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阅读：余式定理

## 余式定理
在多项式除法里，介绍了[多项式长除法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=13)，运用综合除法，我们可以求得任一个多项式$f(x)$除以一次式$x-a$及$bx-a$的商式及余式．如果仔细观察每次做的结果，可以得出很重要而有趣的结论．我们还是先从例子谈起．

已知$f(x)=x^3+3x^2-x-6$，试求：$f(x)$除以$x-2$及$f(x)$除以$x-a$的
余式．再求：$f(2)$及$f(a)$的值．
解：用多项式除法可以得到
$f(x)$ 除以 $x − 2$，所得余式为一常数 $12$．

$ f(x)$ 除以 $x-a$, 所得余式为 $a^3+3 a^2-a-6$. 又:
$$
\begin{aligned}
& f(2)=2^3+3 \times 2^2-2-6=12 \\
& f(a)=a^3+3 a^2-a-6
\end{aligned}
$$

由此看来, 真是巧极了, $f(x)$ 除以 $x-2$ 的余式正好等于 $f(2)$, 而 $f(x)$除以 $x-a$ 所得的余式，也恰好等于 $f(a)$. 我们不禁会问:

一般地多项式 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+c d o t s+a_1 x+a_0$ 除以 $x-a$ 时,所得的余式是否也等于 $f(a)$ 呢? 以下定理可以做出肯定回答.

**余式定理是数学一个重要定理，但是却蕴含深刻的数学奥秘，500年前，有一个数学家泰勒，他证明几乎初等函数都可以展开为多项式。200多年前法国数学家洛朗进一步推广了泰勒定理，说，任何一个在定义域附近可解析的函数也可以展开为多项式。这样，对函数的处理，就转换为对多项式的处理。在后来，数学家柯西发现了柯西积分,下面是柯西积分公式**

$$
\boxed {
f\left(z_0\right)=\dfrac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} d z .
}
$$

上面这个公式看起来平淡无奇，但是我稍微更改一下，你就发现他无穷魅力，把$2\pi i$乘过去，调整一下啊等式顺序：

$$
\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} d z= \dfrac{1}{2 \pi i} f\left(z_0\right)
$$
 
你发现了什么了吗？原来积分运算可以转换为$f(x)$ 的计算。在数学家眼里，$f(x)$ 是最好算的，其次是求导$f'(x)$， 最难算的就是 $\int f(x) $ ，结合余式定理和柯西积分，我们就可以把积分运算“挪移”到函数计算。详见 [柯西积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1883)

### 余式定理

> **多项式$f(x)$除以$x-a$所得的余式等于$f(a)$**

证明: 设多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 所得的商式为 $q(x)$, 余式为 $r(x)$. 由除法可得:
$$
f(x)=q(x) \cdot(x-a)+r(x)
$$

但: $\because r(x)$ 的次数低于 $x-a$ 的次数,
$\therefore r(x)$ 必为零或零次多项式, 即 $r(x)$ 必为一个常数 $R$.
因而
$$
f(x)=q(x) \cdot(x-a)+R
$$

这是一个恒等式, 不论 $x$ 取何值, 总是成立的. 今设 $x=a$, 等式 也应成立.
于是就有: $f(a)=q(a) \cdot(a-a)+R$ 因此:
$$
R=f(a)
$$

这就证明了余式定理. 这个结论使我们在不做除法的前提下, 也可以用求多项式的值来求出余式.

## 例题
求$f(x)=2x^3-3x^2+8x-14$除以$2x-3$的余数．

由于$f(x)$除以$2x-3$所得余数与$f(x)$除
    以$x-\frac{3}{2}$所得的余数是相同的，所以
$$
\begin{split}
f\left(\frac{3}{2}\right)&=2\times \left(\frac{3}{2}\right)^3-3\times \left(\frac{3}{2}\right)^2+8\times \frac{3}{2}-14\\
&=\frac{27}{4}-\frac{27}{4}+12-14=-2
\end{split}
$$
可得：$f(x)$ 除以$2x-3$的余数为$-2$．

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