最后更新: 2025-06-24 18:39 查看: 278 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分式分解与待定系数法

## 把一个分式化为部分分式
在分式的运算和变形中, 有时需要把一个真分式化为另外几个真分式的代数和的形式，例如：

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}
$$

其中, 两个比较简单的真分式 $\frac{1}{x-1}, \frac{3}{2 x-1}$ 就叫做**原真分式**， $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$的**部分分式**。

把一个分化成部分分式的代数和，对今后学习高等数学很有用途. 以下将举例说明如何用待定系数法，化分式为部分分式的和。

因为一个假分式都可以化成一个整式与一个真分式的和，所以只要研究真分式的情形就可以了。

首先我们分析一下, $\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}$ 是怎样化成 $\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}$ 的?
因为原分式的分母是互质的两个多项式 $x-1$ 与 $2 x-1$ 的乘积，因此它就是 $x-1$ 和 $2 x-1$ 的最低公倍式. 所以原分式一定是这样两个真分式 $\frac{a}{x-1}$ 与 $\frac{b}{2 x-1}$ 的代数和，这里 $a, b$ 是待定的常数.

如果恒等式

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{2 x-1} ...(7.10)
$$

成立, 那么就一定可以求出 $a, b$ 的值.

由 (7.10)

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{a(2 x-1)+b(x-1)}{(x-1)(2 x-1)}
$$
 
由于两个相等的分式的分母相等, 因此它们的分子也一定相等.
$\therefore 5 x-4=a(2 x-1)+b(x-1)$, 即:

$$
5 x-4=(2 a+b) x-(a+b)
$$

比较等式两边同类项的系数, 得到:

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 a+b=5 \\
a+b=4
\end{array}\right.
$$

解得: $a=1, b=3$. 代入等式 (7.10) 得到

$$
\frac{5 x-4}{(x-1)(2 x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2 x-1}
$$

一般地说，如果 $P 、 Q$ 是互质的两个因式，那么真分式 $\frac{A}{P Q}$ 可以化为形如 $\frac{B}{P}$ 与 $\frac{C}{Q}$ 两个真分式的和, 即 $\frac{B}{P}$ 与 $\frac{C}{Q}$ 为 $\frac{A}{P Q}$ 的部分分式.

`例`  化分式 $\frac{23

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