最后更新: 2025-06-24 18:26 查看: 369 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分式与分式的加减

## 分式与分式的基本性质
我们已经知道, 两个整数 $m, n$ 的比, 是一个有理数 $\frac{m}{n}, \quad(n \neq 0)$. 同样,两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的比 $\frac{f(x)}{g(x)}, \quad(g(x) \neq 0)$ 就叫做**有理式**. 因此

在有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}, \quad(g(x) \neq 0)$ 中, 如果 $g(x)$ 的次数为 0 , 那么, 有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 就是整式，也就是我们已经学过的多项式；如果 $g(x)$ 的次数高于 0 次，那么, 有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 就叫做分式.

> 整式和分式统称为有理式

例如: $\frac{1}{x}, \frac{x+5}{x^2-9}, \frac{2 x^2-3 x+1}{x-3}, \frac{x^2+y^2}{2 x+y}$ 等都是分式. $\frac{\left(x^2+1\right)^2}{x^2+1}$ 虽然恒等于整式 $x^2+1$, 而从形式上仍然叫做分式.

但是, 像 $\frac{x^2-1}{1} 、 \frac{3 x+1}{2}$ 等都是整式, 而这些整式也就是多项式: $x^2-1$, $\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}$ 等。

**对于整式来说，由于其中的未知数决不会出现在分母当中，因而未知数可以取一切实数值；但对于分式来说，由于它的分母中必定含有未知数，因而未知数的取值，就要求限制在 "使分母不等于零的实数值" 的范围内.**

例如：在分式 $\frac{2 x+3}{x^2-3}$ 中，未知数 $x$ 只允许取 " $x^2-3 \neq 0$ " 的值，即 $x \neq \pm \sqrt{3}$的一切实数值. 也就是说，在这个分式中的未知数可以取除 " $\pm \sqrt{3}$ "以外的其它任何实数值。

在分式中，分子的次数如果低于分母的次数，就叫做**真分式**；分子的次数如果不低于分母的次数，就叫做**假分式**. 例如， $\frac{1}{x-3}, \frac{x+y}{2 x^2+y}$ 等都是真分式；
$\frac{2 x+4}{x-3}, \frac{x^2+4 x+6}{x+3}, \frac{x^2+y^2}{2 x+y}$ 等都是假分式.

##  分式的基本性质

1.分式的分子、分母同乘以一个非零多项式, 分式的值不变. 用式子表示就是：
如果 $h(x) \neq 0$, 那么 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x) \cdot h(x)}$.
例如: $\frac{x}{x-3}=\frac{x(x-2)}{(x-3)(x-2)} \quad(x \neq 3, x \neq 2)$

2.分式的分子、分母同除以一个非零多项式. 分式的值不变. 用式子表示就是：
如果 $h(x) \neq 0$, 那么 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \div h(x)}{g(x) \div h(x)}$.

例如: $\frac{x^2\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=x^2$
利用以上两个基本性质，可以进行分式的约分和通分.

## 约分
如果一个分式的分子、分母有公因式时，可以类似于分数的约分，把最高公因式约去，使分式化简。分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫做**不可约分式**（**既约分式**）。 不可约分式是最简分式，约分就是化分式为最简分式.

`例`   约简
1. $\frac{18 a^{12} x^3 y^2}{12 a^3 b^2 x^5 z}$
2. $\frac{8 a^2-6 a^5 b}{16 a^{20}}$
3. $\frac{32(x-2 y)^2(-x+y)}{24(2 y-x)^2(x-y)}$
4. $\frac{m^2-4 n^2}{-m^2-4 m n-4 n^2}$

解:
1. $\frac{18 a^{12} x^3 y^2}{12 a^3 b^2 x^5 z}=\frac{3 a^8 y^2}{2 b^3 x^2 z}$
2. $\frac{8 a^2-6 a^5 b}{16 a^{20}}=\frac{2 a^2\left(4-3 a^3 b\right)}{16 a^{20}}=\frac{4-3 a^3 b}{8 a^{18}}$
3. $\frac{32(x-2 y)^2(-x+y)}{24(2 y-x)^2(x-y)}=\frac{-4(x-2 y)^2(x-y)}{3(x-2 y)^2(x-y)}=-\frac{4}{3}$

4.
$$
\begin{aligned}
\frac{m^2-4 n^2}{-m^2-4 m n-4 n^2} & =\frac{m^2-4 n^2}{-\left(m^2+4 m n+4 n^2\right)} \\
& =-\frac{(m-2 n)(m+2 n)}{(m+2 n)^2} \\
& =-\frac{m-2 n}{m+2 n}
\end{aligned}
$$

`例`约简 $\frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}$
 解：用辗转相除法求得：

$$
\left(x^4-2 x^3+x-2, x^4+x^2+1\right)=x^2-x+1
$$

用除法求得

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