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分式总结

## 分式
### 分式的概念:
一般地, 如果 $A 、 B$ 都表示整式, 且 $B$ 中含有 字母, 那么称 $\frac{A}{B}$ 为分式. 其中 $A$ 叫做分式的分子, $B$ 为分式的分母.

### 分式有意义的条件
对于分式 $\frac{A}{B}$   当 ${B} \neq 0$ 时分式有意义;
当 $B=0$ 时无意义.

### 分式值为零的条件:
   当 $A=0$ 且 $B \neq 0$ 时, 分式 $\frac{A}{B}$ 的值为零.
   
###  分式的基本性质:

$$
\frac{A}{B}=\frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \frac{A}{B}=\frac{A \div C}{B \div C}(C \neq 0) .
$$

## 分式的约分：
#### 约分的完义
根据分式的基本性质, 把一个分式的分子与分母 的公因式约去, 叫做分式的约分.
分子与分母没有公因式的式子, 叫做最简分式
注意: 分式的约分, 一般要约去分子和分母所有 的公因式, 使所得的结果成为最简分式或整式.

约分的基本政骤
(1) 若分子、分母都是单项式, 则约去系数的最大公 约数, 并约去相同字母的最低次幂;
(2) 若分子、分母含有多项式, 则先将多项式分解因 式, 然后约去分子、分母所有的公因式.

##  分式的通分:
   分式的通分的定义
   根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式 (即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分 母相同的分式, 这种变形叫分式的通分.
  
  最简公分数
   为通分先要确定各分式的公分母, 一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母, 叫做最简公分母.

## 分式的运算

1. 分式的乘除法则:

$$
\frac{b}{a} \times \frac{c}{d}=\frac{b c}{a d} \quad \frac{b}{a} \div \frac{c}{d}=\frac{b}{a} \times \frac{d}{c}=\frac{b d}{a c}
$$

2. 分式的乘方法则:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $

3. 分式的加减法则

(1) 同分母分式的加减法则 :

$$
\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}=\frac{a \pm b}{c} .
$$

(2)  异分母分式的加减法则:

$$
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{a d}{b d} \pm \frac{b c}{b d}=\frac{a d \pm b c}{b d} .
$$

## 分式方程

1. 分式方程的定义
分母中含末知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母, 化成整式方程.
(2) 解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公 分母的值不为 0 , 则整式方程的解是原分式方程的 解, 否则须舍去.

#### 例1
如果分式 $\frac{x^2-1}{x+1}$ 的值为 0 , 那么 $x$ 的值为（）
【解析】根据分式值为 0 的条件: 分子为 0 而分母不为 0 , 列出关于 $x$ 的方程, 求出 $x$ 的值, 并检验当 $x$ 的取值时分 式的分母的对应值是否为零. 由题意可得: $x^2-1=0$, 解 得 $x=\pm 1$. 当 $x=-1$ 时, $x+1=0$; 当 $x=1$ 时, $x+1 \neq 0$.
【答案】1

#### 例2
若分式 $\frac{1}{a+3}$ 无意义, 则 $a$ 的值 $-3$.

#### 例3
如果分式 $\frac{|a|-2}{a+2}$ 的值为零, 则 $a$ 的值为 2 .

#### 例4
如果把分式 $\frac{x}{x+y}$ 中的 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 的值都扩大为原来 的3倍, 则分式的值 ( B )
A.扩大为原来的 3 倍
B. 不变
C.缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
D.缩小为原来的 $\frac{1}{6}$

#### 例5
下列变形正确的是( C )
A. $\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$ B. $\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-b}{a^2}$
C. $\frac{2-x}{x-1}=\frac{x-2}{1-x}$
D. $\frac{-6 x^2 y}{9 x y^2}=\frac{2 x}{9 y}$

#### 例6
已知 $x=1-\sqrt{2}, y=1+\sqrt{2}$, 求 $\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}\right) \div \frac{2 x}{x^2-2 x y+y^2}$ 值.
【解析】本题中给出字母的具体取值, 因此要先化简 分式再代入求值.
解: 原式 $=\frac{2 x}{(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{x}+\mathrm{y})} \frac{(x-y)^2}{2 x}=\frac{x-y}{x+y}$,
把 $x=1-\sqrt{2}, y=1+\sqrt{2}$ 代入得
原式 $=\frac{1-\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}=\frac{-2 \sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$.

#### 例7
有一道题: "先化简, 再求值: $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}\right) \div \frac{1}{x^2-4}$, 其中 $x=-\sqrt{3}$ ".小玲做题时把 $x=-\sqrt{3}$ 错抄成 $x=\sqrt{3}$, 但她的计算结果也是正确的, 请你解释这是怎么回 事?
解: $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}\right) \div \frac{1}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2+4 x}{x^2-4} \cdot\left(x^2-4\right)$ $=\frac{x^2-4 x+4+4 x}{x^2-4} \cdot\left(x^2-4\right)=x^2+4$
$\because(\sqrt{3})^2=(-\sqrt{3})^2=3$, 所以结果与 $x$ 的符号无关

#### 例8
已知 $a+\frac{1}{a}=5$, 求 $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$ 的值
解: 因为 $a+\frac{1}{a}=5$, 所以 $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=25$, 即 $a^2+\frac{1}{a^2}=23$, 所以 $\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=23+1=24$. 所以 $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{24}$.

#### 例9
已知 ${x}^2-{5} {x}+{1}={0}$, 求出 $x^4+\frac{1}{x^4}$ 的值.
解: 因为 $x^2-{5} x+{1}={0}$, 得 $x-5+\frac{1}{x}=0$, 即 $x+\frac{1}{x}=5$.
所以

$$
\begin{aligned}
& x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2 \\
= & {\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right]^2-2 } \\
= & (25-2)^2-2 \\
= & 527 .
\end{aligned}
$$

#### 例10
解下列分式方程:
(1) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0 ;(2) \frac{x-4}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
解: （1）去分母得 $x+1+x-1=0$, 解得 $x=0$,
经检验 $x=0$ 是分式方程的解;
（2）去分母得 $x-4=2 x+2-3$, 解得 $x=-3$,
经检验 $x=-3$ 是分式方程的解.

#### 例11
解方程: $\frac{x-2}{x+2}-1=\frac{16}{x^2-4}$.
解: 最简公分母为 $(x+2)(x-2)$, 去分母得 $(x-2)^2-(x+2)(x-2)=16$,
整理得 $-4 x+8=16$, 解得 $x=-2$,
经检验 $x=-2$ 是增根, 故原分式方程无解.

#### 例12
从广州到某市, 可乘坐普通列车或高铁, 已 知高铁的行驶路程是 400 千米, 普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的 $1.3$ 倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
解析: (1)根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列 车的行驶路程是高铁的行驶路程的 $1.3$ 倍, 两数相 乘即可;
解: (1)根据题意得 $400 \times 1.3=520$ (千米).
答: 普通列车的行驶路程是520千米;

#### 例13
某施工队挖掘一条长90米的隧道, 开工后每天 比原计划多挖1米, 结果提前 3 天完成任务, 原计 划每天挖多少米? 若设原计划每天挖 $x$ 米, 则依 题意列出正确的方程为（D）
A $\frac{90}{x}-\frac{90}{x-1}=3$
B. $\frac{90}{x-1}-\frac{90}{x}=3$
C. $\frac{90}{x}-\frac{90}{x+1}=3$
D. $\frac{90}{x+1}-\frac{90}{x}=3$

#### 例14
某商店第一次用 600 元购进 $2 B$ 铅笔若干支, 第二次 又用600元购进该款铅笔, 但这次每支的进价是第一 次进价的 $\frac{5}{4}$ 倍, 购进数量比第一次少了 30 支. 求第 一次每支铅笔的进价是多少元?
解: 设第一次每支铅笔进价为 $x$ 元, 根据题意列方程, 得
$\frac{600}{x}-\frac{600}{\frac{5}{4} x}=30 $

解得 $x=4$.
经检验, 故 $x=4$ 原分式方程的解.
答: 第一次每支铅笔的进价为 4 元.

#### 例15
已知: $\frac{2 a-b}{a+2 b}=\frac{3}{14}$, 求 $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ 的值.
【解析】由已知可以变形为用 $b$ 来表示 $a$ 的形式，可 得 $a=\frac{4}{5} b$, 代入约分即可求值.
解： $\because \frac{2 a-b}{a+2 b}=\frac{3}{14}, \quad \therefore a=\frac{4}{5} b$.

$$
\therefore \frac{\left(\frac{4}{5} b\right)^2+b^2}{\left(\frac{4}{5} b\right)^2-b^2}=-\frac{41}{9} .
$$

#### 例16
已知 $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, 求 $\frac{x^2-y^2}{x^2-2 x y+y^2} \div \frac{x y+y^2}{2 x^2-2 x y}$ 的值.
解: 由 $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, 得 $x=\frac{2}{3} y$,

$$
\begin{gathered}
\frac{x^2-y^2}{x^2-2 x y+y^2} \div \frac{x y+y^2}{2 x^2-2 x y} \\
=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{2 x(x-y)}{y(x+y)} \\
=\frac{2 x}{y} . \\
\text { 把 } x=\frac{2}{3} y \text { 代入可得原式 }=\frac{\frac{4}{3} y}{y}=\frac{4}{3} .
\end{gathered}
$$

## 分式重难点题型
#### 例1
已知 $a,b,c$为正数，且 $a+b+c=9$, $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{10}{9}$
求$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=$

解析：对于此类问题，通常考虑整体带入，
比如 如果 $a+b+c=1$， 求 $\frac{1}{a}$ 时，我们可以把1用 $a+b+c$替换，即$\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}$ 然后化简寻找规律.

同样对于此题，我们看已知条件
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{10}{9}$
分子是1，而 $a+b+c=9$ ，因此，我们考虑把已知条件的等号两侧同时扩大9倍，即

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{10}{9}$

$ 9 * (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=9 * \frac{10}{9}$,即

$ (\frac{9}{a+b}+\frac{9}{b+c}+\frac{9}{c+a})=10$

现在把9用 $a+b+c$ 整体带入左侧有

$ (\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a})=10$
化简得
$ ( 1+  \frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a})=10$

移项记得
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=7$

> 考虑初中知识的局限性，此类题目都会包含特殊的技巧，需要仔细观察

#### 例2
若 $1<x<2, x+\frac{1}{x-1}=7$，求  $\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ 的值
解析：解决对于这类题目，大的方向是采用换元法，但是解决这种题目需要仔细观察，
观察所求的方式是 $x-1$ ，而题目是  $x+\frac{1}{x-1}=7$ ,我们就希望凑成 $x-1$
因此对  $x+\frac{1}{x-1}=7$ 两边减去1的

$x-1+\frac{1}{x}=7-1=6$
 
 同时 $1<x<2$ ,设 $\sqrt{x-1}=a$ ，可以知道他的值为正
 所以题目可以转换为
 $a^2+\frac{1}{a^2}=6$，求 $a-\frac{1}{a}$
 
  $(a-\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}-2=4$
  所以 $a-\frac{1}{a}=-2$ 或 $a-\frac{1}{a}=2$
  
  又 $0<a<1$  所以， $a-\frac{1}{a}$ 为负数因此结果为 $-2$

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