最后更新: 2024-12-07 17:46 查看: 864 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分式总结

## 分式
### 分式的概念:
一般地, 如果 $A 、 B$ 都表示整式, 且 $B$ 中含有 字母, 那么称 $\frac{A}{B}$ 为分式. 其中 $A$ 叫做分式的分子, $B$ 为分式的分母.

### 分式有意义的条件
对于分式 $\frac{A}{B}$   当 ${B} \neq 0$ 时分式有意义;
当 $B=0$ 时无意义.

### 分式值为零的条件:
   当 $A=0$ 且 $B \neq 0$ 时, 分式 $\frac{A}{B}$ 的值为零.
   
###  分式的基本性质:

$$
\frac{A}{B}=\frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \frac{A}{B}=\frac{A \div C}{B \div C}(C \neq 0) .
$$

## 分式的约分：
#### 约分的完义
根据分式的基本性质, 把一个分式的分子与分母 的公因式约去, 叫做分式的约分.
分子与分母没有公因式的式子, 叫做最简分式
注意: 分式的约分, 一般要约去分子和分母所有 的公因式, 使所得的结果成为最简分式或整式.

约分的基本政骤
(1) 若分子、分母都是单项式, 则约去系数的最大公 约数, 并约去相同字母的最低次幂;
(2) 若分子、分母含有多项式, 则先将多项式分解因 式, 然后约去分子、分母所有的公因式.

##  分式的通分:
   分式的通分的定义
   根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式 (即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分 母相同的分式, 这种变形叫分式的通分.
  
  最简公分数
   为通分先要确定各分式的公分母, 一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母, 叫做最简公分母.

## 分式的运算

1. 分式的乘除法则:

$$
\frac{b}{a} \times \frac{c}{d}=\frac{b c}{a d} \quad \frac{b}{a} \div \frac{c}{d}=\frac{b}{a} \times \frac{d}{c}=\frac{b d}{a c}
$$

2. 分式的乘方法则:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $

3. 分式的加减法则

(1) 同分母分式的加减法则 :

$$
\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}=\frac{a \pm b}{c} .
$$

(2)  异分母分式的加减法则:

$$
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{a d}{b d} \pm \frac{b c}{b d}=\frac{a d \pm b c}{b d} .
$$

## 分式方程

1. 分式方程的定义
分母中含末知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母, 化成整式方程.
(2) 解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公 分母的值不为 0 , 则整式方程的解是原分式方程的 解, 否则须舍去.

#### 例1
如果分式 $\frac{x^2-1}{x+1}$ 的值为 0 , 那么 $x$ 的值为（）
【解析】根据分式值为 0 的条件: 分子为 0 而分母不为 0 , 列出关于 $x$ 的方程, 求出 $x$ 的值, 并检验当 $x$ 的取值时分 式的分母的对应值是否为零. 由题意可得: $x^2-1=0$, 解 得 $x=\pm 1$. 当 $x=-1$ 时, $x+1=0$; 当 $x=1$ 时, $x+1 \neq 0$.
【答案】1

#### 例2
若分式 $\frac{1}{a+3}$ 无意义, 则 $a$ 的值 $-3$.

#### 例3
如果分式 $\frac{|a|-2}{a+2}$ 的值为零, 则 $a$ 的值为 2 .

#### 例4
如果把分式 $\frac{x}{x+y}$ 中的 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 的值都扩大为原来 的3倍, 则分式的值 ( B )
A.扩大为原来的 3 倍
B. 不变
C.缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
D.缩小为原来的 $\frac{1}{6}$

#### 例5
下列变形正确的是( C )
A. $\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$ B. $\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-b}{a^2}$
C. $\frac{2-x}{x-1}=\frac{x-2}{1-x}$
D.

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