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向量的加法、减法与数乘

## 向量的加法

向量的加法最初来源于 “速度" 或者 "力" 的合成，如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{\Delta}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{\Delta}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。
![](/uploads/2022-10/e82ed0.jpg){width=300px}
另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![](/uploads/2022-10/8f0d5a.jpg){width=300px}
事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在平面向量已经说过，两个向量只要
大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向做平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向 相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

![](/uploads/2022-10/386bed.jpg){width=300px}

## 向量加减的区别
在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。

#### 向量加法
下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。
记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。
![](/uploads/2022-10/17b764.jpg)

#### 向量减法
下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$

![](/uploads/2022-10/2a5bad.jpg)

记忆方法：对于向量减法的三角形法则，可以考虑特殊情况：即 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向

![图片](/uploads/2023-01/631f83.jpg)

## 向量的数乘
一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:
① 当 $\lambda>0$ 时, 与 $a$ 的方向相同;
② 当 $\lambda<0$ 时, 与 $a$ 的方向相反.
(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出, 数乘向量的结果是一个向量, 而且这个向量与原来的向量共线 (平行), 即 $\lambda a / /$ $a$; 数乘向量的几何意义是, 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地, 一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积, 即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$.

当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数, 且 $a$ 是向量时: $\mu a$ 是向量, $\lambda(\mu a)$ 也是向量; $\lambda \mu$是实数, 但 $(\lambda \mu) a$ 是向量. 可以看出

$$
\lambda(\mu a)=(\lambda \mu) a
$$

例如,

$$
\begin{aligned}
& 3 \times(4 \boldsymbol{a})=(3 \times 4) \boldsymbol{a}=12 \boldsymbol{a}, \\
& (-2) \times(-\boldsymbol{a})=[(-2) \times(-1)] \boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{a} .
\end{aligned}
$$

由此可知, $(3 \times 4) \boldsymbol{a}$ 写成 $3 \times 4 \boldsymbol{a}$ 也不会产生歧义. 以后我们常将 $(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ 简单地写成 $\lambda \mu a$.
数乘向量的定义说明, 如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$.

## 向量的性质
向量的加法、减法和数乘满足交换律与结合律。例如

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+6 \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})+6 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}+6 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b}) \\
& =7 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})=7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}
\end{aligned}
$$

可以当做普通的代数式运算。

**例1** 已知 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$, 求证: $M$ 为线段 $A B$ 的中点.
证明 由 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$ 可知 $2 \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$, 因此

$$
\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M}
$$

从而有 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$, 即 $M$ 为线段 $A B$ 的中点.

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