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多项式的四则运算
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2024-04-21 18:17
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多项式的四则运算
## 单项式 由己知数及未知数符号$x,y,\ldots$的方幂相乘,所得到的式子,叫做单项式. 例如: $8x,\; 9x^2,\; -2x^4,\; \frac{1}{2}x^7,\; -\frac{3}{7}x^{32},\; 0.618xy^2,\; -\sqrt{2}x^{121},\; 7x^2y,\; -\sqrt{7}xyz,\; \frac{3}{4}x^2y^3z$, 以及$-\frac{\sqrt{3}}{5}mt,\; \sqrt{\frac{1}{3}}x^2y^3zt $ 等都是单项式. 在单项式中,未知数符号前面的数字因数叫做这个单项式的**系数**;未知数符号叫做单项式的**元**;所含不同未知数的个数,就叫这个单项式的**元数**;而所含各元乘方指数的总和,就叫做这个单项式的**次数**. 今后,我们就以单项式的元数,次数为准来称呼每一个单项式.例如: $-2x^4$称为一元四次单项式,$0.618xy$与$7xy$ 都称为二元三次单项式等. 由于$2$可以看成$2x^0$,$-\sqrt{5}$可以看成$-\sqrt{5}y^0$等,因而,单独一个不等于0的数,也是一个单项式,只不过这样的单项式的次数都为零次. 所以,一般地说,任一个非零数$a$,都是单项式的特例,我们叫做零次单项式.例如:$2,-\sqrt{5}, 0.3,-3\sqrt{2},-7\frac{1}{2}$等,都是零次 单项式. 又由于数0可以看成: $0\cdot x^0, 0\cdot x, 0\cdot x^2, \ldots , 0\cdot x^n, \ldots $ 所以,对于“零”这个特殊的数,我们就叫做零单项式.零单项式是单项式中唯一的次数不定的单项式.尽管它有多种形式的写法,但每种写法中系数都是0.因而,通常还是用“0”表示零单项式. ### 同类项 如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要它们所含的未知 数相同,而且各相同未知数的指数都对应相等,那么,这几个单项式就叫做同类单项式.简称同类项. 由此可知,合并同类项,就是指同类单项式的相加或相减,其法则是:把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的未知数及它们的乘方指数不变. ## 多项式 由有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式.也就是说,用“$+$”“$-$”号把有限个单项式连结起来所得的式子,就叫多项式.例如:$3x+0.5+2x^2$, $x^3-3x+\sqrt{2}$, $xy-3x+\sqrt{5}y+1$, $-\frac{\sqrt{2}}{7}x^3y^3+2.31x^2-8z$等, 都是多项式. 一个单项式可以看作是多项式的特例,特别是,零单项式也可以称为零多项式. 多项式就是若干单项式的代数和,而单项式又是一些数与具有数系运算通性的未知数符号的方幂所组 成的.因此,单项式自然也具有数系运算通性,就是说:单项式加、乘满足交换、结合律及分配律; #### 例题1 已知$h(y)=my-1$,且$h(2)=1$.试求:$m$的值和$h(y)$的表达式. 解: $\because\quad h(2)=1$ $\therefore\quad 1=2m-1$,解出$m=1$ $\therefore\quad h(y)=y-1$ #### 例题2 已知$f(x)=x^2+mx+n$,且$f\left(\frac{1}{2}\right)=0$,$f(1)=1$.试求:$f(0)$,$f(2)$,$f(-8)$. 解:首先要求出$f(x)$表达式中的$m,n$ $\because\quad f\left(\frac{1}{2}\right)=0\quad \text{及}\quad f(1)=1$ $$ \therefore\quad \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^2+m\times \left(\frac{1}{2}\right)+n=0\\ 1^2+m+n=1 \end{cases} $$ 即: $$ \begin{cases} \frac{1}{4}+\frac{1}{2}m+n=0\\ m+n=0 \end{cases} $$ 解这个方程组,可得:$n=-\frac{1}{2}$,$m=\frac{1}{2}$. 因而,$f(x)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$,所以 $$ \begin{split} f(0)&= -\frac{1}{2}\\ f(2)&=2^2+\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}=4\frac{1}{2}\\ f(-8)&=(-8)^2+\frac{1}{2}\times (-8)-\frac{1}{2}=59\frac{1}{2} \end{split} $$ ## 常用乘法公式 $ (a+b) \cdot (a-b) =a^2-b^2 $ $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $ #### 例题1 计算:$(2x^2-xy-y^2)^2$ 解:基本思想是整体带入 $$ \begin{align} (2x^2-xy-y^2)^2 &= [2x^2-(xy+y^2)]^2\\ &=4x^4-2\cdot 2x^2\cdot (xy+y^2)+ (xy+y^2)^2\\ &= 4x^4-4x^3y-4x^2y^2+x^2y^2+2xy^3+y^4\\ &= 4x^4-4x^3y-3x^2y^2+2xy^3+y^4 \end{align} $$
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