，且 $ x=\left[\begin{array}{l}5 \\8  \\3 \end{array}\right]$ ，如果我们将 $ x$ 与空间上的点 $(5, 8,3)$ 相对应，那么 $\| x\|$ 长度就是空间长方体对角形的长度，也就是$||x||=\sqrt{5^2+8^2+3^2}$
 
  ![图片](/uploads/2025-08/c0ec0e.jpg)

以此类推，可以得到$n$维向量的长度。

$||x||=\sqrt{ x_1^2+ x_2^2+\cdots+ x_n^2} $

## 单位向量
**模长（长度）为 1 的向量称为单位向量**。如果把一个非零向量$v$除以自身的长度, 即乘 $\frac{1}{\|v\|}$, 就可以得到一个单位化的向量$u$。这个过程称为向量 $v$ 的单位化, 且此时 $u$ 和 $v$ 方向一致.
即：单位化公式
$$
\boxed{
u=\frac{1}{\|v\|} v ...\text{(向量单位化公式)}
}
$$

> 注意：向量模长就是向量的长度，既然是长度，所以他的值总是正的。

另外，规定零向量的模长为零。

`例`若 $v=(1,-2,2,0)$,

其他版本
【高等数学】空间向量与空间坐标系【高等数学】数量场与向量场

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：向量的外积

下一篇：向量间距离

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)