最后更新: 2024-12-07 18:03 ● 参与者查看: 16 次纠错分享参与项目词条搜索

分式乘除与分式方程

接上一节

`例`  计算 $\frac{a^3}{a-1}-a^2-a-1$
分析： $-a^2-a-1=-\left(a^2+a+1\right)$. 一个分式和一个整式的代数和, 可以把整式 $a^2+a+1$ 当作 $\frac{a^2+a+1}{1}$.
解：

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{a^3}{a-1}-\frac{a^2+a+1}{1} \\
& =\frac{a^2}{a-1}-\frac{\left(a^2+a+1\right)(a-1)}{a-1} \\
& =\frac{a^3-\left(a^3-1\right)}{a-1} \\
& =\frac{1}{a-1}
\end{aligned}
$$

`例` 计算: $\frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}+\frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}$
分析：由余式定理得 $x-1$ 是第一个分式的分子、分母的公因式, 将此分式约简：

$$
\frac{x^2-1}{x^4+x^2-2 x}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)\left(x^3+x^2+2 x\right)}=\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x}
$$

由余式定理得 $2 x-1$ 是第二个分式的分子、分母的公因式, 将此分式约简：

$$
\frac{2 x^2+3 x-2}{2 x^3+x^2+3 x-2}=\frac{(x+2)(2 x-1)}{(2 x-1)\left(x^2+x+2\right)}=\frac{x+2}{x^2+x+2}
$$

解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x+1}{x^3+x^2+2 x}+\frac{x+2}{x^2+x+2} \\
& =\frac{x+1}{x\left(x^2+x+2\right)}+\frac{x(x+2)}{x\left(x^2+x+2\right)} \\
& =\frac{x^2+3 x+1}{x\left(x^2+x+2\right)}
\end{aligned}
$$

`例` 已知 $a+b+c=0$, 求证: $\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=0$
分析：利用已知条件 $a+b+c=0$ ，使各个分母化简.
证明：由于：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{b^2+c^2-(b+c)^2}=-\frac{1}{2 b c} \\
& \frac{1}{c^2+a^2-b^2}=\frac{1}{c^2+a^2-(c+a)^2}=-\frac{1}{2 a c} \\
& \frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{a^2+b^2-(a+b)^2}=-\frac{1}{2 a b}
\end{aligned}
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2} \\
= & -\frac{1}{2 b c}-\frac{1}{2 a c}-\frac{1}{2 a b} \\
= & -\frac{a+b+c}{2 a b c}=0
\end{aligned}
$$

### （二）分式的乘法
两个分式相乘时，分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母，再把结果化简. 即：

$$
\frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{h(x)}{q(x)}=\frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x) \cdot q(x)}
$$

`例` 计算: $\frac{a^2-b^2}{a^2+a b+b^2} \times \frac{a-b}{a^3+b^3}$解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{\left(a^2-b^2\right)(a-b)}{\left(a^2+a b+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)} \\
& =\frac{(a+b)(a-b)^2}{\left(a^2+a b+b^2\right)(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)} \\
& =\frac{(a-b)^2}{a^4+a^2 b^2+b^4}
\end{aligned}
$$

`例` 计算: $\left(x y^2-2 x y+x\right) \cdot \frac{y^3+1}{y^3-y}$
解：

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x\left(y^2-2 y+1\right)}{1} \cdot \frac{y^3+1}{y\left(y^2-1\right)} \\
& =\frac{x(y-1)^2(y+1)\left(y^2-y+1\right)}{y(y+1)(y-1)} \\
& =\frac{x(y-1)\left(y^2-y+1\right)}{y}
\end{aligned}
$$

`例` 计算: $\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-2 x+1}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot\left(x^2-2 x+1\right)$
解：

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\left(\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}-\frac{x^3+1}{(x-1)^3}\right) \cdot(x-1)^2 \\
& =\frac{\left(x^2+x+1\right)(x-1)-\left(x^3+1\right)}{(x-1)^3} \cdot(x-1)^2 \\
& =\frac{\left(x^3-1\right)-\left(x^3+1\right)}{x-1}=-\frac{2}{x-1}
\end{aligned}
$$

### （三）分式的除法
两个分式相除时，把除式的分子、分母颠倒后与被除式相乘即可. 即：

$$
\frac{f(x)}{g(x)} \div \frac{h(x)}{q(x)}=\frac{f(x)}{g(x)} \times \frac{q(x)}{h(x)}=\frac{f(x) \cdot q(x)}{g(x) \cdot h(x)}
$$

`例` 计算: $\frac{x^2-1}{x^2+1} \div \frac{x^2-1}{x^4-1}$
解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x^2-1}{x^2+1} \times \frac{x^4-1}{x^2-1} \\
& =\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \\
& =x^2-1
\end{aligned}
$$

`例` 计算: $\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \div(x-y)$
 
 解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \times \frac{1}{x-y} \\
& =\frac{(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)}{x^2+y^2} \times \frac{1}{x-y} \\
& =\frac{x^2+x y+y^2}{x^2+y^2}
\end{aligned}
$$

`例`  计算 $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$
解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{b+a}{a b} \div \frac{b-a}{a b} \\
& =\frac{b+a}{a b} \times \frac{a b}{b-a} \\
& =\frac{b+a}{b-a}
\end{aligned}
$$

`例` 化简 $: \frac{\frac{2(1-x)}{1+x}+\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}+1}{\frac{2(1+x)}{1-x}+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+1}$
 
 说明: 这是一个分子、分母都是分式的繁分式, 实际上就是两个分式相除. 可以先把它们分别化简后，再进行除法运算。
解:

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{\frac{2(1-x)(1+x)+(1-x)^2+(1+x)^2}{(1+x)^2}}{\frac{2(1+x)(1-x)+(1+x)^2+(1-x)^2}{(1-x)^2}} \\
& =\frac{[(1+x)+(1-x)]^2}{(1+x)^2} \div \frac{[(1+x)+(1-x)]^2}{(1-x)^2} \\
& =\frac{[(1+x)+(1-x)]^2}{(1+x)^2} \times \frac{(1-x)^2}{[(1+x)+(1-x)]^2} \\
& =\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2
\end{aligned}
$$

## 三、分式方程
如果方程式中含有分式, 那么这样的方程, 叫做 分式方程, 例如 $\frac{2}{x}=1$, $y+1+\frac{2}{y}=\frac{y^2}{y-1}, \frac{5}{x-1}=\frac{1}{x+3}$ 等，都是分式方程。如果 $x$ 是未知数， $a$ 表示一个非零常数，那么 $\frac{x}{a}+x=1$ ，就不是分式方程.

解分式方程主要是设法把原方程变形为整式方程，也就是在方程两边乘以同一个含有未知数的整式。这个整式一般是分母的最低公倍式.

例 6.21 解方程 $\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x+3}$
解: 两边乘以分母的最低公倍式： $(x-1)(x+3)$, 并约简得:

$$
5(x+3)=x-1
$$

解整式方程: $4 x=-16 \Rightarrow x=-4$
验根：把 $x=-4$ 分别代人原方程两边.

$$
\begin{aligned}
& \qquad \begin{array}{l}
\text { 左式 }=\frac{5}{-4-1}=-1 \\
\text { 右式 }=\frac{1}{-4+3}=-1
\end{array} \\
& \because \text { 左 }=\text { 右 }
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 原方程的解集是: $\{-4\}$.
例 6.22 解方程: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}=1+\frac{2}{x-2}$
解: 原方程就是: $\frac{1}{x+2}+\frac{4 x}{(x+2)(x-2)}=1+\frac{2}{x-2}$
两边乘以分母的最低公倍式 $(x+2)(x-2)$, 并约简得:

$$
(x-2)+4 x=(x+2)(x-2)+2(x+2)
$$

解整式方程 $x^2-3 x+2=0, \quad \therefore \quad x_1=1, x_2=2$
验根：把 $x=1$ 代人原方程两边：

$$
\begin{aligned}
& \text { 右式 }=\frac{1}{1+2}+\frac{4}{1-4}=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-1 \\
& \text { 左式 }=1+\frac{2}{1-2}=1-2=-1
\end{aligned}
$$
$\therefore \quad x=1$ 是原方程的根.
把 $x=2$ 代人原方程时，由于分母 $x-2=0, x^2-4=0$ ，就是说：当 $x=2$ 时原方程没有意义, 所以 $x=2$ 不是原方程的根, 应舍去它.

因此：原方程的解集是 $\{1\}$ 。
从以上两例可以看出：分式方程的两边乘以同一个含有未知数的整式，并进行约简，就得到一个新的整式方程。这个整式方程的根，可能是原分式方程的根，也可能不是原分式方程的根。而这里不适合原方程的根，就叫做原方程的**增根**，验根后应该舍去（例如，在例 6.22 中的 $x=2$ 就是增根）。

我们不禁要问：解分式方程的过程中，为什么可能增根呢？
先观察例 6.22 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq \pm 2$ 的一切实数,整式方程 $x^2-3 x+2=0$ 的 $x$ 可取值范围扩大为一切实数，这样解整式方程
得到的根 $x_1=1$, 恰好在原方程 $x$ 的可取值范围内, 所以适合原方程, 是原方程的根. 而另一根 $x_2=2$, 恰好在原方程 $x$ 可取值范围外，所以不适合原方程，是原方程的增根。

再观察例 6.21 , 原分式方程未知数 $x$ 的可取值范围是 $x \neq 1$ 且 $x \neq-3$ 的一切实数，整式方程 $5(x+3)=x-1$ 的 $x$ 可取值范围扩大为一切实数，但这个整式方程的根 $x=-4$, 恰好在原分式方程的可取值范围内, 所以是原方程的根。

解分式方程过程中，由于原方程两边乘以含有未知数的整式，约简而得到一个整式方程. 这样就扩大了未知数的可取值范围，自然就有产生增根的可能.但是，增根并不可怕，只要通过检验，就可以鉴别出来把它舍去. 所以，解分式方程是必须进行验根的。

仔细观察、分析，不难发现：分式方程的增根，都正好是"使原方程中的一些分母的值为零" 的未知数值. 因此，解分式方程时，比较简捷的验根的方法是：把整式方程的根，逐个代人分母的最低公倍式中，如果其值不等于零，则是原方程的根; 如果其值等于零, 则它是原方程的增根, 要舍去.
例 6.23 试求一个正实数 $x$ 满足下述条件: $x=\frac{1}{x-1}$
解: 方程两边乘以 $x-1$, 并约简得 $x(x-1)=1$.
解整式方程: $x^2-x-1=0$,
$\therefore \quad x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, \quad x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
验根：把 $x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$ 代入 $x-1$ ，其值不等于零．把 $x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$ 代入 $x-1$ ，其值不等于零。
$\therefore$ 原方程的解集是: $\left\{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$
但 $\because \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}<0$, 不合题意应舍去。
$\therefore$ 所求正实数是: $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$.
综合以上各例，可以概括出解分式方程的一般步骤是：
1. 方程两边乘以分母的最低公倍式, 并约简变形为整式方程.
2. 解整式方程.
3. 验根：把整式方程的根分别代人原方程分母的最低公倍式中去. 如果其值不等于零, 则是原方程的根; 如果其值等于零, 则是原方程的增根, 要舍去。

例 6.24 解方程: $\frac{2}{1+x}-\frac{3}{1-x}=\frac{6}{x^2-1}$
解: 原方程就是 $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{(x+1)(x-1)}$方程两边乘以 $(x+1) \cdot(x-1)$ ，并约简得：

$$
2(x-1)+3(x+1)=6
$$

解整式方程

$$
\begin{aligned}
2 x-2+3 x+3 & =6 \\
5 x & =5 \\
x & =1
\end{aligned}
$$

验根：把 $x=1$ 代入 $(x+1) \cdot(x-1)$ 所得的值等于零.
$\therefore \quad x=1$ 是增根（舍去）,
$\therefore$ 原方程的解集是空集 $\emptyset$.

例 6.25 解方程 $\frac{3}{x-2}-\frac{4}{x-1}=\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-3}$
分析：如果开始就乘以分母的最低公倍式，这样很复杂，所以先采取方程两边分别通分, 这样比较简便.
解: 方程两边分别通分得:

$$
\begin{aligned}
\frac{3 x-3-4 x+8}{(x-1)(x-2)} & =\frac{x-3-2 x+8}{(x-3)(x-4)} \\
\frac{-x+5}{(x-1)(x-2)} & =\frac{-x+5}{(x-3)(x-4)}
\end{aligned}
$$

方程两边乘以 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, 得:

$$
(-x+5)(x-3)(x-4)=(-x+5)(x-1)(x-2)
$$

即:

$$
(-x+5)\left[\left(x^2-7 x+12\right)-\left(x^2-3 x+2\right)\right]=0
$$
解整式方程 $(-x+5)(-4 x+10)=0$

$$
\therefore \quad x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}
$$

验根：把 $x_1=5, \quad x_2=\frac{5}{2}$ 分别代人分母的最低公倍式中, 很明显其值都不等于零。
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{5, \frac{5}{2}\right\}$.
注意：如果在方程（6.1）的两边除以 $-x+5$ ，那么就会丢失 $x=5$ 这一个根，所以在解方程的过程中，如果方程两边除以含有未知数的整式，那末原方程就有丢根的可能，丢根是不易找回来的，因此在解方程的过程中，要尽量避免进行这种变形。
在解有些分式方程的过程中, 如果利用换元法, 引进一个辅助未知数, 那末, 就可以得到一个容易解的方程, 使解法简化.
例 6.26 解方程 $\frac{(x-1)^2}{x}+\frac{x}{(x-1)^2}=2$
解: 设 $\frac{(x-1)^2}{x}=y$, 则 $\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{y}$
代人原方程就是 $y+\frac{1}{y}=2$ ，两边乘以 $y$ ，并约简得

$$
y^2+1=2 y \quad \Rightarrow \quad y^2-2 y+1=0
$$

解这个方程，得： $y=1$.
把 $y=1$ 代人 $\frac{(x-1)^2}{x}=y$, 得:

$$
\frac{(x-1)^2}{x}=1  ...(6.2)
$$

两边乘以 $x$ ，并约简得：

$$
(x-1)^2=x ...(6.3)
$$

即: $x^2-3 x+1=0$

$$
\therefore \quad x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, \quad x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2} .
$$

把 $x_1, x_2$ 分别代入方程 (6.2) 的分母中, 其值不等于零.
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$
说明：解上例的过程中，由方程（6.2）到方程（6.3）有产生增根的可能，所以只要把 $x_1, x_2$ 代人方程 (6.2) 验根就可以.
例6.27 解方程 $\frac{1}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{b}+\frac{b}{x} \quad(a \neq b)$
解：方程两边乘以 $a b x$ 得：

$$
b x+a^2 b=a x+a b^2
$$

解整式方程 $(b-a) x=a b(b-a)$

$$
\begin{aligned}
& \because \quad a \neq b, \quad \therefore \quad b-a \neq 0 \\
& \therefore \quad x=a b .
\end{aligned}
$$

验根：把 $x=a b$ 代人 $a b x$ 得 $a^2 b^2$ 。
$\because a \neq 0, b \neq 0$ (如果 $a=0, b=0$ ，那么原方程无意义）.
$\therefore \quad a^2 b^2 \neq 0$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{a b\}$.

## 分式应用题

例 6.28 某公社原计划要在一定的日期里开晊荒地 960 亩, 如果实际每天比原计划多开胫 40 亩，可提前 4 天完成原计划。求原计划一天开晊荒地的亩数和完成的天数。
 
分析: 这个应用题中的数量关系, 可列表如下:
![图片](/uploads/2024-12/9feb54.jpg)

原计划需要的天数 $=$ 实际需要天数 +4 (天)

解：设原计划每天开是荒地 $x$ 亩，则原计划需要 $\frac{960}{x}$ （天）完成，实际每天开旺荒地 $(x+40)$ 亩，实际需要 $\frac{960}{x+40}$ （天）

按题意得: $\frac{960}{x}=\frac{960}{x+40}+4$
两边乘以 $x(x+40)$, 得:

$$
960(x+40)=960 x+4 x(x+40)
$$

整理得: $x^2+40 x-9600=0$

$$
\therefore \quad x_1=80, \quad x_2=-120
$$

检验： $x_1=80$ 是原方程的根. $x_2=-120$ 是原方程的根，但不合题意，应舍去。

$$
\text { 又 } \frac{960}{x}=\frac{960}{80}=12 \text { (天) }
$$

答: 原计划每天开晊荒地 80 亩, 需要 12 天.

例 $6.29 A 、 B$ 两地相距 87 公里, 甲骑自行车从 $A$ 出发向 $B$ 驶去, 经过 30分钟后，乙骑自行车由 $B$ 出发，用每小时比甲快 4 公里的速度向 $A$ 驶来，两人在距离 $B 45$ 公里的 $C$ 处相遇, 求各人的速度.

分析:
 ![图片](/uploads/2024-12/c9b10a.jpg)
 甲自 $A$ 到 $C$ 所需要时间 $=$ 乙由 $B$ 到 $C$ 所需要时间 $+\frac{30}{60}$ 小时

解：设甲每小时行 $x$ 公里，则乙每小时行 $(x+4)$ 公里，按题意：

$$
\frac{87-45}{x}=\frac{45}{x+4}+\frac{30}{60}
$$

两边乘以 $2 x(x+4)$ 得:

$$
\begin{aligned}
2 & \times 42(x+4) \\
= & 2 \times 45 x+x(x+4) \\
x^2+10 x-336 & =0 \\
\therefore \quad x_1=14, \quad x_2 & =-24
\end{aligned}
$$

检验： $x=14$ 是原方程根， $x=-24$ 是原方程根，但不合题意，舍去.

$$
x+4=14+4=18
$$

答：甲每小时行 14 公里，乙每小时行 18 公里.
例 6.30 甲乙两个工程队合做一项工程，两队合做两天后，由乙队单独做 1 天就完成了全部工程. 已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的 $1 \frac{1}{2}$倍. 求甲、乙两队单独做各需多少天？
解：设甲队独做 $x$ 天完成，乙队独做 $\frac{3}{2} x$ 天完成，则甲每天工作量是 $\frac{1}{x}$ ，乙每天工作量是 $\frac{1}{\frac{3}{2} x}$, 甲、乙两队合做一天的工作量是 $\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{3}{2} x}$; 合做两天的工作量是 $2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{3}{2} x}\right)$.

按题意得：

$$
2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{3}{2} x}\right)+\frac{1}{\frac{3}{2} x}=1
$$
就是 $\frac{2}{x}+\frac{4}{3 x}+\frac{2}{3 x}=1$
方程两边乘以 $3 x$ 得：

$$
\begin{aligned}
6+4+2 & =3 x \\
3 x & =12 \\
x & =4
\end{aligned}
$$

经检验, $x=4$ 是原方程的根. 又 $\frac{3}{2} x=6$.
答：甲独做 4 天完成任务, 乙独做 6 天完成任务.

上一篇：分式

下一篇：分式总结

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)