最后更新: 2026-01-05 08:28 查看: 1206 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量加法、减法与平行四边形和三角形法则

## 向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。

![图片](/uploads/2025-11/d65d29.jpg){width=300px}

另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![图片](/uploads/2025-11/0e3ad8.jpg){width=300px}

事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相等的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

在使用向量平行四边形法则时，一个常见的问题是为什么定义 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{v_{合}}$ 而不是直接相加，这可能是因为不管是向量的平行四边形法则还是后面介绍的向量点乘都是来自物理学的抽象，他不是来自数学严格的推导证明，比如两个力$F_1=3N$和$F_2=5N$,生活实践告诉我们，如果他们之间有夹角，不能认为合力为$F=3+5=8N$，因此两个向量相加不能采用向量模相加模式。

在三角形法则里，因为三角形两边之和大于第三边，所以有
$$
|\boldsymbol{a+b}|   \le |\boldsymbol{a}|+ |\boldsymbol{b}|
$$

等号仅在$a,b$向量方向同向是成立。

### 向量运算的性质
向量加法满足交换律和结合律，即：

(1) 数乘 $x(y\boldsymbol{a})=xy\boldsymbol{a}$ (后述)
(1) 加法交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ 对任意两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 成立.
(2) 加法结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 对任意三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成立.

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

![](/uploads/2022-10/386bed.jpg){width=300px}

## 向量加减构成平行四边形两个对角线

向量加法和向量减法其实构成了平行四边形的两个对角线，特别要注意$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的箭头方向,在更高一级别的教程里，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$  代表两个向量的距离。

![图片](/uploads/2025-11/e42f18.jpg){width=400px}
 
 ### 推论 平行四边形模型
 
 一般情况下，只要出现了 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$ ，我们可将其视为以 $\vec{a}$ 及 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的两对角线所表示的向量（ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是不共线的非零向量）。
（i）若 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$ ；
（ii）若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$ ；
（iii）若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ；
（iv）若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ．

![图片](/uploads/2025-12/32fef1.jpg){width=300px}
 
  证明：设 $\vec{a}=\overrightarrow{O A}, \vec{b}=\overrightarrow{O B}$ ，以 $O A 、 O B$ 为邻边可构成如上图所示的平行四边形 $O A C B$ ，则有

$$
\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{O C}, \vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{B A}
$$

若 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则说明 $\square O A C B$ 为矩形，从而可得 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$ ；若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，则说明 $\square O A C B$ 为菱形，则两对角线夹角为 $90^{\circ}$ ；若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则说明三角形 $O A B$ 是正三角形，从而有 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ；而若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|$ ，则说明三角形 $O B C$ 是正三角形，从而有 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ．

说明：在极端情况下，即使 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，上述结论亦成立，如要满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则必至少有一个向量为零向量，而零向量方向是任意的，从而也能得出上述结果．

`例` 设点 $M$ 是线段 $B C$ 的中点，点 $A$ 在直线 $B C$ 外， $\overrightarrow{B C}^2=16,|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|$ ，则 $|\overrightarrow{A M}|=$ $\_\_\_\_$
解析：因为 $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|$ ，经翻译知 $\angle B A C=90^{\circ}$ ，又因为 $M$ 是 $B C$ 的中点，从而可得

$$
|\overrightarrow{A M}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{B C}|=2
$$

## 向量加减的区别
在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。当给你一个向量三角形时，如何迅速判断他是向量加法还是减法呢？请看下面介绍。

#### 向量加法
下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。
记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。
 ![图片](/uploads/2024-12/bc3e8f.jpg)

#### 向量减法
下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$
 ![图片](/uploads/2024-12/9160f7.jpg)

>**给你一个向量三角形，你要能快速正确判断他是向量加法还是向量减法，这是一个基本功**。

参考上图，不能认为结果长的就是加法，结果短的就是减法

### 记忆技巧
海曼 • 格拉斯曼是德国的几何学家，他 1844 年发表的《延拓论》创立了现今的 $n$ 维几何学。格拉斯曼在构建 $n$ 维几何代数理论时是以一个非常简单的公式 $A B+B C=A C$ (见图 2-15（a））作为研究起点的。他发现，上面介绍的三角形法则，如果不考虑线段点 $A 、 B 、 C$ 的顺序, 只要不把 $A B$ 、 $B C$ 这样的因子仅仅理解为长度, 并且赋予它们 "方向" (例如 $B A=-A B$ ), 公式依然正确。举个例子: 如果 $C$ 位于 $A$ 和 $B$ 之间（见图 2-15 (b)），那么 $A B=A C+C B$ ，但是由于 $C B=-B C$ ，我们将发现 $A B=A C-B C$ 。此时只要在这个公式两边简单地加上 $B C$ 就能得到最初的公式,在这个加法里，**中间的字母B就像自动消失了一样**。

$$
\boxed{
A

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