最后更新: 2024-04-21 18:17 查看: 260 次下载编辑本文科数网

多项式的四则运算

## 单项式
由己知数及未知数符号$x,y,\ldots$的方幂相乘，所得到的式子，叫做单项式．
例如： $8x,\; 9x^2,\; -2x^4,\; \frac{1}{2}x^7,\; -\frac{3}{7}x^{32},\; 0.618xy^2,\; -\sqrt{2}x^{121},\; 7x^2y,\; -\sqrt{7}xyz,\; \frac{3}{4}x^2y^3z$, 以及$-\frac{\sqrt{3}}{5}mt,\; \sqrt{\frac{1}{3}}x^2y^3zt $ 等都是单项式．

在单项式中，未知数符号前面的数字因数叫做这个单项式的**系数**；未知数符号叫做单项式的**元**；所含不同未知数的个数，就叫这个单项式的**元数**；而所含各元乘方指数的总和，就叫做这个单项式的**次数**．

今后，我们就以单项式的元数，次数为准来称呼每一个单项式．例如：
$-2x^4$称为一元四次单项式，$0.618xy$与$7xy$
都称为二元三次单项式等．

由于$2$可以看成$2x^0$，$-\sqrt{5}$可以看成$-\sqrt{5}y^0$等，因而，单独一个不等于0的数，也是一个单项式，只不过这样的单项式的次数都为零次．

所以，一般地说，任一个非零数$a$，都是单项式的特例，我们叫做零次单项式．例如：$2,-\sqrt{5}, 0.3,-3\sqrt{2},-7\frac{1}{2}$等，都是零次
单项式．

又由于数0可以看成：
$0\cdot x^0, 0\cdot x, 0\cdot x^2, \ldots , 0\cdot x^n, \ldots $
所以，对于“零”这个特殊的数，我们就叫做零单项式．零单项式是单项式中唯一的次数不定的单项式．尽管它有多种形式的写法，但每种写法中系数都是0．因而，通常还是用“0”表示零单项式．

### 同类项
如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要它们所含的未知
数相同，而且各相同未知数的指数都对应相等，那么，这几个单项式就叫做同类单项式．简称同类项．

由此可知，合并同类项，就是指同类单项式的相加或相减，其法则是：把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的未知数及它们的乘方指数不变．

## 多项式
由有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式．也就是说，用“$+$”“$-$”号把有限个单项式连结起来所得的式子，就叫多项式．例如：$3x+0.5+2x^2$, $x^3-3x+\sqrt{2}$, $xy-3x+\sqrt{5}y+1$, $-\frac{\sqrt{2}}{7}x^3y^3+2.31x^2-8z$等，
都是多项式．

一个单项式可以看作是多项式的特例，特别是，零单项式也可以称为零多项式．

多项式就是若干单项式的代数和，而单项式又是一些数与具有数系运算通性的未知数符号的方幂所组
成的．因此，单项式自然也具有数系运算通性，就是说：单项式加、乘满足交换、结合律及分配律；

#### 例题1
已知$h(y)=my-1$，且$h(2)=1$．试求：$m$的值和$h(y)$的表达式．
解： 
$\because\quad h(2)=1$ 
$\therefore\quad 1=2m-1$，解出$m=1$
$\therefore\quad h(y)=y-1$

#### 例题2
已知$f(x)=x^2+mx+n$，且$f\left(\frac{1}{2}\right)=0$，$f(1)=1$．试求：$f(0)$，$f(2)$，$f(-8)$．
解：首先要求出$f(x)$表达式中的$m,n$
$\because\quad f\left(\frac{1}{2}\right)=0\quad \text{及}\quad f(1)=1$
$$
\therefore\quad 
\begin{cases}
    \left(\frac{1}{2}\right)^2+m\times \left(\frac{1}{2}\right)+n=0\\
    1^2+m+n=1
   \end{cases}
$$
   
   即：    
 $$
 \begin{cases}
    \frac{1}{4}+\frac{1}{2}m+n=0\\
    m+n=0
\end{cases}  
$$
解这个方程组，可得：$n=-\frac{1}{2}$，$m=\frac{1}{2}$．

因而，$f(x)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，所以

$$
\begin{split}
    f(0)&= -\frac{1}{2}\\
    f(2)&=2^2+\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}=4\frac{1}{2}\\
    f(-8)&=(-8)^2+\frac{1}{2}\times (-8)-\frac{1}{2}=59\frac{1}{2}
\end{split} 
$$

## 常用乘法公式

$  (a+b) \cdot (a-b) =a^2-b^2    $
$    (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2  $

#### 例题1
计算：$(2x^2-xy-y^2)^2$
解：基本思想是整体带入
$$
  \begin{align}
(2x^2-xy-y^2)^2 &= [2x^2-(xy+y^2)]^2\\
&=4x^4-2\cdot 2x^2\cdot (xy+y^2)+  (xy+y^2)^2\\
&=     4x^4-4x^3y-4x^2y^2+x^2y^2+2xy^3+y^4\\ 
&=       4x^4-4x^3y-3x^2y^2+2xy^3+y^4
 \end{align} 
 $$

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