最后更新: 2025-04-14 09:07 查看: 327 次反馈刷题

阅读：待定系数法及其应用

待定系数法是一种重要的数学方法．本节将在进一步说明待定系数法的意义和原理，以及它在代数里的其它应用．
## 待定系数法及其根据
先从我们已经熟悉的具体例子谈起.
`例`试求 $f(x)=4 x^3+7 x^2+6 x+2$ 除以 $g(x)=x^2+1$ 的商式和余式.
解: 由多项式除法可知, 其商式必定是一次式, 其余式至多是一次式. 因而可设商式 $Q(x)=a x+b$, 余式 $R(x)=c x+d$. 由除法恒等式, 可得

$$
4 x^3+7 x^2+6 x+2=(a x+b)(x 2+1)(c x+d)
$$

即: $4 x^3+7 x^2+6 x+2=a x^3+b x^2+(a+c) x b+d$
比较两边同类项系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=4 \\
b=7 \\
a+c=6 \\
b+d=2
\end{array}\right.
$$

解这个方程组，得

$$
a=4, \quad b=7, \quad c=2, \quad d=-5
$$

因此, $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的商式 $Q(x)$ 、余式 $R(x)$ 分别为:

$$
Q(x)=4 x+7, \quad R(x)=2 x-5
$$

`例`  已知多项式 $a x^3+b x^2+c x+d$ 能被 $x^2+p$ 整除, 求证: $a d=b c$.

分析：只要根据已知条件，设法建立恒等关系，从中找出已知系数 $a, b, c, d$ 之间的关系，就可达到目的。
证明：由于三次多项式 $a x^3+b x^2+c x+d$ ，能被二次式 $x^2+p$ 整除，因而，其商式必为一次式，不妨设商式为 $m x+n(m, n$ 为待定系数）。这样，可以得出恒等式：

$$
a x^3+b x^2+c x+d=(m x+n)\left(x^2+p\right)
$$

即: $a x^3+b x^2+c x+d=m x^3+n x^2+p m x+p n$
比较等式两边同类项的系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=m  ...(7.3)\\
b=n  ...(7.4)\\
c=p m  ...(7.5)\\
d=p n  ...(7.6)
\end{array}\right.
$$

利用这个方程组, 消去待定系数 $m, n$ 和已知系数 $p$, 就可以找出 $a, b, c, d$ 的关系。

将 (7.3), (7.4) 分别代人 (7.5), (7.6); 再由 (7.5), (7.6) 可得:

$$
\begin{aligned}
& \quad \frac{c}{a}=m=\frac{d}{b} \\
& \therefore \quad a d=b c
\end{aligned}
$$

象以上例题的解题方法, 叫做待定系数法 (或叫未定系数法), 这个方法的特点是引进待定系数（未知的），列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据多项式恒等的性质，比较等式两边的同类项系数，得出一个方程组。解这个方程组，求出待定系数，或消去待定系数而找出原来已知系数之间所存在的关系，使问题得以解决。

这个方法的主要根据是两个多项式恒等的性质, 即
### 定理
如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的同类项系数都一定对应相等。
也就是说, 如果

$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0
$$

那么, $a_n=b_n, a_{n-1}=b_{n-1}, \ldots, a_1=b_1, a_0=b_0$
证明：由于 $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \equiv b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0$
移项，合并同类项可得：

$$
\left(a_n-b_n\right) x^n+\left(a_{n-1}-b_{n-1}\right) x^{n-1}+\cdots+\left(a_1-b_1\right) x+\left(a_0-b_0\right) \equiv 0
$$

所以, $a_n=b_n, a_{n-1}=b_{n-1}, \ldots, a_1=b_1, a_0=b_0$

## 待定系数法的应用
待定系数法在代数上有许多应用, 除我们已经学习过的 "求商式及余式、分解因式、寻求方程的根与系数的关系" 等内容外，以下将学习另外一些应用. 从中进一步领会这个方法的要点和重要。
（一）把多项式表示成另一个多项式的各次幂的形式
在代数中, 有时需要将一个多项式, 表示成次数较低的另一个多项式的各次幂的形式.

`例` 试用 $(x-1)$ 的各次幂表示出多项式 $2 x^3-x^2+2 x+3$
解: 设 $2 x^3-x^2+2 x+3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$ 因此:

$$
\begin{aligned}
& 2 x^3-x^2+2 x+3 \\
& \quad=a x^3-3 a x^2+3 a x-a+b x^2-2 b x+b+c x-c+d
\end{aligned}
$$

即: $2 x^3-x^2+2 x+3=a x^3+(b-3 a) x^2+(3 a-2 b+c) x-a+b-c+d$比较两边同类项系数, 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
a=2 \\
b-3 a=-1 \\
3 a-2 b+c=2 \\
-a+b-c+d=3
\end{array}\right.
$$

解这个方程组，得

$$
a=2, \quad b=5, \quad c=6, \quad d=6
$$

因此, $2 x^3-x^2+2 x+3=2(x-1)^3+5(x-1)^2+6(x-1)+6$

其实, 这类问题如果用换元法变形, 会更简便. 这就是:

设 $x-1=y$, 则 $x=y+1$, 代入原多项式中, 得

$$
\begin{aligned}
2 x^3-x^2+2 x+3 & =2(y+1)^3-(y+1)^2+2(y+1)+3 \\
& =2 y^3+6 y^2+6 y+2-y^2-2 y-1+2 y+2+3 \\
& =2 y^3+5 y^2+6 y+6
\end{aligned}
$$

再将原设 $x-1=y$ 代人上式右边, 得:

$$
2 x^3-x^2+2 x+3=2(x-1)^3+5(x-1)^2+6(x-1)+6
$$

## 求多项式与求方程的解
如果给出 $n$ 次多项式在 $x$ 取 $n+1$ 个不同数值时所对应的值, 就可以用待定系数法求出这个多项式的表达式, 进而还可以求出其它值.

解:
例 7.15 已知 $f(1)=-1, f(2)=4, f(3)=-3$, 试求二次多项式 $f(x)$ 的表达式以及 $f(10)$ 。
解: 设 $f(x)=a x^2+b x+c$, 则由已知条件可知:

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(1)=a+b+c=-1 \\
f(2)=4 a+26+c=4 \\
f(3)=9 a+36+c=-3
\end{array}\right.
$$

解这个方程组，得 $a=-6, \quad b=23, \quad c=-18$.
因此, 所求二次多项式为

$$
\begin{aligned}
f(x) & =-6 x^2+23 x-18 \\
f(10) & =-388
\end{aligned}
$$

如果给出一元三次或四次方程的一个或两个根，那么用除法可以得到一个一元二次方程, 进而求出其余的两个根. 这样的方程也可以利用待定系数法来解.

`例`   已知方程 $x^4-9 x^2+12 x-4=0$ 有两个根 1 与 2 , 试求这个方程的另两个根。

分析：由于 1 与 2 是已知方程的两个根，根据余式定理的推论可知， $x^4-9 x^2+$ $12 x-4$ 含有因式 $(x-1)(x-2)$. 又因为 $x^4-9 x^2+12 x-4$ 的首项系数是 1 ,所以可设它的另一个因式是 $x^2+a x+b$. 其中 $a, b$ 是待定系数.
解: 由已知可设 $x^4-9 x^2+12 x-4=(x-1)(x-2)\left(x^2+a x+b\right)$
在以上恒等式中, 分别取 $x=0,-1$, 得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
-4=26 \\
-24=6(1-a+b)
\end{array}\right.
$$

解这个方程组, 得 $b=-2, \quad a=3$.
再解方程 $x^2+3 x-2=0$, 得: $x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$
因此，原方程的另两个根是 $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.
如果给出一元三次或四次方程的根有某种给定的关系，那么，利用方程的根与系数间的关系, 余式定理的推论等, 就可以解所给的方程, 这样的方程也可以用待定系数法来解.

`例`   已知方程: $2 x^3-3 x^2-8 x+12=0$ 有两个互为相反数的根. 试求这个方程的所有的根.

解: 由已知, 可设所给方程的根为: $a,-a, b$. 根据余式定理推论, 则有

$$
\begin{aligned}
2 x^3-3 x^2-8 x+12 & =2(x-a)(x+a)(x-b) \\
& =2 x^3-2 b x^2-2 a^2 x+2 a^2 b
\end{aligned}
$$

比较等式两边同类项的系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
-3=-2 b  ...(7.7)\\
-8=-2 a^2 ...(7.8)\\
12=2 a^2 b ...(7.9)
\end{array}\right.
$$

由 (7.7), (7.8) 解出: $a= \pm 2, \quad b=\frac{3}{2}$. 代入 (7.9) 都能够适合. 所以, 原方程的根是 $2,-2, \frac{3}{2}$.

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