最后更新: 2025-04-14 09:07 查看: 551 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：待定系数法及其应用

待定系数法是一种重要的数学方法．本节将在进一步说明待定系数法的意义和原理，以及它在代数里的其它应用．
## 待定系数法及其根据
先从我们已经熟悉的具体例子谈起.
`例`试求 $f(x)=4 x^3+7 x^2+6 x+2$ 除以 $g(x)=x^2+1$ 的商式和余式.
解: 由多项式除法可知, 其商式必定是一次式, 其余式至多是一次式. 因而可设商式 $Q(x)=a x+b$, 余式 $R(x)=c x+d$. 由除法恒等式, 可得

$$
4 x^3+7 x^2+6 x+2=(a x+b)(x 2+1)(c x+d)
$$

即: $4 x^3+7 x^2+6 x+2=a x^3+b x^2+(a+c) x b+d$
比较两边同类项系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=4 \\
b=7 \\
a+c=6 \\
b+d=2
\end{array}\right.
$$

解这个方程组，得

$$
a=4, \quad b=7, \quad c=2, \quad d=-5
$$

因此, $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的商式 $Q(x)$ 、余式 $R(x)$ 分别为:

$$
Q(x)=4 x+7, \quad R(x)=2 x-5
$$

`例`  已知多项式 $a x^3+b x^2+c x+d$ 能被 $x^2+p$ 整除, 求证: $a d=b c$.

分析：只要根据已知条件，设法建立恒等关系，从中找出已知系数 $a, b, c, d$ 之间的关系，就可达到目的。
证明：由于三次多项式 $a x^3+b x^2+c x+d$ ，能被二次式 $x^2+p$ 整除，因而，其商式必为一次式，不妨设商式为 $m x+n(m, n$ 为待定系数）。这样，可以得出恒等式：

$$
a x^3+b x^2+c x+d=(m x+n)\left(x^2+p\right)
$$

即: $a x^3+b x^2+c x+d=m x^3+n x^2+p m x+p n$
比较等式两边同类项的系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=m  ...(7.3)\\
b=n  ...(7.4)\\
c=p m  ...(7.5)\\
d=p n  ...(7.6)
\end{array}\right.
$$

利用这个方程组, 消去待定系数 $m, n$ 和已知系数 $p$, 就可以找出 $a, b, c, d$ 的关系。

将 (7.3), (7.4) 分别代人 (7.5), (7.6); 再由 (7.5), (7.6) 可得:

$$
\begin{aligned}
& \quad \frac{c}{a}=m=\frac{d}{b} \\
& \therefore \quad a d=b c
\end{aligned}
$$

象以上例题的解题方法, 叫做待定系数法 (或叫未定系数法), 这个方法的特点是引进待定系数（未知的），列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据多项式恒等的性质，比较等式两边的同类项系数，得出一个方程组

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：阅读：第一次数学危机

下一篇：阅读：用计算机计算等式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)