最后更新: 2024-11-09 06:16 查看: 117 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

*第一次数学危机

无理数的产生被称为数学历史上第一次数学危机。

第一次数学危机被称为[无理数危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1460) 
第二次数学危机被称为[无穷小危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=280) 
第三次数学危机被称为[集合论危机](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1284)

### 一、背景

第一次数学危机发生在大约公元前400年左右的古希腊时期，主要涉及毕达哥拉斯学派及其数学观念。毕达哥拉斯学派是一个唯心主义学派，认为“万物皆数”（指整数），即数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。该学派主张数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。然而，随着数学研究的深入，特别是无理数的发现，这一观念受到了严重挑战。

### 二、产生

1. **无理数的发现**：

* 毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯在研究中发现，等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约，即它们的比值不是有理数。这一发现违背了毕达哥拉斯学派的信条，即一切量都可以用有理数表示。
	* 同时，古希腊著名哲学家芝诺提出的四条悖论（二分法、阿基里斯永远追不上乌龟、飞矢不动、运动场）也从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

2. **毕达哥拉斯学派的反应**：

* 面对无理数的发现，毕达哥拉斯学派内部产生了严重的分歧和混乱。
	* 希帕索斯因为这一发现而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚，这反映了当时数学界对于无理数的恐惧和排斥。

### 三、解决

1. **无理数的定义与接受**：

* 公元前370年左右，柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题。他提出了处理不可公度量的办法，为无理数的定义和接受奠定了基础。
	* 攸多克萨斯的解决方案被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录，并与现代对于无理数的解释基本一致。

2. **数学观念的变化**：

* 第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。
	* 整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
	* 危机也反映出直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。

### 四、影响

1. **推动了数学的发展**：

* 第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，推动了数学研究的深入。
	* 危机导致了公理几何与逻辑的产生，为数学的发展开辟了新的道路。

2. **改变了数学界的观念**：

* 危机使数学界开始认识到数学中存在着无法用有理数表示的量（即无理数），从而打破了整数在数学中的独尊地位。
	* 危机也促使数学家们开始关注数学基础的严密性，推动了数学逻辑的发展。

综上所述，第一次数学危机是数学史上的一次重要事件，它推动了数学的发展，改变了数学界的观念，并为后来的数学研究奠定了坚实的基础。

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