最后更新: 2024-12-08 17:03 查看: 109 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

解应用问题

## 应用1
例 2.25 小明买练习本、生字本共 15 本, 总共用去一元四角钱. 如果练习本的单价是一角六分, 生字本的单价是六分. 试问：小明买练习本、生字本各多少本?

分析：方程就是一种等式. 要列出符合题意的方程，就要先明确问题中的等量关系. 这个问题中，有以下两个基本的等量关系：
1. 总共 15 本, 即

$$
(\text { 练习本数 })+(\text { 生字本数 })=15
$$
2. 总共用钱 1.40 元, 即

$$
(\text { 练习本数 }) \times(\text { 单价 })+(\text { 生字本数 }) \times(\text { 单价 })=1.40
$$

因此，可以有两种考虑方法：
解法 1：引人一个未知数
设小明买练习本 $x$ 本, 则利用关系 1 可知, 买生字本 $(15-x)$ 本, 再利用关系 2 就可列出方程：

$$
x \cdot(0.16)+(15-x) \cdot(0.06)=1.4
$$

即:

$$
\begin{aligned}
0.16 x+0.9-0.06 x & =1.4 \\
0.1 x & =0.5 \\
x & =5(\text { 本 }) \\
15-x=15-5= & 10 \text { (本) }
\end{aligned}
$$

答: 小明买了练习本 5 本, 生字本 10 本.

解法 2: 引人两个未知数
设小明买练习本 $x$ 本, 生字本 $y$ 本. 则由关系式 1 与 2 , 可以分别得出:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=15 \\
x \cdot 0.16+y \cdot 0.06=1.4
\end{array}\right.
$$

解这个二元一次方程组，就可得出： $(x, y)=(5,10)$
答：小明买了练习本 5 本，生字本 10 本。
由此可见，同一个问题，有时可以引人一个未知数，列出方程求解；也可以引人两个未知数，列出方程组求解。两种解法各有利弊：一元方程求解简便，但列方程较难；二元方程组列方程较易，但求解稍繁。因而，在应用中可以灵活选择，不必要求一律. 一般来说，要选择 "便于求解、引人未知数较少" 的方法.

## 应用2
例 2.26 兄弟二人, 从他们的家出发走同一条路线, 前往天安门广场. 哥哥平均每小时走 5 公里, 弟弟平均每小时走 3 公里, 假如哥哥比弟弟晚出发一小时,却早到 12 分钟。试问：他们家到天安门广场有多远？

分析：这是一个 "行程问题"，涉及到的等量关系是：

$$
\text { 路程 }=\text { 速度 } \times \text { 时间 }
$$

也可以写成：另外两种形式的关系：

$$
\begin{aligned}
& \text { 路程 } \div \text { 时间 }=\text { 速度 } \\
& \text { 路程 } \div \text { 速度 }=\text { 时间 }
\end{aligned}
$$

题目中, 不仅已知兄弟二人的速度, 还已知兄弟二人走完这段路程的时间差. 因此，只要选择适当的未知数，不难由基本等量关系列出方程式来，把问题解决的.

解法 1：引人直接未知数
设他们的家到天安门广场的路程为 $x$ 公里，由关系式 时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，就可以得出：哥哥走到天安门广场所用时间为 $\frac{x}{5}$ 小时；弟弟走到天安门广场所用时间为 $\frac{x}{3}$ 小时。

又由题意可知：哥比弟晚出发 12 分钟，这就是说：哥比弟少用 $1 \frac{12}{60}$ ，因此应有等量关系：

$$
\text { 哥所用时间 }+1 \frac{12}{60}=\text { 弟所用时间 }
$$
即:

$$
\begin{aligned}
\frac{x}{5}+1 \frac{12}{60} & =\frac{x}{3} \\
\frac{x}{5}+\frac{6}{5} & =\frac{x}{3} \\
2 x & =18 \\
x & =9 \text { 公里 }
\end{aligned}
$$

答：他们家到天安门广场的距离为 9 公里.
解法 2：引入间接未知数
设弟弟到天安门广场总共用了 $t$ 小时, 则由题意可知: 哥哥用了 $\left(t-1 \frac{1}{5}\right)$小时. 因此, 由基本关系式 路程 $=$ 速度 $\times$ 时间 可以知道：

哥哥所走路程 $=5 \times\

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