最后更新: 2025-04-14 09:06 查看: 550 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：辗转相除法

## 辗转相除法

设一元多项式$f(x)$与$g(x)$，如果$f(x)$的次数高于$g(x)$的次数．那么就用$g(x)$去除$f(x)$，得商$q_1(x)$，余$r_1(x)$．因而有：
 $f(x)=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x) $
其中：$r_1(x)$的次数低于$g(x)$的次数，或为0．

所以，可得以下事实：

如果$r_1(x)=0$，那么$f(x)=q_1(x)\cdot g(x)$，这时必有：$(f(x),g(x))=g(x)$．如：
    
 由$x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)$，$\therefore\quad (x^3-1,x-1)=x-1$．

如果$r_1(x)\ne 0$，那么由$f(x)=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x)$与$r_1(x)=f(x)-q_1(x)\cdot g(x)$可以知道：
 $(f(x),g(x))=(g(x),r_1(x)) $

这就是说：求$(f(x),g(x))$的问题，可以换成求次数较低的多项式$g(x)$与$r_1(x)$的最高公因式问题．

假如还嫌$g(x)$与$r_1(x)$的次数高，不易求得最高公因式，就可重复以上步骤，用$r_1(x)$去除$g(x)$，得到商式$q_2(x)$与余式$r_2(x)$，且有
 $g (x) =q_2 (x) \cdot r_1 (x) +r_2 (x)  $
其中，$r_2(x)$的次数又比$r_1(x)$的次数低，或等于0．

这时，若$r_2(x)=0$，则$(g(x),r_1(x))=r_1(x)$，从而$(f(x),g(x))=(g(x), r_1(x)) =r_1 (x)$．

若$r_2(x)\ne 0$，则与前边同理可有：
$$(r_1 (x), r_2(x))=(g(x),r_1(x))$$
从而就应有：
 $( f (x) ,g (x) ) = (g (x) ,r_1 (x))=(r_1(x),r_2(x)) $
这里$r_2(x)$的次数又比$g(x)$, $r_1(x)$的次数低了．

这样逐步地运用除法，就可以把所求两个多项式的最高公因式问题，转换成求两个次数较低的多项式的最高公因式问题．直到最后，自然就会求得$(f(x),g (x) )$．

这种方法，同样叫辗转相除法．

#### 例题
如果$f(x)=x^4+x^3-2$, $g(x)=x^3-1$，试求$(f(x),g(x))$．

先求$f(x)$除以$g(x)$的商及余：
 ![图片](/uploads/2024-04/dbb15e.jpg)
 
$\therefore\quad f(x)=(x+1)\cdot g(x)+(x+1)$，并且
$(f(x),g(x))=(g(x), (x-1))$．

再求$g(x)$除以$x-1$的商及余．
 ![图片](/uploads/2024-04/4addc3.jpg)
 
 $\therefore\quad g(x)=(x^2+x+1)(x-1)$，并且
$(g(x),x-1)=x-1$．

所以：$(f(x),g(x))=(g(x),(x-1))=x-1$，即：
$(f(x),g(x))=x-1$．

## 分式代数式加减

#### 例题
约简 $\frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}$
解：用辗转相除法求得:
$$
\left(x^4-2 x^3+x-2, x^4+x^2+1\right)=x^2-x+1
$$

用除法求得
$$
\begin{aligned}
& x^4-2 x^3+x-2=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-x-2\right) \\
& x^4+x^2+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \\
& \therefore \quad \frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-x-2}{x^2+x+1}
\end{aligned}
$$

#### 例题
先把下面的分式化简，再求它的值．
$F(x)=\frac{-1-x^3}{2x^2-2x+2},\qquad \text{其中 } x=5  $

解：
$$
\begin{aligned}
F(x) & =\frac{-\left(x^3+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)} \\
& =-\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}=-\frac{x+1}{2} \\
F(5) & =-\frac{5+1}{2}=-3
\end{aligned}
$$

#### 例题
化简: $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
分析: $\because a-c=-(c-a), \quad b-a=-(a-b), \quad c-b=-(b-c)$,
$$
\therefore \quad(a-c, b-a, c-b)=(a-b)(b-c)(c-a) .
$$

解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =-\frac{1}{(a-b)(c-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)} \\
& =\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =0
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算 $\frac{a^3}{a-1}-a^2-a-1$
分析： $-a^2-a-1=-\left(a^2+a+1\right)$. 一个分式和一个整式的代数和，可以把整式 $a^2+a+1$ 当作 $\frac{a^2+a+1}{1}$.
解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{a^3}{a-1}-\frac{a^2+a+1}{1} \\
& =\frac{a^2}{a-1}-\frac{\left(a^2+a+1\right)(a-1)}{a-1} \\
& =\frac{a^3-\left(a^3-1\right)}{a-1} \\
& =\frac{1}{a-1}
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算: $

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