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线性代数
第六篇 向量内积与矩阵正交化
向量间距离
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2024-11-28 09:48
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向量间距离
## 向量间距离 在初中学习过绝对值，数轴上两个点的距离，可以用绝对值表示。 即两点的距离 $d=|x_2-x_1|$ 比如$A=1,B=-2$,则$|AB|=|1-(-2)|=3$ {width=300px} 同样，可以定义两个向量间的距离，但是通常成为**距高**。 $R ^n$ 中向量 $u$ 和 $v$ 的距高, 记作 $\operatorname{dist}(u, v)$, 表示向量 $u-v$ 的长度, 即 $$ \operatorname{dist}(u, v)=\|u-v\| $$ ## 例题 `例` 计算向量 $u =(7,1)$ 和 $v =(3,2)$ 之间的距离。 解 先计算 $u - v =\left[\begin{array}{l}7 \\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}4 \\ -1\end{array}\right]$, 则有 $\| u - v \|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$. 向量 $u, v$ 和 $u-v$ 如图所示，向量 $u-v$ 加上向量 $v$ 的结果是向量 $u$. 注意到图中的平行四边形表明，从向量 $u$ 到 $v$ 的距离与向量 $u-v$ 到 0 的距离相等. {width=380px} `例` 如果 $u=\left(u_1, u_2, u_3\right)$ 和 $v=\left(v_1, v_2, v_3\right)$, 那么 $$ \operatorname{dist}(u, v)=\|u-v\|=\sqrt{(u-v) \cdot(u-v)}=\sqrt{\left(u_1-v_1\right)^2+\left(u_2-v_2\right)^2+\left(u_3-v_3\right)^2} $$
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