最后更新: 2025-06-22 20:04 查看: 202 次反馈同步训练

不等式与数轴表示

## 不等式的基本概念
在现实世界中，两个量之间不仅有相等关系，还有不等关系，而且随处可见。这一章我们将要研究两个量之间的不等关系，学习有关不等式的概念、性质以及一元一次不等式和一元一次不等式组的解法等内容，并研究如何运用这些知识来解决一些简单的问题．

符号＂＞＂、＂＜＂、＂$\neq$＂都是不等号，用它们可以分别表示两个量或两个表达式之间大于、小于、不等于的数量关系。例如 $4>-1,2 x>5$ ， $a \neq b, 5-9<3+7$ 等。用不等号表示不等关系的式子叫做**不等式**。

比如，太阳的体积比地球大，如果用 $a, b$ 分别表示太阳、地球的体积，那么就可表示成：$a>b$ 。

又如，2011年底北京地区注册博物馆数量已超过 159 家，如果用 $n$表示博物馆数，那么就可表示成：$n>159$ ．

我们还经常把大于号＂＞＂和等号＂＝＂结合起来使用，写成＂$\geqslant$＂，读作＂大于或等于＂，也就是＂不小于＂；同样地，符号＂$\leqslant$＂读作＂小于或等于＂，也就是＂不大于＂．用符号＂$\geqslant$＂或＂$\leqslant$＂连接起来的式子也叫做不等式．

## 不等式的基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

上面性质用数学语言描述就是：
1．如果 $a>b$ ，那么 $a \pm c>b \pm c$ ；
2．如果 $a>b$ ，且 $c>0$ ，那么 $a c>b c$（或 $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ ）；
3．如果 $a>b$ ，且 $c<0$ ，那么 $a c<b c$（或 $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ ）．

## 不等式的数轴表示
我们知道任何一个实数或为正, 或为零, 或为负, 上述三种关系有且仅有一种成立. 于是任意两个实数 $a, b$ 的差 $a-b$ 也就或为正，或为零，或为负有且仅有一种成立. 这也就是说对于任意两个实数, 我们都能比较它们的大小,下列关系有一种且仅有一种成立：

$$
a>b \text {, 或 } a=b \text {, 或 } a < b
$$

实数系的大小关系和直线上的点的次序关系具有相同的构造，即坐标的大小关系就相当于相应点在数轴上的左右关系。

两个数或两个代数式用不等号 ">" 或 "<" 联结起来，以表示它们的数量关系就构成不等式。

例如 $5>3,-7<-4, x+1>3, a>b$ 等都是不等式. 如果不等式中含有变数, 那么使不等式成立的变数值叫做**不等式的解**, 例如 $x=2.1$ 是不等式 $x+1>3$ 的一个解。使不等式成立的变数值的全体，称为这个不等式的**解集**.

我们可以把不等式解集用数轴或平面上的对应点集直观地表示出来，如：不等式 $x+1>3$ 的解集可用图 3.1 表示，解点集是一条以坐标是 2 的点为端点的开射线, 由于 2 不包括在内, 故用**空圈**表示.
 ![图片](/uploads/2024-12/cad639.jpg)

不等式 $|x| \geq 2$ 的解集可用图 3.2 表示, 解集是两条射线, 一条是以坐标是 2 的点为

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