最后更新: 2024-12-08 17:03 查看: 47 次反馈刷题

解应用问题

## 应用1
例 2.25 小明买练习本、生字本共 15 本, 总共用去一元四角钱. 如果练习本的单价是一角六分, 生字本的单价是六分. 试问：小明买练习本、生字本各多少本?

分析：方程就是一种等式. 要列出符合题意的方程，就要先明确问题中的等量关系. 这个问题中，有以下两个基本的等量关系：
1. 总共 15 本, 即

$$
(\text { 练习本数 })+(\text { 生字本数 })=15
$$
2. 总共用钱 1.40 元, 即

$$
(\text { 练习本数 }) \times(\text { 单价 })+(\text { 生字本数 }) \times(\text { 单价 })=1.40
$$

因此，可以有两种考虑方法：
解法 1：引人一个未知数
设小明买练习本 $x$ 本, 则利用关系 1 可知, 买生字本 $(15-x)$ 本, 再利用关系 2 就可列出方程：

$$
x \cdot(0.16)+(15-x) \cdot(0.06)=1.4
$$

即:

$$
\begin{aligned}
0.16 x+0.9-0.06 x & =1.4 \\
0.1 x & =0.5 \\
x & =5(\text { 本 }) \\
15-x=15-5= & 10 \text { (本) }
\end{aligned}
$$

答: 小明买了练习本 5 本, 生字本 10 本.

解法 2: 引人两个未知数
设小明买练习本 $x$ 本, 生字本 $y$ 本. 则由关系式 1 与 2 , 可以分别得出:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=15 \\
x \cdot 0.16+y \cdot 0.06=1.4
\end{array}\right.
$$

解这个二元一次方程组，就可得出： $(x, y)=(5,10)$
答：小明买了练习本 5 本，生字本 10 本。
由此可见，同一个问题，有时可以引人一个未知数，列出方程求解；也可以引人两个未知数，列出方程组求解。两种解法各有利弊：一元方程求解简便，但列方程较难；二元方程组列方程较易，但求解稍繁。因而，在应用中可以灵活选择，不必要求一律. 一般来说，要选择 "便于求解、引人未知数较少" 的方法.

## 应用2
例 2.26 兄弟二人, 从他们的家出发走同一条路线, 前往天安门广场. 哥哥平均每小时走 5 公里, 弟弟平均每小时走 3 公里, 假如哥哥比弟弟晚出发一小时,却早到 12 分钟。试问：他们家到天安门广场有多远？

分析：这是一个 "行程问题"，涉及到的等量关系是：

$$
\text { 路程 }=\text { 速度 } \times \text { 时间 }
$$

也可以写成：另外两种形式的关系：

$$
\begin{aligned}
& \text { 路程 } \div \text { 时间 }=\text { 速度 } \\
& \text { 路程 } \div \text { 速度 }=\text { 时间 }
\end{aligned}
$$

题目中, 不仅已知兄弟二人的速度, 还已知兄弟二人走完这段路程的时间差. 因此，只要选择适当的未知数，不难由基本等量关系列出方程式来，把问题解决的.

解法 1：引人直接未知数
设他们的家到天安门广场的路程为 $x$ 公里，由关系式 时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，就可以得出：哥哥走到天安门广场所用时间为 $\frac{x}{5}$ 小时；弟弟走到天安门广场所用时间为 $\frac{x}{3}$ 小时。

又由题意可知：哥比弟晚出发 12 分钟，这就是说：哥比弟少用 $1 \frac{12}{60}$ ，因此应有等量关系：

$$
\text { 哥所用时间 }+1 \frac{12}{60}=\text { 弟所用时间 }
$$
即:

$$
\begin{aligned}
\frac{x}{5}+1 \frac{12}{60} & =\frac{x}{3} \\
\frac{x}{5}+\frac{6}{5} & =\frac{x}{3} \\
2 x & =18 \\
x & =9 \text { 公里 }
\end{aligned}
$$

答：他们家到天安门广场的距离为 9 公里.
解法 2：引入间接未知数
设弟弟到天安门广场总共用了 $t$ 小时, 则由题意可知: 哥哥用了 $\left(t-1 \frac{1}{5}\right)$小时. 因此, 由基本关系式 路程 $=$ 速度 $\times$ 时间 可以知道：

哥哥所走路程 $=5 \times\left(t-1 \frac{1}{5}\right)$ （公里）
弟弟所走路程 $=3 \times t$ (公里)
又知，哥、弟二人走的是同一路线，所以：

$$
\begin{aligned}
5\left(t-1 \frac{1}{5}\right) & =3 t \\
2 t & =6 \\
t & =3 \text { (小时) }
\end{aligned}
$$

这就是说：弟弟用了三小时走到天安门广场。
由此，再利用基本关系式可以得到：他们家到天安门广场的路程为：3×3 $=$ 9(公里)

答: 所求路程是 9 公里.
从这里可以看出，在解决应用问题时，对于同一个间题，有时可以从不同的角度引进未知数 (可以直接设所求的量为未知数, 也可以间接设一个与所求量有关的未知数). 由于引用未知数的不同，同一个问题完全可以列出不同形式的方程. 但最终所求的量的答数是一样的. 这真是 "异途同归"了.

## 应用3
例 2.27 两地相距 28 公里, 小明以每小时 15 公里的速度, 小亮以每小时 30公里的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地. 如果小明先出发一小时, 试问：小亮几小时以后，才能乘汽车追上小明？

解: 设小亮开车 $x$ 小时能追上小明, 则小亮所行路程是：30x (公里).
这时, 先出发一小时的小明, 已经走过的路程为: $15(x+1)=15 x+15$ (公里)

小亮要追上小明, 必须有关系式: $30 x=15 x+15$

$$
\therefore \quad x=1 \text { (小时) }
$$

这就是说: 小亮开车一小时, 就能追上小明.
检验： $x=1$ ，虽然能使方程 $30 x=15 x+15$ 成立，但这时，小亮开车走出 30 公里的路程, 而两地实有距离只有 28 公里, 由此可见, 在题目所给出的两地之间，小亮是没有追上小明的. $x=1$ 不符合题意，应舍去。

答: 在此两地之间, 小亮追不上小明.

## 应用题4
例 2.28 一只船在两个码头之间航行. 顺水时需要 4.5 小时, 逆水返回需要 $5 \frac{1}{3}$小时. 如果水流速度是每小时 1 公里. 试问：这两个码头相距多少公里？

分析：这种应用问题，实际上仍是 "行程问题"。如果能求出这只船在顺水时的速度或在逆水中的速度, 那么, 两码头的距离就立即可以求出来, 题目中只有水流速度。但只要注意：船在静水中的速度与水流速度、逆水速度、顺水速度有以下基本关系，问题就容易解决了。

顺水速度 $=$ 船在静水中的速度 + 水速
逆水速度 $=$ 船在静水中的速度 - 水速
解: 设船在静水中的速度是 $x$ 公里/小时. 则顺水速度为 $(x+1)$ 公里/小时,因此，船在顺水中，行驶的距离为： $(x+1) \times 4.5$ (公里).
又逆水速度为 $(x-1)$ 公里/小时, 因此船在逆水返回时, 所行驶的路程为: $(x-1) \times 5 \frac{1}{3}$ (公里).

由于顺水、逆水都是航行于两码头之间，因此：

$$
(x+1) \times 4.5=(x-1) \times 5 \frac{1}{3}
$$

解这个方程：

$$
\begin{aligned}
27(x+1) & =32(x-1) \\
(32-27) x & =27+32 \\
5 x & =59
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& x=11 \frac{4}{5} \text { (公里/小时) } \\
\therefore \quad 4.5(x+1)=4.5(11.8+1)=57.6 & \text { (公里) }
\end{aligned}\\
&\text { 答：两码头之间相距 } 57.6 \text { 公里. }
\end{aligned}
$$

## 应用5
例 2.29 有一水池, 用两台水泉抽水. 如果单开甲泵, 5 小时抽完这一池水; 如果单开乙泵, 2.5 小时才能抽完. 试问:
1. 两泵同时开, 几小时能把水抽完?
2. 如果甲泵先抽 2 小时, 剩下的再单用乙泵来抽, 还需要多少时间才能抽完？

分析：这是应用问题中常见的 "工程问题". 常把整个 "工程的量" 看作 "1" 进行分析。

在这个问题中，如果把 "一池水" 的总量看作整体 "1"，那么，由题意可知：甲泵一小时的抽水量为 $\frac{1}{5}$ ；乙泵每小时的抽水量是 $\frac{1}{2.5}$ ；因此甲、乙两泵一齐开, 每小时的抽水量就是 $\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2.5}\right)$. 这样, 再利用基本关系:

每小时的工作量 $\times$ 工作时间 $=$ 总工作量 1

就可以解决问题了。
解:
1. 设两泉同时开, $x$ 小时可以抽完这池水, 因此就有：

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2.5}\right) x & =1 \\
\frac{3}{5} x & =1 \\
x & =\frac{5}{3} \text { (小时) }
\end{aligned}
$$

这就是说，两泉合开， $1 \frac{2}{3}$ 时（1 小时 40 分钟）可以抽完这一池水.经检验, 符合题意.

答：两踏合并， 1 小时 40 分钟可以抽完.
2. 设乙泵再抽 $x$ 小时将水抽完, 因此, 依题意就有:

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{5} \times 2+\frac{1}{2.5} \times x & =1 \\
\frac{1}{2.5} x & =\frac{3}{5} \\
x & =1.5 \text { (小时) }
\end{aligned}
$$

答：甲泉抽 2 小时后, 乙泉再抽 1.5 小时, 就可以抽完这一池水.

## 应用6
例 2.30 浓度为 $95 \%$ 的盐水有 600 克，问：
1. 只要再加多少水，就能稀释成浓度为 $75 \%$ 的盐水？
2. 只要再加多少盐，就能得到浓度是 $98 \%$ 的盐水？

分析：这是应用题中的"浓度问题" (即百分数问题). 只要明确基本关系:
1. 浓度 $($ 百分比 $)=\frac{\text { 溶质 }}{\text { 溶质 }+ \text { 溶剂 }}$
2. 增加溶剂, 可使浓度减小, 但其中的溶质总量不变.
3. 增加溶质, 可使浓度加大, 但其中的溶剂总量不变.

这一类应用问题是不难解决的.
解:
1. 设加水 (溶剂) $x$ 克, 则加水前, $95 \%$ 的盐水 600 克中, 含有纯盐（溶质）的总量是: $600 \times 95 \%$ 克
加水后, $75 \%$ 的盐水 $(600+x)$ 克中, 含有纯盐的总量是: $(600+x) \times 75 \%$克.

因此，由分析中的关系 2 可知：

$$
600 x 95 \%=(600+x) \times 75 \%
$$

即： $8 \times 95=600+x \therefore \quad x=160$ (克)
答: 需要加水 160 克，就得到浓度是 $75 \%$ 的盐水。
2. 设加盐 (溶质) $y$ 克，则加盐前， $95 \%$ 的盐水 600 克中，含有水量： $600 \times$ (1-95\%) 克
加盐后， $98 \%$ 的盐水 $(600+y)$ 克中，含有水量： $(600+y) \times(1-98 \%)$ 克.因此由分析中的关系 3 可知：

$$
600 \times(1-95 \%)=(600+y) \times(1-98 \%)
$$

即:

$$
\begin{aligned}
600 \times 5 \% & =(600+y) \times 2 \% \\
300 \times 5 & =600+y \\
y & =900 \text { (克) }
\end{aligned}
$$

答：只要加盐 900 克, 就可得到浓度为 $98 \%$ 的盐水.

例 2.31 实验室里只有浓度为 $8 \%$ 的盐水和浓度为 $5 \%$ 的盐水; 现在需要把两种浓度的盐水混合起来，制成浓度为 $6 \%$ 的盐水 300 克，试问：这两种浓度的盐水各用多少克才能合适？

分析: 这同样是浓度问题. 解决这类稍复杂的混合溶液问题的关键是要抓住: 混合前、后的总重量不变；混合前、后纯溶质（盐等）的重量不变；混合前、后纯溶剂 (水等) 的重量当然也不变等关系, 引进未知数, 列出方程式.

由此，对本题可作如下列表分析:
 ![图片](/uploads/2024-12/09bfc2.jpg)
 解：设需用浓度 $8 \%$ 的盐水 $x$ 克，需用浓度 $5 \%$ 的盐水 $y$ 克. 则由题意可得：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=300 \\
x \times 8 \%+y \times 5 \%=300 \times 6 \%
\end{array}\right.
$$

解这个二元一次方程组，可得：

$$
(x, y)=(100,200)
$$

答: 用 100 克浓度为 $8 \%$ 的盐水和 200 克浓度为 500 的盐水, 混合后就可得到浓度为 $6 \%$ 的盐水 300 克。

注: 引入一个未知数也可以解这一题, 试试看.

## 应用8
例 2.32 (我国古代问题)：上禾三束、中禾二束、下禾一束，共有禾三十九斗；上禾二束、中禾三束、下禾一束，共有禾三十四斗；上禾一束、中禾二束、下禾三束，共有禾二十六斗。

问：上、中、下禾每束各有禾几斗？
说明：上、中、下禾，就是"上等谷物、中等谷物、下等谷物"；一束，就是"一捆"；斗，是古代一种衡器，可以用来量谷物的容积。
解：设上禾每束有禾 $x$ 斗，中禾每束有禾 $y$ 斗，下禾每束有禾 $z$ 斗. 则依题意可得出下列各方程：

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+2 y+z=39 \\
2 x+3 y+z=34 \\
x+2 y+3 z=26
\end{array}\right.
$$

解这个三元一次方程组, 可以得出:

$$
(x, y, z)=\left(9 \frac{1}{4}, 4 \frac{1}{4}, 2 \frac{3}{4}\right)
$$

答：上禾每束有禾 $9 \frac{1}{4}$ 斗；中禾每束有禾 $4 \frac{1}{4}$ 斗；下禾每束有禾 $2 \frac{3}{4}$ 斗.

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