最后更新: 2025-04-14 09:06 查看: 382 次反馈刷题

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## 辗转相除法

设一元多项式$f(x)$与$g(x)$，如果$f(x)$的次数高于$g(x)$的次数．那么就用$g(x)$去除$f(x)$，得商$q_1(x)$，余$r_1(x)$．因而有：
 $f(x)=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x) $
其中：$r_1(x)$的次数低于$g(x)$的次数，或为0．

所以，可得以下事实：

如果$r_1(x)=0$，那么$f(x)=q_1(x)\cdot g(x)$，这时必有：$(f(x),g(x))=g(x)$．如：
    
 由$x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)$，$\therefore\quad (x^3-1,x-1)=x-1$．

如果$r_1(x)\ne 0$，那么由$f(x)=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x)$与$r_1(x)=f(x)-q_1(x)\cdot g(x)$可以知道：
 $(f(x),g(x))=(g(x),r_1(x)) $

这就是说：求$(f(x),g(x))$的问题，可以换成求次数较低的多项式$g(x)$与$r_1(x)$的最高公因式问题．

假如还嫌$g(x)$与$r_1(x)$的次数高，不易求得最高公因式，就可重复以上步骤，用$r_1(x)$去除$g(x)$，得到商式$q_2(x)$与余式$r_2(x)$，且有
 $g (x) =q_2 (x) \cdot r_1 (x) +r_2 (x)  $
其中，$r_2(x)$的次数又比$r_1(x)$的次数低，或等于0．

这时，若$r_2(x)=0$，则$(g(x),r_1(x))=r_1(x)$，从而$(f(x),g(x))=(g(x), r_1(x)) =r_1 (x)$．

若$r_2(x)\ne 0$，则与前边同理可有：
$$(r_1 (x), r_2(x))=(g(x),r_1(x))$$
从而就应有：
 $( f (x) ,g (x) ) = (g (x) ,r_1 (x))=(r_1(x),r_2(x)) $
这里$r_2(x)$的次数又比$g(x)$, $r_1(x)$的次数低了．

这样逐步地运用除法，就可以把所求两个多项式的最高公因式问题，转换成求两个次数较低的多项式的最高公因式问题．直到最后，自然就会求得$(f(x),g (x) )$．

这种方法，同样叫辗转相除法．

#### 例题
如果$f(x)=x^4+x^3-2$, $g(x)=x^3-1$，试求$(f(x),g(x))$．

先求$f(x)$除以$g(x)$的商及余：
 ![图片](/uploads/2024-04/dbb15e.jpg)
 
$\therefore\quad f(x)=(x+1)\cdot g(x)+(x+1)$，并且
$(f(x),g(x))=(g(x), (x-1))$．

再求$g(x)$除以$x-1$的商及余．
 ![图片](/uploads/2024-04/4addc3.jpg)
 
 $\therefore\quad g(x)=(x^2+x+1)(x-1)$，并且
$(g(x),x-1)=x-1$．

所以：$(f(x),g(x))=(g(x),(x-1))=x-1$，即：
$(f(x),g(x))=x-1$．

## 分式代数式加减

#### 例题
约简 $\frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}$
解：用辗转相除法求得:
$$
\left(x^4-2 x^3+x-2, x^4+x^2+1\right)=x^2-x+1
$$

用除法求得
$$
\begin{aligned}
& x^4-2 x^3+x-2=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-x-2\right) \\
& x^4+x^2+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \\
& \therefore \quad \frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-x-2}{x^2+x+1}
\end{aligned}
$$

#### 例题
先把下面的分式化简，再求它的值．
$F(x)=\frac{-1-x^3}{2x^2-2x+2},\qquad \text{其中 } x=5  $

解：
$$
\begin{aligned}
F(x) & =\frac{-\left(x^3+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)} \\
& =-\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}=-\frac{x+1}{2} \\
F(5) & =-\frac{5+1}{2}=-3
\end{aligned}
$$

#### 例题
化简: $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
分析: $\because a-c=-(c-a), \quad b-a=-(a-b), \quad c-b=-(b-c)$,
$$
\therefore \quad(a-c, b-a, c-b)=(a-b)(b-c)(c-a) .
$$

解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =-\frac{1}{(a-b)(c-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)} \\
& =\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =0
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算 $\frac{a^3}{a-1}-a^2-a-1$
分析： $-a^2-a-1=-\left(a^2+a+1\right)$. 一个分式和一个整式的代数和，可以把整式 $a^2+a+1$ 当作 $\frac{a^2+a+1}{1}$.
解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{a^3}{a-1}-\frac{a^2+a+1}{1} \\
& =\frac{a^2}{a-1}-\frac{\left(a^2+a+1\right)(a-1)}{a-1} \\
& =\frac{a^3-\left(a^3-1\right)}{a-1} \\
& =\frac{1}{a-1}
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算: $\frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}+\frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}$
分析：由余式定理得 $x-1$ 是第一个分式的分子、分母的公因式，将此分式约简:
$$
\frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)\left(x^3+x^2+2 x\right)}=\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x}
$$

由余式定理得 $2 x-1$ 是第二个分式的分子、分母的公因式，将此分式约简:
$$
\frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}=\frac{(x+2)(2 x-1)}{(2 x-1)\left(x^2+x+2\right)}=\frac{x+2}{x^2+x+2}
$$

解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x}+\frac{x+2}{x^2+x+2} \\
& =\frac{x+1}{x\left(x^2+x+2\right)}+\frac{x(x+2)}{x\left(x^2+x+2\right)} \\
& =\frac{x^2+3 x+1}{x\left(x^2+x+2\right)}
\end{aligned}
$$

#### 例题
已知 $a+b+c=0$, 求证: $\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=0$
分析：利用已知条件 $a+b+c=0$, 使各个分母化简.
证明：由于：
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{b^2+c^2-(b+c)^2}=-\frac{1}{2 b c} \\
& \frac{1}{c^2+a^2-b^2}=\frac{1}{c^2+a^2-(c+a)^2}=-\frac{1}{2 a c} \\
& \frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{a^2+b^2-(a+b)^2}=-\frac{1}{2 a b}
\end{aligned}
$$

因此:
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2} \\
= & -\frac{1}{2 b c}-\frac{1}{2 a c}-\frac{1}{2 a b} \\
= & -\frac{a+b+c}{2 a b c}=0
\end{aligned}
$$

## 分式的乘除法

#### 例题
 计算: $\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-2 x+1}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot\left(x^2-2 x+1\right)$
解：
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\left(\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot(x-1)^2 \\
& =\frac{\left(x^2+x+1\right)(x-1)-\left(x^3+1\right)}{(x-1)^3} \cdot(x-1)^2 \\
& =\frac{\left(x^3-1\right)-\left(x^3+1\right)}{x-1}=-\frac{2}{x-1}
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算 $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$
解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{b+a}{a b} \div \frac{b-a}{a b} \\
& =\frac{b+a}{a b} \times \frac{a b}{b-a} \\
& =\frac{b+a}{b-a}
\end{aligned}
$$

## 分式方程
#### 例题
 解方程: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}=1+\frac{2}{x-2}$
解: 原方程就是: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{(x+2)(x-2)}=1+\frac{2}{x-2}$
两边乘以分母的最低公倍式 $(x+2)(x-2)$, 并约简得:
$$
(x-2)+4 x=(x+2)(x-2)+2(x+2)
$$

解整式方程 $x^2-3 x+2=0, \quad \therefore \quad x_1=1, x_2=2$
验根：把 $x=1$ 代人原方程两边:
$$
\begin{aligned}
& \text { 右式 }=\frac{1}{1+2}+\frac{4}{1-4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-1 \\
& \text { 左式 }=1+\frac{2}{1-2}=1-2=-1
\end{aligned}
$$
$\therefore \quad x=1$ 是原方程的根.
把 $x=2$ 代人原方程时, 由于分母 $x-2=0, x^2-4=0$, 就是说: 当 $x=2$ 时原方程没有意义, 所以 $x=2$ 不是原方程的根, 应舍去它.
因此：原方程的解集是 $\{1\}$.
从以上两例可以看出：分式方程的两边乘以同一个含有未知数的整式, 并进行约简, 就得到一个新的整式方程. 这个整式方程的根, 可能是原分式方程的根, 也可能不是原分式方程的根. 而这里不适合原方程的根, 就叫做原方程的增根, 验根后应该舍去 (例如, 在例 6.22 中的 $x=2$ 就是增根).
我们不禁要问：解分式方程的过程中, 为什么可能增根呢?
先观察上 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq \pm 2$ 的一切实数,得到的根 $x_1=1$, 恰好在原方程 $x$ 的可取值范围内, 所以适合原方程, 是原方程的根. 而另一根 $x_2=2$, 恰好在原方程 $x$ 可取值范围外, 所以不适合原方程,是原方程的增根.

再观察上例 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq 1$ 且 $x \neq-3$ 的一切实数, 整式方程 $5(x+3)=x-1$ 的 $x$ 可取值范围扩大为一切实数, 但这个整式方程的根 $x=-4$, 恰好在原分式方程的可取值范围内, 所以是原方程的根.

解分式方程过程中, 由于原方程两边乘以含有未知数的整式, 约简而得到一个整式方程. 这样就扩大了未知数的可取值范围, 自然就有产生增根的可能.但是, 增根并不可怕, 只要通过检验, 就可以鉴别出来把它舍去. 所以，解分式方程是必须进行验根的.

仔细观察、分析, 不难发现: 分式方程的增根, 都正好是 “使原方程中的一些分母的值为零” 的未知数值. 因此, 解分式方程时, 比较简捷的验根的方法是: 把整式方程的根, 逐个代人分母的最低公倍式中, 如果其值不等于零, 则是原方程的根; 如果其值等于零, 则它是原方程的增根, 要舍去.

#### 例题
解方程 $\frac{3}{x-2}-\frac{4}{x-1}=\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-3}$
分析: 如果开始就乘以分母的最低公倍式, 这样很复杂, 所以先采取方程两边分别通分, 这样比较简便.
解：方程两边分别通分得：
$$
\begin{aligned}
\frac{3 x-3-4 x+8}{(x-1)(x-2)} & =\frac{x-3-2 x+8}{(x-3)(x-4)} \\
\frac{-x+5}{(x-1)(x-2)} & =\frac{-x+5}{(x-3)(x-4)}
\end{aligned}
$$

方程两边乘以 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, 得:
$$
(-x+5)(x-3)(x-4)=(-x+5)(x-1)(x-2)
$$

即:
$$
(-x+5)\left[\left(x^2-7 x+12\right)-\left(x^2-3 x+2\right)\right]=0
$$

解整式方程 $(-x+5)(-4 x+10)=0$
$\therefore \quad x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}$
验根: 把 $x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}$ 分别代人分母的最低公倍式中, 很明显其值都不等于零.
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{5, \frac{5}{2}\right\}$.

#### 例题
解方程 $\frac{(x-1)^2}{x}+\frac{x}{(x-1)^2}=2$

设$\frac{(x-1)^2}{x}=y$，则$\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{y}$

代入原方程就是 $y+\frac{1}{y}=2$，两边乘以$y$，并约简得
 $y^2+1=2y\quad \Rightarrow\quad y^2-2y+1=0 $
解这个方程，得：$y=1$．

把$y=1$代入 $\frac{(x-1)^2}{x}=y$，得：
 $\frac{(x-1)^2}{x}=1 $
两边乘以$x$，并约简得：
 $ (x-1)^2=x$  
即：$x^2-3x+1=0$

$\therefore\quad x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$．

把$x_1,x_2$分别代入方程(6.2)的分母中，其值不等于零．

$\therefore\quad $原方程的解集是$\left\{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},\; \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$

## 例题
 解方程
$\frac{1}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{b}+\frac{b}{x}\quad (a\ne b)$

方程两边乘以$abx$得：
 $bx+a^2b=ax+ab^2 $
解整式方程 $(b-a)x=ab(b-a)$

$\because\quad a\ne b,\qquad \therefore\quad b-a\ne 0$

$\therefore\quad x=ab$．

验根：把$x=ab$代入$abx$得$a^2b^2$．

$\because\quad a\ne 0,\; b\ne 0$ (如果$a=0$, $b=0$, 那么原方程
无意义）．

$\therefore\quad a^2b^2\ne 0$

$\therefore\quad $原方程的解集是$\{ab\}$．

## 待定系数法
在分式的运算和变形中, 有时需要把一个真分式化为另外几个真分式的代数和的形式, 例如:
$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}
$$

其中, 两个比较简单的真分式 $\frac{1}{x-1}, \frac{3}{2 x-1}$ 就叫做原真分式 $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$的部分分式.

把一个分化成部分分式的代数和, 对今后学习高等数学很有用途. 以下将举例说明如何用待定系数法, 化分式为部分分式的和.

#### 例题
例 7.18 化分式 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)\left(9-
ht)}$ 为部分分式.
分析：因为原分式分母中的因式 $2 x-1$ 与 $(3+x)(3-x)$ 是互质的因式. 所以,原分式可以化成下面两个真分式的和, 即
$$
\frac{a}{2 x-1}+\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)}
$$

这里 $a, e, f$ 都是待定系数.
这两个分式都是真分式, 也就是分子的次数小于分母的次数. 第一个分式的分母是一次, 所以分子可以用常数 $a$ 表示, 第二个分式的分母是二次, 所以分子应用一次式 $e x+f$ 表示.
但由前面分析知道等式 $\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)}=\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 可以成立.
因此 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}$ 可以化成 $\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 的形式.

解：设：
$$
\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}
$$
$\therefore$ 有恒等式
$$
23 x-11 x^2=a(3+x)(3-x)+b(2 x-1)(3-x)+c(2 x-1)(3+x)
$$

令 $x=\frac{1}{2}$, 代人恒等式  得: $\frac{35}{4}=a \cdot \frac{35}{4}$
$$
\therefore a=1
$$
  令 $x=-3$, 代人恒等式  得: $-168=(-42) b$
$$
\therefore b=4
$$
  令 $x=3$, 代人恒等式  得: $-30=45 c$
$\therefore \quad c=-\frac{2}{3}$
$$
\therefore \quad \frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{1}{2 x-1}+\frac{4}{3+x}-\frac{2}{3(3-x)}
$$

#### 例题
 化 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}$ 为部分分式.
说明: $x^2+1$ 在实数范围内已不能分解因式, 它与 $x-4$ 是互质因式.
解：设 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x-4}+\frac{b x+c}{x^2+1}$
$\therefore \quad 42-19 x=a\left(x^2+1\right)+(b x+c)(x-4)$ 是一个恒等式.
令 $x=4$, 得 $a=-2$.
再把 $a=-2$ 代人上式，整理得到:
$$
42-19 x=(b-2) x^2+(c-4 b) x-(4 c+2)
$$

比较等式两边同类项的系数, 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
b-2=0 \\
c-4 b=-19 \\
-(4 c+2)=42
\end{array}\right.
$$

由 $(7.13),(7.14)$ 解出 $b=2, c=-11$. 代人 (7.15) 都能够适合. 因此
$$
\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=-\frac{2}{x-4}+\frac{2 x-11}{x^2+1}
$$

>上述介绍的方法在有理数积分里经常使用

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