最后更新: 2024-12-07 17:54 查看: 174 次反馈刷题

分式

## 分式与分式的基本性质
我们已经知道, 两个整数 $m, n$ 的比, 是一个有理数 $\frac{m}{n}, \quad(n \neq 0)$. 同样,两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的比 $\frac{f(x)}{g(x)}, \quad(g(x) \neq 0)$ 就叫做有理式.

在有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}, \quad(g(x) \neq 0)$ 中, 如果 $g(x)$ 的次数为 0 , 那么, 有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 就是整式，也就是我们已经学过的多项式；如果 $g(x)$ 的次数高于 0 次，那么, 有理式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 就叫做分式.

例如: $\frac{1}{x}, \frac{x+5}{x^2-9}, \frac{2 x^2-3 x+1}{x-3}, \frac{x^2+y^2}{2 x+y}$ 等都是分式. $\frac{\left(x^2+1\right)^2}{x^2+1}$ 虽然恒等于整式 $x^2+1$, 而从形式上仍然叫做分式.

但是, 像 $\frac{x^2-1}{1} 、 \frac{3 x+1}{2}$ 等都是整式, 而这些整式也就是多项式: $x^2-1$, $\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}$ 等。

对于整式来说，由于其中的未知数决不会出现在分母当中，因而未知数可以取一切实数值；但对于分式来说，由于它的分母中必定含有未知数，因而未知数的取值，就要求限制在 "使分母不等于零的实数值" 的范围内. 例如：

在分式 $\frac{2 x+3}{x^2-3}$ 中，未知数 $x$ 只允许取 " $x^2-3 \neq 0$ " 的值，即 $x \neq \pm \sqrt{3}$的一切实数值. 也就是说，在这个分式中的未知数可以取除 " $\pm \sqrt{3}$ "以外的其它任何实数值。

在分式中，分子的次数如果低于分母的次数，就叫做真分式；分子的次数如果不低于分母的次数，就叫做假分式. 例如， $\frac{1}{x-3}, \frac{x+y}{2 x^2+y}$ 等都是真分式；
$\frac{2 x+4}{x-3}, \frac{x^2+4 x+6}{x+3}, \frac{x^2+y^2}{2 x+y}$ 等都是假分式.

###（一）分式的基本性质
1. 分式的分子、分母同乘以一个非零多项式, 分式的值不变. 用式子表示就是：
如果 $h(x) \neq 0$, 那么 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x) \cdot h(x)}$.
例如: $\frac{x}{x-3}=\frac{x(x-2)}{(x-3)(x-2)} \quad(x \neq 3, x \neq 2)$
2. 分式的分子、分母同除以一个非零多项式. 分式的值不变. 用式子表示就是：
如果 $h(x) \neq 0$, 那么 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \div h(x)}{g(x) \div h(x)}$.

例如: $\frac{x}{x-3}=\frac{x(x-2)}{(x-3)(x-2)} \quad(x \neq 3, x \neq 2)$
2. 分式的分子、分母同除以一个非零多项式. 分式的值不变. 用式子表示就是：
如果 $h(x) \neq 0$, 那么 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) \div h(x)}{g(x) \div h(x)}$.
例如: $\frac{x^2\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=x^2$
利用以上两个基本性质，可以进行分式的约分和通分.
### （二）约分
如果一个分式的分子、分母有公因式时，可以类似于分数的约分，把最高公因式约去，使分式化简。分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫做不可约分式（既约分式）。 不可约分式是最简分式，约分就是化分式为最简分式.

`例`   约简
1. $\frac{18 a^{12} x^3 y^2}{12 a^3 b^2 x^5 z}$
2. $\frac{8 a^2-6 a^5 b}{16 a^{20}}$
3. $\frac{32(x-2 y)^2(-x+y)}{24(2 y-x)^2(x-y)}$
4. $\frac{m^2-4 n^2}{-m^2-4 m n-4 n^2}$

解:
1. $\frac{18 a^{12} x^3 y^2}{12 a^3 b^2 x^5 z}=\frac{3 a^8 y^2}{2 b^3 x^2 z}$
2. $\frac{8 a^2-6 a^5 b}{16 a^{20}}=\frac{2 a^2\left(4-3 a^3 b\right)}{16 a^{20}}=\frac{4-3 a^3 b}{8 a^{18}}$
3. $\frac{32(x-2 y)^2(-x+y)}{24(2 y-x)^2(x-y)}=\frac{-4(x-2 y)^2(x-y)}{3(x-2 y)^2(x-y)}=-\frac{4}{3}$

4.
$$
\begin{aligned}
\frac{m^2-4 n^2}{-m^2-4 m n-4 n^2} & =\frac{m^2-4 n^2}{-\left(m^2+4 m n+4 n^2\right)} \\
& =-\frac{(m-2 n)(m+2 n)}{(m+2 n)^2} \\
& =-\frac{m-2 n}{m+2 n}
\end{aligned}
$$

`例`约简 $\frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}$
`例`解：用辗转相除法求得：

$$
\left(x^4-2 x^3+x-2, x^4+x^2+1\right)=x^2-x+1
$$

用除法求得

$$
\begin{aligned}
x^4-2 x^3+x-2 & =\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-x-2\right) \\
x^4+x^2+1 & =\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \\
\therefore \quad \frac{x^4-2 x^3+x-2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-x-2}{x^2+x+1} &
\end{aligned}
$$

`例` 约简 $\frac{x^3-6 x^2+11 x-6}{x^3-8 x^2+11 x-12}$
解：用余式定理和综合除法求得：

$$
\begin{aligned}
x^3-6 x^2+11 x-6 & =(x-1)(x-3)(x-2) \\
x^3-8 x^2+11 x-12 & =(x-1)(x-3)(x-4)
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad \frac{x^3-6 x^2+11 x-6}{x^3-8 x^2+11 x-12}=\frac{x-2}{x-4}
$$

下面我们和多项式一样，引入一个分式的符号： $F(x)$ ，它表示关于 $x$ 的一个分式；同样， $G(x) 、 T(x)$ 可以分别表示 $x$ 的另外的分式，例如： $F(x)=\frac{1}{x}$ ， $G(x)=\frac{2 x}{x^2-3} T(x)=\frac{7 x}{9-x}$ 等。很自然, 在一个分式 $F(x)$ 中, 当 $x=a$ 时,分式的值可以表示为 $F(a)$.

先把下面的分式化简, 再求它的值.

$$
F(x)=\frac{-1-x^3}{2 x^2-2 x+2}, \quad \text { 其中 } x=5
$$

解:

$$
\begin{aligned}
F(x) & =\frac{-\left(x^3+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)} \\
& =-\frac{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}=-\frac{x+1}{2} \\
F(5) & =-\frac{5+1}{2}=-3
\end{aligned}
$$

`例` 约简 $F(x)=\frac{2\left(x^2-1\right)(x-1)^2}{(1-x)^3(x+1)^2}$, 问 $x$ 取什么整数值时, 能使 $F(x)$ 的值是正整数。

解:

$$
\begin{aligned}
F(x) & =\frac{2(x+1)(x-1)(x-1)^2}{-(x-1)^3(x+1)^2} \\
& =-\frac{2(x+1)(x-1)^3}{(x-1)^3(x+1)^2} \\
& =-\frac{2}{x+1}
\end{aligned}
$$

要使 $F(x)$ 的值是正整数, 必须使 $x+1=-1$ 或 $x+1=-2$.
解得 $x=-2$ 或 $x=-3$ 。
$\therefore$ 当 $x=-2$ 或 $x=-3$ 时, $F(x)$ 的值是正整数.
由以上各例, 可以得出:
1. 约分应当约去分子与分母的最高公因式及分子与分母的系数的最大公约数;
2. 如果分式的分子、分母是多项式, 可以把它们分别分解因式以后, 再进行约分；对于高次多项式，应用余式定理或辗转相除法可以求得最高公因式。
### （三）通分
对于分母不相同的几个分式，可将每个分式的分子、分母乘以适当的非零多项式，而使各分式的分母都相同，这种运算叫做通分。通分时应取原来每个分式的分母的最低公倍式与它们各系数的最小公倍数之积作公分母.
`例` 把 $\frac{a}{2 b}, \frac{b}{3 a^2}, \frac{c}{4 a b}$ 通分。
解: $\left[2 b, 3 a^2, 4 a b\right]=12 a^2 b$
因此:

$$
\begin{aligned}
\frac{a}{2 b} & =\frac{a \cdot 6 a^2}{2 b \cdot 6 a^2}=\frac{6 a^3}{12 a^2 b} \\
\frac{b}{3 a^2} & =\frac{b \cdot 4 b}{3 a^2 \cdot 4 b}=\frac{4 b^2}{12 a^2 b} \\
\frac{c}{4 a b} & =\frac{c \cdot 3 a}{4 a b \cdot 3 a}=\frac{3 a c}{12 a^2 b}
\end{aligned}
$$

`例` 把 $\frac{2 x}{x^2-y^2}, \frac{3 y}{x^3+y^3}$ 通分。
解：由于：

$$
\begin{aligned}
x^2-y^2 & =(x+y)(x-y) \\
x^3+y^3 & =(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right) \\
\therefore \quad\left[x^2-y^2, x^3+y^3\right] & =(x-y)(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)
\end{aligned}
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
\frac{2 x}{x^2-y^2} & =\frac{2 x\left(x^2-x y+y^2\right)}{(x-y)(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)} \\
\frac{3 y}{x^3+y^3} & =\frac{3 y(x-y)}{(x-y)(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)}
\end{aligned}
$$

## 二、分式的运算
分式的四则运算法则和分数的四则运算法则是一样的.
### （一）分式的加减法
同分母的分式相加（减），只要把分子相加（减）作为分子，分母不变，并把结果化简；异分母的分式相加（减），就要先进行通分，再转化为同分母分式的相加 (减)。

$$
=\frac{2}{x}-\frac{x-3}{2(x+1)^2}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{2(2 x+1)}{x(x+1)^2}
$$

列1. 测 $2 m_1$ 原式 $=\frac{2 \cdot 2(x+1)^2}{2 x(x+1)^2}-\frac{(x-3) \cdot x}{2 x(x+1)^2}+\frac{x(x+1)}{2 x(x+1)^2}$

$$
-\frac{2(2 x+1) \cdot 2}{2 x(x+1)^2}
$$

`例` 计算: $\frac{x+3 y}{x^2-y^2}-\frac{x+2 y}{x^2-y^2}+\frac{2 x-3 y}{x^2-y^2}$

解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x+3 y-(x+2 y)+(2 x-3 y)}{x^2-y^2} \\
& =\frac{2 x-2 y}{x^2-y^2}=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)} \\
& =\frac{2}{x+y}
\end{aligned}
$$

`例`  计算: $\frac{2}{x}-\frac{x-3}{2 x^2+4 x+2}+\frac{1}{2 x+2}-\frac{4 x+2}{x(x+1)^2}$

解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{2}{x}-\frac{x-3}{2(x+1)^2}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{2(2 x+1)}{x(x+1)^2} \\
& =\frac{2 \cdot 2(x+1)^2}{2 x(x+1)^2}-\frac{(x-3) \cdot x}{2 x(x+1)^2}+\frac{x(x+1)}{2 x(x+1)^2}-\frac{2(2 x+1) \cdot 2}{2 x(x+1)^2} \\
& =\frac{4(x+1)^2-(x-3) x+x(x+1)-4(2 x+1)}{2 x(x+1)^2} \\
& =\frac{4 x^2+4 x}{2 x(x+1)^2}=\frac{4 x(x+1)}{2 x(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}
\end{aligned}
$$

`例` 化简： $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
分析： $\because a-c=-(c-a), \quad b-a=-(a-b), \quad c-b=-(b-c)$,

$$
\therefore \quad(a-c, b-a, c-b)=(a-b)(b-c)(c-a) .
$$

解：

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =-\frac{1}{(a-b)(c-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)} \\
& =\frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =\frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\
& =0
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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