最后更新: 2024-12-07 17:30 查看: 110 次反馈刷题

分式与待定系数法

## 把一个分式化为部分分式
在分式的运算和变形中, 有时需要把一个真分式化为另外几个真分式的代数和的形式，例如：

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}
$$

其中, 两个比较简单的真分式 $\frac{1}{x-1}, \frac{3}{2 x-1}$ 就叫做原真分式 $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$的**部分分式**。

把一个分化成部分分式的代数和，对今后学习高等数学很有用途. 以下将举例说明如何用待定系数法，化分式为部分分式的和。

因为一个假分式都可以化成一个整式与一个真分式的和，所以只要研究真分式的情形就可以了。

首先我们分析一下, $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$ 是怎样化成 $\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}$ 的?
因为原分式的分母是互质的两个多项式 $x-1$ 与 $2 x-1$ 的乘积，因此它就是 $x-1$ 和 $2 x-1$ 的最低公倍式. 所以原分式一定是这样两个真分式 $\frac{a}{x-1}$ 与 $\frac{b}{2 x-1}$ 的代数和，这里 $a, b$ 是待定的常数.

如果恒等式

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{2 x-1} ...(7.10)
$$

成立, 那么就一定可以求出 $a, b$ 的值.

由 (7.10)

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{a(2 x-1)+b(x-1)}{(x-1)(2 x-1)}
$$
 
由于两个相等的分式的分母相等, 因此它们的分子也一定相等.
$\therefore 5 x-4=a(2 x-1)+b(x-1)$, 即:

$$
5 x-4=(2 a+b) x-(a+b)
$$

比较等式两边同类项的系数, 得到:

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 a+b=5 \\
a+b=4
\end{array}\right.
$$

解得: $a=1, b=3$. 代入等式 (7.10) 得到

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}
$$

一般地说，如果 $P 、 Q$ 是互质的两个因式，那么真分式 $\frac{A}{P Q}$ 可以化为形如 $\frac{B}{P}$ 与 $\frac{C}{Q}$ 两个真分式的和, 即 $\frac{B}{P}$ 与 $\frac{C}{Q}$ 为 $\frac{A}{P Q}$ 的部分分式.

`例` 
 化分式 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)\left(9-x^2\right)}$ 为部分分式.
分析：因为原分式分母中的因式 $2 x-1$ 与 $(3+x)(3-x)$ 是互质的因式. 所以,原分式可以化成下面两个真分式的和，即

$$
\frac{a}{2 x-1}+\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)}
$$

这里 $a, e, f$ 都是待定系数.

这两个分式都是真分式, 也就是分子的次数小于分母的次数. 第一个分式的分母是一次，所以分子可以用常数 $a$ 表示，第二个分式的分母是二次，所以分子应用一次式 $e x+f$ 表示。

但由前面分析知道等式 $\frac{e x+f}{(3+x)(3-x)}=\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 可以成立.
因此 $\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}$ 可以化成 $\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x}$ 的形式.
解: 设:

$$
\frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{a}{2 x-1}+\frac{b}{3+x}+\frac{c}{3-x} ...(7.11)
$$

$\therefore$ 有恒等式

$$
23 x-11 x^2=a(3+x)(3-x)+b(2 x-1)(3-x)+c(2 x-1)(3+x) ...(7.12)
$$

- 令 $x=\frac{1}{2}$, 代人恒等式 (7.12) 得: $\frac{35}{4}=a \cdot \frac{35}{4}$

$$
\therefore \quad a=1
$$

- 令 $x=-3$, 代人恒等式 (7.12) 得: $-168=(-42) b$

$$
\therefore \quad b=4
$$

- 令 $x=3$, 代人恒等式 (7.12) 得: $-30=45 c$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad c=-\frac{2}{3} \\
& \therefore \quad \frac{23 x-11 x^2}{(2 x-1)(3+x)(3-x)}=\frac{1}{2 x-1}+\frac{4}{3+x}-\frac{2}{3(3-x)}
\end{aligned}
$$

`例`   化分式 $\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)\left(x^2+x-2\right)}$ 为部分分式.
分析: 因为原分式的分母中的因式 $x-1$ 与 $x^2+x-2$ 不是互质的, 所以先把原分式变形为: $\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)^2(x+2)}$ 这里 $(x-1)^2$ 与 $x+2$ 是互质的。

原分式可以化成这样两个真分式的和: $\frac{a}{x+2}+\frac{b x+m}{(x-1)^2}$
又由于

$$
\begin{aligned}
\frac{b x+m}{(x-1)^2} & =\frac{b(x-1)+b+m}{(x-1)^2} \\
& =\frac{b(x-1)}{(x-1)^2}+\frac{b+m}{(x-1)^2} \\
& =\frac{b}{x-1}+\frac{b+m}{(x-1)^2}
\end{aligned}
$$

因为 $b, m$ 都是待定常数, 所以 $b+m$ 也是待定常数, 不妨用 $c$ 表示 $b+m$.这样原分式就可以化成: $\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}$ 的形式.

解: $\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)\left(x^2+x-2\right)}=\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)^2(x+2)}$
设 $\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}$
所以， $4 x^2+3 x-1=a(x-1)^2+b(x-1)(x+2)+c(x+2)$.
因为这是恒等式， $x$ 可以任意取值，所以，我们不妨：
- 令 $x=1$, 得 $6=3 c, \therefore \quad c=2$
- 再令 $x=-2$, 得 $9=9 a, \therefore \quad a=1$
- 再令 $x=0$, 得 $-1=a-2 b+2 c, \therefore \quad b=3$

$$
\begin{aligned}
&\text { 因此: }\\
&\begin{aligned}
\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)\left(x^2+x-2\right)} & =\frac{4 x^2+3 x-1}{(x-1)^2(x+2)} \\
& =\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

`例`   化 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}$ 为部分分式.
说明: $x^2+1$ 在实数范围内已不能分解因式, 它与 $x-4$ 是互质因式.
解：设 $\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x-4}+\frac{b x+c}{x^2+1}$
$\therefore \quad 42-19 x=a\left(x^2+1\right)+(b x+c)(x-4)$ 是一个恒等式.
令 $x=4$ ，得 $a=-2$ 。
再把 $a=-2$ 代人上式，整理得到：

$$
42-19 x=(b-2) x^2+(c-4 b) x-(4 c+2)
$$

比较等式两边同类项的系数, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
b-2=0 ...(7.13) \\
c-4 b=-19 ...(7.14)\\
-(4 c+2)=42 ...(7.15)
\end{array}\right.
$$

由 (7.13), (7.14) 解出 $b=2, \quad c=-11$. 代人 (7.15) 都能够适合. 因此:

$$
\frac{42-19 x}{(x-4)\left(x^2+1\right)}=-\frac{2}{x-4}+\frac{2 x-11}{x^2+1}
$$

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